CHAPITRE PREMIER

LES ASSEMBLAGES DES POLYGONES

Les polygones rectilignes peuvent être juxtaposés par leurs côtés, ou groupés et assemblés par leurs angles quand les sommets sont réunis en un même point. Dans ce cas, la somme des angles ainsi réunis en juxtaposition parfaite vaut le trait carré ou quatre angles droits. Les polygones ayant des angles aigus, des angles droits ou des angles obtus, on peut réunir autour d'un même point soit des angles de même espèce, soit des angles d'espèces différentes, à savoir : un nombre quelconque d'angles aigus, quatre angles droits, trois angles obtus et enfin un mélange variable de ces trois sortes d'angles.

Les polygones curvilignes qui auraient des arcs concaves, ou convexes, ou enfin mêlés convexes et concaves, et d'un même rayon de courbure, peuvent s'assembler en juxtaposition parfaite.. Ces assemblages seront facilement obtenus des assemblages rectilignes par la substitution des arcs aux traits rectilignes.

Les polygones étant considérés comme des ligures ou motifs linéaires pçuvent être groupés de toutes les manières, soit en restant isolés, en se touchant ou en s'entrecroisant, mais on obtient .ainsi plutôt des dispositions syntactiques que des assemblages dans le sens géométrique du mot.

§ 1. — Le» triangle».

104. !• Les triangles scalènes rectangles. — Soil pour plus de régularité le triangle rectangle moitié du trigone. En juxtaposant

deux à deux les côtés de même nom, on obtient six figures : un triangle isocèle ou trigone (fig. 1), un parallélogramme (fig. 2), un triangle isocèle rampant (fig. 3), un parallélogramme (fig. .4), un coin (fig. 8) et enfin un rectangle (fig. 6).

Assemblés ou groupés par quatre, on aurait des figures révolvées : d'abord la figure 7, puis, en faisant glisser les triangles régulièrement, la figure 8, et, à la limite, la figure 9. Le triangle étant groupé par les pointes, on aurait ensuite la figure 12, puis la figure 11 et, à la limite, la figure 10. Ces dispositions résultent

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d'un triangle rectangle quelconque. Avec le triangle rectangle du trigone, on aurait de plus les figures 13 à 15, qui sont révolvées et diagonales.

105. 2® Les triangles isocèles. — Les triangles isocèles assemblés par la base donnent des losanges (fig. 1, 2 et 3); assemblés par un des côtés, ils donnent un quadrilatère concave (fig. 4), un triangle isocèle rectangle (fig. 5) et un coin (fig. 6), et, par inversion, des parallélogrammes (fig. 7- à 9).

Si Tangle au sommet est le tiers de quatre angles droits, on a le groupement en trigone figure 10, d'où l'on tire par rotation

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les dispositions révolvées figures 11 et 12. Si Fangle au sommet est droit, on a le groupement en carré figure 13, puis les disposi-

tiens révolvées figures 14 et 15. Si Tangle au sommet était égal à l/8«, 1/6®,.... l/n^ de quatre droits, le groupement par 5, 6... w reproduirait respectivement le pentagone, l'hexagone,.... le polygone de n côtés.

g 2. — Les quadrilatères.

: 106. 1® Les trapèzes isocèles et les coins. — Les trapèzes assemblés par les bases donneraient un hexagone . convexe

(fig. 1) et un hexagone concave ou échancré (fig. 2) ; assemblés par un petit côté, ils donneraient un parallélogramme (fig. 3) et un chevron (fig. 4); assemblés par un grand côté, ils donneraient la figure 8, qui est paire, et la figure 6 qui est diagonale ; enfin, assemblés par un petit côté, on aurait la figure 7, qui est paire, et la figure 8, qui est diagonale. Si le coin avait un angle droit, on l'assemblerait par quatre ; si un angle tiers de quatre droits, on l'assemblerait par trois; si un angle 1/8®, 1/6'... . l/n% on l'assemblerait par 5, 6, 7.... w, ce qui donnerait des polygones con-

vexes ou des polygones étoiles. Les coins qui ont deux angles droits, c'est-à-dire les coins des polygones réguliers, se peuvent encore assembler en disposition révolvée (fig. 9).

107. â"" Les parallélogrammes, les rectangles et les losanges. — Ces figures, ayant des angles droits ou supplémentaires, se peu-

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vent assembler d'abord par deux, et l'on a avec le parallélogramme les figures 1 à 3, avec le rectangle les figures 4 et^, avec le losange les figures 6 et 7. Assemblés par quatre, on a respectivement les figures 8, 9 et 10. Si le losange est trigone, il peut en outre s'assembler par trois (fig. 11) et par six (fig. 12.) Parle groupement révolvé, on aurait pour le rectangle les figures 13, 14 et 15,

g 3. — Les polygones.

