GG

par exemple, une !i{jne horaire quelconque C'a du cadran horizontal jusqu'à XY, en A, ce dernier point appartient aussi à la ligne lioraire correspondante du cadran à construire; et il n'y aura qu'à joindre C à A pour avoir cette ligne.

En procédant de même pour les autres lignes horaires du cadran hoi-izorital, on obtiendra successivement toutes les lignes horaires du cadran à construire.

On poui'raiî procéder réellement ainsi, dans l'espace, et l'on peut même dire que l'opération est très facile. ÎMaispour peu quel'on aitThabitiide du dessin, il est bien plus commode, plus simple, de réaliser cette figure de l'espace eu épure, c'est-à-dire par des constructions planes, de tracer les diverses lignes horaires cherchées sur cette épure, et de les reporter sur le mur. La figure 4-5 indique le moyen qu'on peut employer.

66. Prenons encore le plan du papier pour celui du cadran à constritire et aussi comme plan vertical de projection. Quant au plan horizontal, il est supposé rabattu autour de Ty (//if. ^5) sur le bas du plan vertical. Du centre donné c menons la verticale cm, et en m la ligne mn, qui fasse avec xj un angle égal à l'angle du mur avec la méridienne.

Supposons le triangle CMC (y%. 4^) rabattu autour de CM sur le plan vertical ; on aura la position de l'axe sur l'épure (J/g. 4'^) en faisant l'angle mec" égal à go" — cp ; par suite, décrivant de m comme centre, avec ?>ic" comme rayon, l'iirc de cercle c"c', cet arc de cercle donne sur mil le point c'.

En ce .point comme centre, construisons (25) le cadran horizontal c'aè : chaque ligne horaire de celuici, c'a par exemple, prolongée jusqu'à xy, en a', fera connaître la ligne horaire correspondante ca' . On aura ainsi l'angle inca' : il suffira de le porter

suc le luiir en MC.V. ^fig- 44) et la li[;ne horaire correspondante CA du cadran sera tracée.

On procédera de même pour chacune des autres lifjnes horaires.

67. Seconde méthode. — Au moyen d'un, cadran équatorlal auxiliaire . — Cette méthode i-st aussi une application du même principe jji'néral ( 19).

Soient encore { fig. l\^), comme dans la méthode précédente, VXYV la Table donnée, C le Centre donne aussi, COC l'axe-style en place et prolonije jusquau plan horizontal HXYH', CM la vertic'âTe du Centre, MN la méridienne horizontale.

En un point quelconque o du style CC, plaçons un ca'Iran équatorial oad ayant même style oC et dont la ligne de la*" j rolongée vienne rencontrer MC, en N, par exemple, sur la mériflicnne horizontale.

Par des fils, comme dans la fij^;urc .4'3, prolongeons les lignes horaires oa, ob, od, . . du cadran équatorial jusqu'au plan horizontal ; elles viennent luutes rencontrer ce plan sur EE'E'. intersection du plan horizontal par l'equateur, aux points A, 15, D, .... Mais ces points appartiennent aussi aux li>;nés horaires correspondantes du cadran horizontal qui aurait C pourcentreet (IN pour ligne de 12''. Enjoignant C'A, prolongeant jusqu'à W en A' et tirant CA', on aura la ligne horaire correspondante C.V du cadran i» consti'uire. Et de même pour les autres.

Ici encore, on pourrait procéder ainsi réellement; mais il est bien plus commode et plus simple de tracer les lignes horaires sur une épure, comme dans la (iguie 47 et t'e les porter ensuite sur le mur VXYV, en conSservant aux angles les vraies grandeurs données p:ir celte épure. C'est ce qu'on fera en procédant ainsi :

GS. Comme dans le cas précédent, prenons encore le plan du papier comme plan yerlical, etc. { fïi;- 4" ) '•

Du centre c menons la verticale c/h, puis en m la ligne /w«o'c' qui fasse avec .C)' l'angle du mur avec la méridienne, et ensuite ce' perpendiculaire à me'.

Fig. '|G. — Construclion d'un cadran vertical ilcclinant au moyen d'un cadran équauirial auxiliaire (ligure dans l'cspacel.

Menons ce" qui fasse avec cm l'angle 90» — o, ce qui donne le point c". L'arc de cercle c" fc' , décrit de m comme rentre, avec me" comme rayon, donne le point c' où le style perce le plan horizontal.

