Par le rabattement des angles successivement par

et 4, on obtient sept figures, dont une gironnée (fig. 8), une écartelée (fig. 8), et cinq paires (fig. 2, 3, 4, 6 et 7). Si l'on partage les côtés en deux parties égales et qu'on rabatte

successivement 1, 2, 3, 4, 8, 6, 7, 8 angles, et de toutes les manières, on aura trente figures (dont six seulement sont figurées ici), savoir : deux octoénaires (fig. 1 et 9), une gironnée (fig. 10) ,

LES POLYGONES

trois écartelées (fig. 11, 12 et 13), dix-sept figures paires, et sept impaires. Partant de la figure 9, on aurait, par le rabattement des

angles, également trente figures, que Ton peut considérer comme dérivées du carré par la substitution d'un trait pair composé au trait écartelé. Nous ne donnerons ici que les six figures 14 à 21 . La figure 19 est gironnée; la figure 17 est écartelée; les figures 15, i 6 et 18 sont paires. Si dans la figure 19 on rabattait les angles saillants on aurait la figure 20, qui est octoénaire et dont les angles saillants sont aigus et les angles rentrants droits; ces angles, rabattus à leur tour, donneraient finalement une étoile de quatre traits entrecroisés (fig. 21).

63. En substituant au trait écartelé de Toctogone octoénaire successivement un trait pair, un trait diagonal et un trait impair, on épuisera toutes les transformations linéaires, possibles par voie de substitution, d'un contour orbiculé de huit parties égales et également distribuées. Nous ne donnerons ici. que les figures obtenues par un trait pair, soit, dans l'exemple, un arc circulaire.

Ce tableau renferme trente figures : deux octoénaires (fig. 1 et 30); une gironnée (fig 19) ; trois écartelées (fig. 6, 16 et 28) ; dixsept paires (fig. 2, 3, 4, 8, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 20, 23, 24, 25, 26, 27 et 29); et enfin six impaires (fig. 8, 9, 13, 17, 21, 22).

En disposant les figures dans l'ordre suivant :

on remarquera : !<> que toutes les files verticales ont un même nombre d'arcs concaves ou convexes ; 2* que les files de droite

sont respectivement la contre-partie des files de gauche de même rang; 3* enfin que, dans la grande file du milieu, les figures ont leur contre-partie identique par changement des arcs concaves en arcs convexes et réciproquement.

§5. — E.e» polygone» d'un nombre impair

et premier de coté».

64. Les polygones d'un nombre premier de côtés, c'est-à-dire les polygones de trois côtés ou les» triangles, les polygones de cinq côtés ou les pentagones, les polygones de sept côtés ou les heptagones, les polygones de 11, 13, 17, 19, etc., côtés, ne peuvent être que de trois formes, savoir : 1* une forme orbiculée régulière et de symétrie radiaire, ayant un centre de disposition et autant d'arcs de symétrie qu'il y a de côtés ; 2° une forme paire à deux dimensions variables et donnant des figures symé-

LES POLYGONES

triques par rapport à un seul axe et de masse plus ou moins ronde, longue ou barlongue ; ^<» enfin, une forme irrégulière, indéterminée et asymétrique ou dyssymétrique si elle provient d'une forme paire biaisée.

Par la substitution de traits pairs, diagonaux et impairs aux traits écartelés, on aurait des figures variées. C'est ainsi qu'avec un arc circulaire et pour l'heptagone on aurait dix-huit figures, parmi lesquelles les figures 1 et 18 sont paires et radiaires, les

figures 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, lÔ, 12, 13, 14, 15, 16, 17 sont paires, et enfin les figures 7 et 11 sont impaires.

En distribuant les figures sous la forme du tableau suivant :

on remarquera que toutes les files verticales ont le môme nombre d'arcs concaves et d'arcs convexes, et que toutes ces files sont réciproques deux à deux ; ainsi 1 a tous ses arcs concaves et 18 tous ses arcs convexes, 2 a un arc convexe et 17 un arc concave, etc.

§ 6. — Les polygone» d'un nombre pair et multiple de côté».

65. Les polygones d'un nombre pair, pairement pair ou multiple, outre les deux formes extrêmes, l'une tout à fait irrégulière,

l'autre complètement régulière ou radiaire et ayant autant d'arcs de symétrie qu'il y a de côtés, dfcinent lieu à des formes variées et d'une symétrie corrélative à leur composition numérique :

!• Le carré y Y hexagone et V octogone ont été examinés cidessus.

2» Hennéagone, ayant trois fois trois côtés, peut être : 1° impair et irrégulief, â** impair et révolvé, 3" pair, 4* pair et ternaire, S* radiaire.

3* Le décagone^ ayant deux fois cinq côtés, peut être : 1® impair et irrégulier, 2° impair et révolvé, 3* diagonal, 4- pair, 6« écartelé, 6* radiaire, c'est-à-dire à symétrie dénaire.

4» Le pentédécagone, ayant trois fois cinq côtés, peut être : !• impair et irrégulier, 2° impair et révolvé par trois fois cinq côtés ou cinq fois trois côtés, 3' pair, 4° ternaire, 8<» quinaire, 6* radiaire.

5® LHcosigone, ayant quatre fois cinq côtés, peut être : 1* impair et irrégulier, 2* impair et révolvé par cinq fois quatre côtés, 3' révolvé diagonal par quatre fois cinq côtés et par dix fois deux €Ôtés, 4» diagonal par deux fois dix côtés, 5^» pair, 6<* écartelé, 7® gironné, 8* quinaire, 9» radiaire.

6» Le dodécagone, ayant trois fois quatre côtés, peut être : 1" impair et irrégulier, 2° impair et révolvé par trois fois quatre -côtés, 3° révolvé diagonal par quatre fois trois côtés et par six fois deux côtés , 4** diagonal par deux fois six côtés , 8» pair, 6<» ternaire, 7* écartelé, 8» écartelé et sénaire , 9*» gironné, 10» duodénaire ou radiaire et.complètement régulier.