I. — Aies diurnes. Arcs des signes

84. Sur iia niiMue cadran et à la mémo heure, la longueur de l'ombre du style sur la Table varie d'un jour h l'autre, à cause du chanrjemeut continuel de la déclinaison (Oq du Soleil.

Un jour lionne, sur le Cadran considéré marquons, h intervalles assez rapprochés, de quart d'heure en quart d heure par e.xemple, l'extrémité de l'ombre du style, ou l'image donnée pai' l'o'il s'il s'agit d'un cadran sans style : en joignant les points ainsi obtenus on aura une courbe qu'on appelle Varc diurne.^ la courbe diurne, la courbe de déclinaison (') de ce jour.

Ces arcs diurnes sont les intersections de la Table du Cadran avec le cône droit décrit par le Soleil en nn jour, l.i variation de C^q dans l'intervalle étant négligeable.

Si le Cadran est plan, ces arcs sont donc des coniques ( liypcrl)oIi>, ellipse nu paiabolc), d'ailleurs symétriques par rapport à la sous-slylaire.

Comme l'arc diurne change d'un jour à l'autre, il présente un moyen de faire marquer au Cadran les

{ ' ) Ce terme de courbe de déclinaison peut aussi prêter il conCusion; nous éviterons de l'employer.

— iOo —

diverses époques de l'année : mois, fetos (îxes, époques où le Soleil se lève à /|'', 5'', ()••, ..., etc.

Mais l'étendue habituelle des Cadrans, même des plus grands, ne permet guère d"y tracer les ares diurnes de tous les jours, et l'on se borne aux ares diurnes des époques remarquables do l'année. Ordinairement, ce sont ceux qui correspondent à l'cnlrée du Soleil dans chacun dos signes du Zodiaque, chacun de ces signes étant de îo"; alors les arcs diurnes prennent le nom d'.^rcs des Sii^/tes.

Ces arcs des signes font connaître les commencement et lin de ciiaque saison, puisque ces époques correspondent à l'entrée eu Soleil dans certains de ces signes.

La nature des arcs diurnes dépend de la déclinaison ÛDq du Soleil et do la hauteur h du stylo sur le plan du Cadran :

Si CÔq < qo" — h, l'arc diurne est une hyperbole ÛÔq > 90° — /î, •' •' ellipse

(Dq = 90° — //, » » parabole.

Quand le Soleil est dans l'équateur, on a CO q = 0 ; la surface conique engendrée par la ligne tirée du Centre du cadran au Soleil se réduit alors ;» un plan (équateur) et l'arc diurne est une droite qui coïncide avec l'équinoxiale (50).

Quand le style est perpendiculaire au plan du cadran, comme dans les cadrans équatoriaus, les courbes diurnes sont des circonférences concentriques dont le pied du style est le centre commun.

85. Met /iode générale pour le tracé des arcs diurnes, des arcs des signes. — Secteur ou trigme des signes. — Revenons à la sphère auxiliaire {VI) que nous pouvons substituer, en gnomonique, à la sphère

terrestre, et supposons que le centre O de cette sphère (y?^. ^fi) soit phicé au sommet de Taxestyle d'un Cadran quelconque.

fig. -,6. — Spluhe auxiliaire, conpt'c par un plan horaire, et monlrani le iraco des arcs des signes dans l'espace.

Menons OE ( fig. b-j) perpendiculaire au style CC, et leslignesO/;,Oe, qui lassent avec OE chacune unan;;ie de aSoaS', obliquité de l'écliptique. La déclinaison cOq du Soleil varie entre -i- 23" aS' sa plus forte valeur et — 20° 38' sa plus faible.

Par suite, à midi et au solstice d'hiver, les rayons solaires ont la direction Oh; ensuite ils s'élèvent

peu à peu pour atteindre OE à léquinoxo du printemps, puis Oc au solstice d'été.

A partir de ce moment, leur décliiiaisoii com-

mence de décroître, repasse par OV. à l'équinoxe d'automne et revient à OA au solstice d'hiver sui-

rig. 58.

t'ig. r-g.

vant. Et ces rayons continuent indéfiniment ce double mouvement annuel de montée et de doscenle.

Eu même temps, le Soleil passe par les divers signes du zodiaque, d'abord par les signes ascendants (/ff. .')><) puis par les signes descendants.

A part les signes extrêmes {% et 0), on voit que les autres se correspondent ainsi deux à deux :

:z: cl *->.

)( et n\, r et A, V et iru, n et SI;

de sorte que ces signes ne déterniinenl sur le méridien du cadran que 7 directions dictinctes, y compris l'équateur.

Un tel secteur ( /Ig. 5X, ')[)), de 23" 38'x2~ |6"56' (l'ouverture et portant de ces 7 directions, constitue ce qu'on appelle le secteur ou criqoiie des signes.