D'autre part, menons de m la ligne mo, perpendiculaire à ce': o e>t sur l'équateur correspondant

au point m : en rabattant à son tour cet éqiiateur sur le plan horizontal autour de ee', le point o vient en o' situé sur l'arc oq^o' et sur me' . Par suite, o' est le centre du cadran équatorial auxiliaire o and (que nous savons construire), comme c' est le centre d'un cadran horizontal auxiliaire correspondant.

Considérons une quelconque o a des liijties horaires

Fig. i7. Cimstiuclion d'un cadran vcriioal dcc-linaiil au moyen d"un cailian cqualorial auxiliaire (cpuie dp la li^iurc 45).

du cadran équatorial o' : proloin;ée au besoin, elle vient percer le plan horizontal en «', de sorte que c'a est la lljjne horaire correspondante sur le cadran horizontal. Prolongeons c'a jusqu'à x) , en a" : ce point a" de la lijjne horaire c'a' appartient aussi à la ligne horaire correspondante du cadran à construire : il sullil donc de lirer ca pour l'oLtenir.

El de même pour toute aulre ligne horaii'e, comme cd".

Si l'on n'a pas construit le cadran sur plafe, on connailra par l'épurtî les angles que les diverses lignes horaires font avec cm, et il sera facile de les reporter sur le mur.

Gl). Troisième métiioue. — Par le calcul : Première solution. — Soient C (/'/,'• -r^) ^^ Centre donné du

cadran, CM sa verticale et CH une ligne horaire quelconque, pour laquelle on veut calculer l'angle MCU qu'elle fait avec CM, veiticale ou ligne de xii''.

Considérons l'axe-styie CO et la sous-siylaire CP. Une sphère décrite de C comme centre avec un rayon arbitraire CM est coupée par le plan du cadran suivant l'arc MH, par le plan du méridien suivant MO, etc. Et arc MO = ijo"— a.

— yi —

L'angle MOH, opposé par le sommet à l'angle du moridien avec le plan horaire du Soleil, égale l'angle lioraire AiO de cet ^slre correspondant à la ligne horaire considérée CH; on a donc

Pour la sous-stylaîre CP nous connaissons (51) arc MP — S, ; d'ailleurs PO = A. Le problème serait rcsolu si nous connaissions l'arc x = PH, puisque l'arc demandé MHpst oiral à S,-i-x.

Appelons à l'angle AIOP; alors

an^rle POH = Mq — 'b.

Calculons aussi l'angle ^ = OCH de la ligne horaire avec l'axe CO : les deux triangles sphériqiies MOP, POH donnent respectivement

cot 'y = sin 9 tang D^, lang.r = sin A tang ( /Hq — ■-!/),

d'où l'on déduira d'abord l'angle auxiliaire ■b parla première formule, puis x par la seconde; dans celleci, on donnera à ^^q la valeur correspondant à la

ligne horaire considérée, par exemple 45° s'il s'agit de la ligne de m''; Panule .ï étant ainsi connu, on en déduira l'angle cherché MCH.égal à S, + j".

70. Remarque. — On pourra aussi calculer l'arr Y = OH, qui est l'angle de la ligne horaire considérée avec l'axe. Par exemple, dans le triangle MOI! ou a

sin )■ sin(S,-Hx) .

S'» I^,. "" sin.HQ sin D^ es tune constante connue (51); pour chaque ligne

horaire, /Hq est connu; on sait calculer S, -i- .r ; on déterminera dono )' par cotte relation :

sin (S, -f-.r )

si II )■ = si n D ; jj •

' " sin Mq

On peut remarquer aussi que >■ est riiypolétiuse du triangle sphérique IHIO reclaii;;le eu V et dont on connail les côtés 01' - h,Vl\ = ,f, POH = vHq — '^

(le sorte ([iie

cos ) = cosA cos.r.

7 1 . La figure 4*^ suppose CH h droile de la sousitylaii'e par rapport à la niéiidieime. Si cette ligne horaire CH tombe dans l'angle CMP, en Tiisant la figure dans cette hypothèse on voit qu'il l'aiu inetlre 1^ — AIq a la place /Hq — iL ; — et, si CH l'tait à gauche

de CM. on prendiait AiQ-'rd' au lieu de /Hq — ^.

La l'iii mule ci-dessnsqiii donne taug.r esl doncgenérale, s'.ippli(^iie toujours. Lorsque 'j/ >> /'Hq, x est négalir et alors l'arc PU doit élre porte du côte opposé à la sous-stylaire . Lt, quand on riierche les lifîiies horaires placées a gauche de la méridienne, JHq est négatif avec j.

