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(fig. 21) et le carré inscrit (fig. 23). Entre les figures 24 et 27 s'intercalent entre autres les figures 25 et 26, qui sont révolvées. Le tétracèle révolvé donnerait la suite des figures 28 à 33. Dans la figure 28, les traits sont obliques et articulés aux sommets ; dans la figure 29, ils sont obliques et articulés sur les côtés ; dans la figure 30, ils sont parallèles aux côtés ; dans la figure 31 , les traits sont obliques et les quadrilatères irréguliers ; dans les figu-

res 32 et 33, on a des quadrilatères pairs ou des coins. Toutes ces figures sont obtenues par le pivotement des figures inscrites, carrés, croix, tétracèles, etc., ou par d'autres mouvements appliqués simultanément à tous les traits. Les limites extrêmes et fixes de ces figures, indéfiniment variables, sont les figures 21 et 27.

3° L'hexagone. — L'étoile sénaire peut être inscrite suivant les sommets (fig. 34), suivant un point intermédiaire et tariable, par exemple figure 38, et enfin par le milieu des côtés ou suivant les apothèmes (fig. 36). Le tricèle radié est révolvé (fig. 38) et

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variable entre les deux limites fixes (fig. 37 et 39). Le tricèle révolvé est articulé aux sommets (fig. 40), par les côtés et oblique (fig. 41), par le côté et perpendiculaire (fig. 42), par les côtés et obliques (fig. 43), par les côtés et parallèles aux côtés de rhexagone (fig. 44), et enfin encore obliques (fig. 45). L'hexagone révolvé inscrit dans l'hexagone peut être oblique (fig. 46), perpendiculaire (fig. 47), et encore oblique (fig. 48) ; dans ces figures, l'œil est de plus en plus grand. Si l'hexagone est inscrit suivant les côtés, on a les figures 49 à 53 : la figure 49 est oblique, la figure 50 perpendiculaire, la figure 51 oblique, la figure 52 parallèle ; la figure 53 est encore oblique ; l'œil va grandissant depuis la figure 4Ô jusqu'à la figure 53 et au delà. 67. On peut inscrire des figures différentes les unes dans les

autres, par exemple un irigone dans un carré ou réciproquement; mais ces figures, n'ayant aucune corrélation syntactique ^ donnent lieu seulement à un problème de géométrie, mais non à une disposition régulière. Au contraire, on a des dispositions régulières en inscrivant les uns dans les autres des polygones d'un nombre de côtés multiple ou sous-multiple du nombre des côtés du polygone initial. C'est ainsi que Ton peut inscrire régulièrement un trigone dans un hexagone ou réciproquement ; un carré dans un octogone ; un hexagone, un carré ou un trigone dans un dodécagone, etc. Les figures inscrites peuvent être isolées de la figure initiale, en ayant les côtés soit parallèles soit obliques, et se continuer indéfiniment en dedans ou en dehors, en restant concentriques, ou non, etc.

En général, et considérés comme des figures abstraites, les polygones inscrivent d'autres figures ou des motifs quelconques dont la symétrie cadre ou ne cadre pas avec la symétrie du polygone, qui est alors une forme-enveloppe ou de masse. Un trigone, par exemple, peut inscrire un motif impair, pair, diagonal, ternaire, sénaire, révolvé ou enfin radié ; mais pourtant il est impossible qu^ le motif diagonal, par exemple, remplisse bien l'espace triangulaire ; le trigone inscrit donc plus naturellement les motifs ternaires et révolvés. Pour les autres motifs, la corrélation n'est plus aussi essentielle et géométrique. Le sentiment des formes, de leur masse et de leurs désinences suggère naturellement l'emploi de cet artifice de l'inscription du motif dans un polygone corrélatif, ce qui est d'un secours précieux pour parfaire et mettre bien en leur place les motifs qui concourent à une disposition.

§ 3» — Les fissures dérlTées et les pol^g^ones

étoUés.

68. Les polygones rectilignes examinés précédemment peuvent être considérés comme des groupements de traits régulièrement distribués par rapport à un centre qui gouverne tout le système. Si Ton déplace les traits simultanément par rotation, ou translation ou par ces deux mouvements combinés, on aura encore des dispositions circulaires, mais de figures variées, savoir : !<> des polygones orbiculés (flg. 1, 8, 15, 22, etc.), dont les traits sont articulés bout à bout en un contour fermé ; 2° des polycèles détachés de symétrie radiée (fig. 2, 9, 21, etc.), ou ré-

voivés (fig. 8, 12, 26, etc.); 3© des polycèles entrelacés et de symétrie radiée (fig. 3, 10, 16, 18, 23, 25, etc.) ; 4« des polycèles entrecroisés ei articulés par les extrémités, ou des polygones étoiles (fig. 17, 24, etc.); 8<> des polycèles révolvés.et articulés (fig. 7, 13, 19, 27, etc.) ; 6* enfin, des polycèles entrecroisés et irradiés (fig. 6, 14, 20, 28, etc.). On étendrait facilement ce mode de