8G. Ce trigonc des signes suppose réalisé, en car-

Fig. Co. — Trii^oiie «les signe» réaliïC cl mis en place sur l'axc-slvlc.

ton par exemple, permet de tracer l'acilement les

ooui'bcs diurnes, cl en parlirulier les arcs des sijnes.

Pour cela, nicUons-le en i)Iace comme il csl indique par la ligure 'in, et faisons-le tourner autour de l'axe-slyîe comme charnière : en prolonfjeant jusqu'à la Tal)le, par un fil, une quelconque <le ses lignes OK par exen pic {Jii^. b~, Iji), dans la rotation du trigone, le lil marquera la trace de l'équateur. c'est-à-dire l'équinoxiale. Si c'est Ofi qui est prolonge par le lil, celui-ci marquera l'arc diL signe correspondant {%), etc.

La figure 56 montre, en schéma, le trigone lié à la sphère auxiliaire, et ses lignes prolongées traitant les divers arcs des signes.

(S7. Appllcatiott au cas particulier des Cadrans l'ians verticaux à Centre : i" Méthode i^raphiquc. — Ces rotations dans l'espace, avec prolongement

Fi

d'une rieuse

direction par un fil, etc., sont assez s, et l'on préfère souvent tracer par poin

labots les

arcs des signes sur la Table ou sur une épure. Pour cela, reprenons la figure 48 ( P- 90 ) sur laquelle nous avons calculé l'angle x de la ligne horaire quelconque CH avec la sous-stylaire ('.P.

Nous connaissons {f>g. 48) l'anylo OCH =:^ de la ligne horaire considérée OH avec le style CO, de sorte que nous pouvons avoir la position CO' {/ig. 61) de l'axe-style quand on le rabat aiilour do CH sur le plan de la Table, c'est-à-dire du papii-r. Lo trigone, qui est toujours dans un plan horaire, étant supposé dans le plan horaire de la ligne considérée CH, prend ainsi la position eo' h {/îg. *>i ), ot, en prolongeant ses lignes jusqu'à CH, on aura sur cette ligne horaire les points correspondant aux divers arcs des signes, car ces points n'ont pas changé dans le rabattement du trigone. En faisunt cette détermination pour chaque ligne horaire, on pourra tracer par points les divers arcs des signes.

88. 2° Méthode basée sur le calcul. — On peut aussi, pour chaque ligne horaire telle que CH { fig. '3i), calculer la distance de chacun des points cherchés, tels que //', E', e\ ... au Centre C. Considérons, par exemple, le point e' et le triangle Co'c qui lui correspond : l'angle HCo égal à HCo' est connu (69) ; surplace, on peut mesurer Ja longueur Co = Co'; enfin l'angle o'éC est, pour l'heure considérée, la distance zénithale du Soleil ou le complément de sa hauteur, quantité que l'on sait calculer ((iO). On peut donc construire graphiquement ou calculer le triangle Coé, et par suite Ce.

De même pour chacun des autres points E', A', —

Cela s'applique à toute ligne horaire, et par suite on pourra tracer par points les arcs des signes. On procéderait d'ailleurs de même pour tout arc diurne.

Cela pouvant se faire pour une date quelconque,

est indépendant du calendrier employé. I a fi[;iiro (i

Fis. 62. — Parlie d'uQ Caiirau solaire Iracc ,i IKcole l'olytctliiiique el porlaiil les arcs (ics signes corrcsponilani aux mois du caleniliier français.

représente une parlie i*.'un Cadran quiavait été trace

à l'Ecole Pol\ tccliiiiqiie pendant que le Calendrier françiiis était en iisa[;e.

Voir Li;fran(;ois, jMcnioiic sur la Giiomoiiiqiie {Joli nuit Je l'Ecole Polytechnique, w" Cahier, Paris, an X, j). 2Gi-2'ji et pi. viii). La méridicniie en avait été déterminée par Vlechain, le 37 fructidor viii (iSoo, sept. 2'|) et le cadran avait été tracé par Gii'ard.

8'.). Cns des Cadrans l'erlicaux déclinants sans Centre [accessible). — Dans ce cas, le calcul précédent des longueurs Ce', CE', Cli , . . . (8>S) peut encore être fait; mais, comme le centre G est inaccessible, il n'est plus possible de porter sur CH les valeurs obtenues.

On peut alors procéder comme au paragraphe 77, c'est-à-dire réaliser ou calculer CH, {Jig. 52), et retrancher cette quantité de Ce; il restera H,e dont on j)orlcra la valeur à partir de H, de manière à avoir le point e' cherché. Et de même pour les autres lonj^ueurs C/(', CE', etc.

La même O])éi"ation sera répétée pareillement pour chaque ligne horaire.