Ainsi, nous connaîtrons toujours les angles formés par la sous-si\ laire avec toutes les lignes horaires, tant d'un côté que de l'autre, et pir suite on pourra tracer tes lignes horaires.

Ce que nous venons de dire j^oiir la ligue hoiaiie quelconque CH s'applique :i toutes; pour avoir les angles MCH cori'cspoiidant aux diverses lignes horaires, il suflit donc do donner à /Hq les valeurs ±1^ ou l'y", rh 2'' ou 3o°, dr S*" ou /iS". . . .

12. i'tir le calcul : Deu.rièmc solution. — Celte deusiéuie solution, proposée ]iar Delanibre {Astro-

nr>mù\ I, p. 27 j), exii;erait qiiel<|iies dévcloppi-incnts analytiques : nous nous bornons à la uienlionner.

73. ncman/ite. — 11 existe des Tables qui ilonncnl les anj;ies dos diverses lif;nes horaires avec la sousstylaire. Nous citerons notamment les suivantes :

Celles de l)i;i'Aii(;ii;i:\ ( Imite df Cnomoiil/iiie) relatives seulement à la latitude de Paris ('i!^".5r) et pour des déelinaisous azimu(ales du mur variant, de i5' en ij', depuis o" jus(iu"à 72".i.V.

Et celles de i.-Vt. (".aumeii (Gnomoni'/iie, 177'^) pour la latitude de t{i'. iS' et pour cell(!s de /l'|° ii 5i°, de deffré en dciiic, La déclinaison azimutale du cadran y varie de di'i'jré en dej;ré de 0° il 90°.

!Nos Tabl.s li et III (p. iS'i...) snlliront pour tous les points de la France.

V. — Conslriiclion des Cadrans verticaux déclinants sans centre {ou à Centre inaccessible).

75. Le Centre C est commun h loules les lignes horaires d'un cadran; aussi dans les cadrans à Centre accessible (d.'i...), il a sufli de déierminer ce que nous appelons un second point de chaque lijne horaire.

Maintenant que le Centre est inaccessible, nous devons le remplacer par un autre | oint de chaque ligne horaire ; l'ons dét>-rniiner(in» celui-ci en appliquant la méthode iiui nous a déjà donne le second point des cadrans à Centre. Aussi les procédés suivants ne sont jjuère qu'une répétition de ceux déjà indiqués précédcm '(i»nl (G.i ..).

75. l'nj;MiKiiE siiTiioni;. — .in iiio\en de deux cadrans horiz'. ntaiix auxiliaires. — La ligure !\\) nous montre ces deux plans horizontaux auxiliaires dans l'espace, et la (ijuie 'm est celle de l'épure qui donne

les deux points cherchés de cliaqiie ligne horaire. FJIe est comme In répétition de l'épure de la figure i\5 (p. ^j), sauf qu'au lieu de couper la Ta Me du cadran par un seul plan horizontal passant par xy, on l'a coupée aussi par un second passant ]iar .r, ii-

Frj. il). — Construction de ileiix [loinls de cliiniiie li;,'iic horaire au moyen de deux cadrans horizontaux auxiliaires (figure de l'espace).

Menons i//ff. 5o) la verticale quelconque "l'^m, les iiorizoniales a-y, a-, )■, à des hauteurs arbitraires. Construisons à /)fl77 le triangle rectangle c, w^ c^ (à gauche de la figure 5o, avec un côté arbitraire c^m-^, mais ayant les angles en c,etc-"^ respectivement égaux il 90" — 'f, et à 9 ; puis menons une parallèle m^r'.', au

"'' à une distance

m., 'Il, égale a mm:

On a ainsi les lonfjuenrs in^c'l (>t /",/•'', que l'on poj-te respectivement en me' et m'»-,', cie soi'le (lu'oii a en c" c[ le style riibattn. Menons aussi les lifjnes me', /"|C', faisant respectivement avec xy. x^y^ des anffics CPaiix à raii;;l(' du nitir axcc la iiH'iiilieinio

FJ"

Fi^'. rin. — Cotisli»(lii)ii dr" doux points de rh.iiliii' IK'iir horaire au moyen de deux cadrans liori/.oiilanx auxiliaires (épure de

l.'l fisill'C i!l j.

horizontale, et par les arcs <1(^ rercle /, /,, dcteiiiiinons les points c', c'j . Ceux-ci sont les centres des deux cadrans horizontaux auxiliaii'cs, dans lesquels nous considérons les li|;ne^ horaires correspondantes c'a, c'jfl, : ces lignes, prolonffées respcciivemcnt jusqu'à xyeXx^ j,, en «' et «j, nous donnent les deux points cherchés de la ligne horaire consi-

dérée a' fi[ du cadran à construire. Et de même pour les autres lignes horaires, telles que b' b\, etc.