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transformation aux autres polygones. On remarquera que trois espèces de figures seulement sont fixes et invariables; savoir : les polygones convexes (fig. 1, 8, 18, 22, etc.) ; les polycèles irradiés (fig. 6, 14, 20, 28, etc.), et les polygones étoiles (fig. 17, 24, etc.). Toutes les autres figures sont mobiles et variables. Les polygones convexes ont été examinés précédemment; les polycèles radiés seront examinés au chapitre VIII. Nous n'insisterons donc ici que sur les polygones étoiles.

69. Si l'on imagine une suite de points en disposition orbiculée, c'est-à-dire situés sur une circonférence et également espacés, et que Ton joigne ces points un à un, on aura successivement un frigone pour trois points, un carré pour quatre

points, un pentagone pour cinq points un polygone de n

côtés pour n points. Mais, si Ton joint ces points non plus seulement de un en un, mais de deux en deux, de trois en trois,.... de n en w, on aura, au lieu de figures convexes , des figures ou des polygones étoiles dont les traits s'entrecroisent ou s'entrelacent régulièrement.

Les lignes qui joignent les points de division sont les côtés du

polygone, pour les jonctions un à un ; les diagonales ou les côt^s du polygone étoile, pour les jonctions deux à deux, trois à trois, n an, et enfin les diamètres quand les diagonales passent par le centre de la circonférence ou du polygone.

Le trigone n'a point de diagonales; le carré en a deux, qui sont aussi des diamètres, il s'ensuit que le trigone et le carré n'ont point de polygones dérités. Des autres polygones dérivent, en général, trois sortes de figures : 1" des polygones convexes entrecroisés (fig. 1, 3, 7, 11, 13, 14, 15); 2® des polygones étoiles continus (fig. 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16); 3« enfin, des polygones étoiles entrecroisés (fig. 9).

V hexagone a une figure étoilée (fig. 1) formée de deux trigones régulièrement entrelacés. Le pentagone a un polygone étoile continu (fig. 2) ; les diagonales^ en s'entrecroisant, déterminent un pentagone régulier convexe, semblable au premier, mais renversé. Le pentagone étoile peut donc être obtenu par réduction en menant les diagonales d'un pentagone, ou par extension^ en prolongeant les côtés de ce môme polygone. Ces deux modes de génération sont applicables à tous les polygones. L'octogone a deux figures étoilées, l'une (fig. 3) formée de deux carrés entrelacés , l'autre (fig. 4) , qui est un polygone étoile

continu, obtenu en menant les diagonales de trois en trois divisions. En prolongeant les côtés de la figure 3, on a la figure 4. L'heptagone a deux polygones étoiles continus (fig. 8 et 6) ; le second dérive du premier par extension, c'est-à-dire par la prolongation des côtés. Le décagone a trois figures étoilées : la première (fig. 7) formée de deux pentagones entrecroisés, la seconde

LES FIGURES INSCRITES ET LES FIGDRES DÉRIVÉES 97 (fig. 8) qui est un polygone étoUé contiDu, et la troisième (flg. 9) fonnée de deux pentagones étoiles entrecroisés. Par extension.

on passe successivement du décagone à la figure 7, de la figure 7 à la figure 8, enfin de la figure 8 à la figure 9. h'ennéagone a trois figures étoilées : la première <fig. 10} est un polygone étoile continu ; la seconde (fig. 11) est formée de trois trigones entre-

croisés régulièrement ; la troisième enfin (fig. 12) est un polygone étoile continu. Ces trois figures dérivent les unes des autres par extension. Le dodécagone a quatre figures étoilées ; la première (fig. 13) est formée de deux hexagones entrelacés; la

deuxième (fig. 14) est formée de trois carrés entrelacés ; la troisièmç (flg. IS) est formée de quatre trigones entrelacés ; la quatrième enfin (fig. 16) est un polygone étoile continu. On passe successivement du dodécagone initial aux figures 13, 14, 15 et 16 par extension. Le pentédécagone a six figures étoilées, l'une formée de cinq trigones entrelacés, une autre fonnée de trois pentagones entrelacés, une troisième formée de trois pentagones étoiles entrelacés, enfin de trois polygones étoiles continus. El ainsi de suite pour tous les autres polygones.

Des figares précédentes dérivent en outre d'autres étoiles ayant un nombre de pointes sous-multiples. Ainsi du dodécagone on tirerait encore une étoile de six .pointes à angles saillants droits^ une étoile de quatre pointes à angles saillants trigones, une étoile de six pointes à angles rentrants droits, une étoile de !

quatre pointes, enfin une étoile de trois pointes.