•"ig. :)i. — Détermination do ileux points n i a '^ de chaque ligne, horaire au raojren de deux cadrans équaloriaux auxiliaires (épure}.

76. Seconde méthode. — Au jho) en de deux cadrans èquatoriaux auxiliaires. — Nous n'avons, pour ainsi

(lire, qu'à ro,)éterce(]ui aéicditaiix pai-Jfjra plies fiS

1,'i'piii'e à i-lessiiior dans ce cas est cidlo de lu ligure 5i, où l'on n'a iiidi([uc le tcacé que poui- uni; snnle ligne horjin- a" a'I Jiliii d'i-vilcM- les superpositions de ligues.

Ou trace donc u ne verlicaie ///,/" et leuxliori/.oniales a,),, r >- ; on réalise à juiri ou l'on caleuli; le triangle cmc", avec un eoié arbitraire c /u et les angles 90-a et 'J ( 00 nme d ms § 7ô) et, l'on olilienl li; st\ 1^' rabattu sur le plau vertical en f,c-".

Les arcs de cercle c"c', fj fj, donnent lf~. points f'.fj où le style perce les plans iiuii/.ontaux. ■Menons mo. /«|0, perpcndiculaii rs à l'ase et rabattant sur les plans iiorizoutaux : on a les centres o', o\ des cadrans équatoriaux auxiliaires. Deux lignes lioraires o' a, o\ m, cxactenient con-espondantes et prolongées jusiiu'à ee',e^c\, donnent les points a' , a\ qui joints lespcctivcMiient à c' , c , , délerniinenl les deux points «", ci\ do la ligne horaire considérée du cadran à construire.

Et do mémo pour ciiacune des autres lignes horaires.

77. Troisiemi: juirnoOF.. — Pur le calcul : Prcmicte sulatlon. — LesCornuiiesdii paragraphe (iU permettent curore de calculer les angles .r -h S, dos diverses lignes horaires avec lu verticale du Conlre; mais on ne peut tracer ces lignes, parce que ce Centre est inaccessible.

Alors on pourra procéder ainsi :

Menons une verticale MiM de la Table XVV|X, {fi^. 5^) et deux horizontales XV. X, Y,. Le centre inaccessible C se trouve sur la droite M, M prolongée.

Pour une ligne horaire (|uelconque H, H, nous connaissons (51, G'.i) l'angle MGn=jr-rS,.

BfOOURD.XtN "

Avec une longueur arbitrtiiie CM, dans le ti-iangle rectangle CMH, calculons MIT, puis M, H, : cela fait, en portant sur la Table les longueurs obtenues, on

aura les points !I et H, ; par suite, on pourra tracer la ligne horaire correspondante H,, H. Kt de même pour^toules les autres.

78. Par le calcul : Seconde lolulion. — La seconde solution indiquée pour le cas ordinaire peut également s'appliquer ici; il suffît donc de la mentionner.

Cadran oriental et Cadran occidental.

79. Onappelle ainsi (35) lescadrans plans verticaux dont la Table (un mur ordinairement ) est parallèle au méridien. Si le mur est tonrné vers l'Est, le Cadran est Oriental ; il est Occidental si le mur est tourné vers l'Ouest.

Ces Cadi'iHis sont donc dos cas pai'tïpuliers des Cadrans verticaux déclinants sans centre, mais pour lesquels la déclinaison azimutale est de 90» ; cepen-

Fig. li. — Cailran mienlal, occiilental. La parlio supérieure est le iiiiir vu de fa'a, et la partie inférieure (ombrée) est la coupe tioiizoïitalc du ni^mc mur.

dant on les range parfois au nombre des cadrans non déclinants.

D'après los dérmitions, l'axo-styli» de ces Cadrans est parallèle à la Tahle. I-a latitude olant connue, la vérification do l'oriontalion de i'axe-style ne présente pas de difliculté.

Les lignes horaires de ces Cadrans, intersections

du plan de la Table avec les plans de la losc horaire (l'i), sont toutes parallèles au style, et aussi perpendiculaires à l'équateur, donc à l'équinoxialc qui est perpendiculaire à la sous-stylaire.

80. Soit VXYV ( Og- 53) le plan du cadran vu de face, O l'axe-style, P le pied d'un stylo droit correspondant au sommet O, KE' réquinoxiule correspondante.

Supposons que le cadran soit occidental. La ligne de iS*" passe |iar le pied P et est perpendiculaire ii l'équinoxialc EK'.

Poui' tracer les diverses lignes horaire?, projetons le plan de l'équatenr sur le bas du plan de la (igure ; le sommet O vient en o, le pied P en p, et les intersections des plans de la rose avec l'i-quateiir sont les lignes o.\'\. o.ij, o.i6, .... Prolongées jusqu'au mur, elles le coupent aux points correspondants li', 15', 16', .... 50', IV, l'i', ...: et en reportant ceux-ci sur EE' on aura les points où passent les lignes horaires.

On voit que les distances des diverses lignes horaires à celle de iN** sont dans le rapport des tangentes des angles horaires de i'", a*", 3'', ... ou de i5',

3o°, 4'^" En prenant op pour unité, i™ par

exemple, une Table de tangentes naturelles donnera xlonc immédiatement l.i position des diverses lignes horaires.

Le Cadran Oriental ne dilïérera du Cadran Occidental que par l'ordre de numérotage des heures (17).

VIF. — Autre méthode générale et très simple pour le tracé des Cadrans verticaux à axe et style fictifs.

81. Les méthodes que nous venons d'indiquer pour le tracé des cadrans solaires verticaux ne com-

— loi —

pjrtent qu'une précision assez limitée, qui n'est pas en rapport avec les grandes dimensions que souvent on pourrait donner à ces cadrans. La cause de cette iii.:ei titude est surtout la difliculté de placer et de fixer le style bien parallèlement à l'axe du monde.

La méthode suivante, qui suppose l'emploi d'un

Fis

Ttaoc d'un c.-clr.in vcrliral. Mrllioile siniplilii'O.

st\lc iiclif: et eu dispensantde fixer le slylo se trouve ainsi plus l'acile; en outre, elle comporte toute la précision i(ue l'on peut atleadre d'un cadran de grande dimension. Elle suppose aussi que l'on

dispose momciUanémenl d'une montre bien réglée.

Soit VXYV" iftg. 54) la Table choisie, devant laquelle on fixe Vceil ( 11 ) du cadran, comme dans la fijjure 1 1 .

A une date f, do l'année et aux lieures rondes. . 10, II, 12, i3, l'i, ..., marquons les positions ... D, E, F, G, H, ... occupées par l'image du Soleil donnée par cet œil. Répétons la même opération à une autre date t^, ce qui donnera les points , . .

Les droites ... Dd, Ec, F/, Gg, Hh, ... sont les lignes horaires ... X, XI, XII, XIII, XIV, ... du cadran; autrement dit, les positions jnurnalières successives occupées à ces diverses heures par l'image solaire sont sur c^es lignes droites. Kn effet, imaginons que la rose horaire (1 i) soit placée devant la Table, de manière que son axe passe par l'œil du cadran et ([ue l'un de ses demi-plans passe par F, ligne do XII''; alors les autres demi-plans passeront par D</, Ec, Gi^, ....

Pour que les lignes D(/, Ec, ... soient le mieux déterminées il l'aut évidemment que les dates t^ et t^ soient choisies aux environs des solstices. Comme vérification, ces lignes devront concourir au même point C, qui est le centre du cadran.

82. La nécessité de cet intervalle d'environ six mois, entre les dates t^ et i.., est un inconvénient évident, mais on peut l'éviter au moyen d'un petit calcul qui supprime les opérations faites à l'une des deux dates.

Supposons que l'on ait marqué, à la date considérée ^, par exemple, les points . . . D, E, F, G, H, .... Au moyen d'un fil à plomb, marquons sur la Table la verticale FM qui passe par le point F de Xll'\ On sait (36) que le Centre C du cadran doit se trouver sur cette verticale. D'autre part, dans

le liianjrle méridien COK, loriné par l'œil (O), le Centre cherché C et le point I'" [triangle représenté

ri;;. 5S.

en C'O'F' {fis;. ô5)), on connaît l'angle €=90" — z. ; on peut mesurer O'F' et enfin de la déclinaison du Soleil déduire l'angle en V , égal à 1I„ (6U); on pourra donc calculer la lon;;neur l'"C', et en la portant sur FM {/ig. 3j), à partir de F, on aura le point C cherché.

83. On peut aussi, comme dans la ligure /(•• abaisser de l'œil la perpendiculaire <)'~' gur la ligne de XII'', et ensuite calculer -'C. ce f|ui permettra aussi de détei'miner le centre cherché.