108. 1® Le trigone. — Deux trigones accolés donnent un losange trigone. Quatre trigones donnent un trigone quadruple

en surface (fig. 2). Enfin six trigones groupés jointifs donnent un hexagone (fig. 3). Si dans cette dernière figure on fait glisser les trigones les uns sur les autres en tournant dans le même sens, on aura la disposition révolvée figure 4, qui est variable -entre la figure 3 et la figure S, laquelle est composée de six tri-

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gones accolés aux faces d'un hexagone équilatéral. La figure 2 est déterminée par le rabattement sur les trois faces du triangle initial. La figure 3 est déterminée par le rabattement circulaire, et les centres sont les sommets d'un hexagone. L'angle du trigone est égal aux 2/3 d'un droit ou au 1/6 de quatre angles droits, c'est ce qui explique le groupement par six et par quatre. 109. 2* Le carré. — Le carré accolé par deux donne un rectangle (fig. i) et par quatre un carré quadruple en surface (fig. 2).

De cette dernière figure on tire la disposition révolvée figure 3 variable entre la figure 2 et la figure 4, dans laquelle, les carrés sont groupés circulairement en déterminant un vide égal.

110. 3® L'hexagone. — En rabattant circulairement, et au plus près, un hexagone, ou, ce qui revient au même, en l'assem-

blant par trois, on a la figure 1. Par le glissement, on a la disposition révolvée figure 2 et, à la limite, la figure 3, qui revient au groupement de trois hexagones sur les faces d'un trigone. Par le rabattement circulaire, suivant les faces, on obtient encore une couronne de six hexagones enveloppant un vide égal (fig .4), d'où l'on tire, par le gUssement, une disposition révolvée, et, à la limite, la figure 5, où les hexagones sont accolés par les sommets en laissant un vide intérieur étoile. L'angle de l'hexagone est égal au 1/3 de quatre droits et les centres sont les sommets d'un trigone (fig. 1) ou d'un hexagone (fig. 4).

111. 4<> L'octogone. — L'octogone peut être groupé par quatre (fig. 1), ce qui détermine un vide intérieur, en forme de carré ou par huit en couronne (fig. 2) : le vide intérieur est alors un octogone étoile à angles saillants droits. L'angle de Foctogone est égal à 3/2. Les octogones étant groupés par les pointes,

oa aurait la figure 3, dont le vide intérieur est une étoile de quatre pointes. Quatre octogones éeartelés donneraient la disposition révolvée figure 4.

D'après ce qui précède, on voit que le trigone, le carré et l'hexagone sont les seuls polygones réguliers que Ton puisse assembler en juxtaposition parfaite autour d'un môme point. En outre, l'hexagone peut être assemblé avec des trigones ou réciproquement ; l'octogone s'assemble avec un carré et avec l'octogone étoile.

112. 8** Deux carrés et un rectangle (fig. 1), deux losanges et un rectangle (fig. 2), enfin deux losanges et un parallélogramme

(fig . 3) se peuvent assembler autour d'un même point, puisque les angles sont droits ou supplémentaires. La figure 3 est la figure 1 blaisée.

113. 6p Carrés, trigones et losanges. — Quatre losanges autour d'en carré en disposition révolvée (fig. 1); quatre carrés sur

les faces d'un losange (fig. â); deux losanges et deux carrés groupés autour d'un point (fig. 3). Dans ce» trois figures, le losange est quelconque. Quatre trigones sur les faces d'un carré (fig. 4), et enfin quatre carrés sur les faces d'un trigone (fig. 8). 114. 7^ Hexagone, carré et trigone. — En accolant des carrés aux faces d'un hexagone, on a la figure 1, puis, par l'interposition

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de trîgones entre les carrés, la figure 2, dont le contour est un dodécagone régulier. L'angle de Theuagone et l'angle du trigone

AXX

xxy

étant supplémentaires, si l'on y adjoint deux angles droits, c'està-dire deux carrés, on a la figure 3. La figure 4 est iiéterminée par des hexagones accolés aux faces d'un carré ; ces hexagones laissent entre eux un angle égal- à 1/3, soit la moitié de l'angle trigone.

116. 8® Groupements du dodécagone. Dodécagone et trigone, — Le dodécagone^ étant à la fois construit sur le type ternaire et sur le type quaternaire ou gironné, puisqu'il a 3 X 4 = 12 axes de symétrie, peut être groupé par trois et groupé par quatre. Groupés par trois et par les côtés, on a la figure 1, qui revient

à l'assemblage de deux dodécagones et d'un trigone autour d^un même point. Groupés par trois et par les sommets, on a la figure 2, dont le vide intérieur est une étoile de trois pointes ; groupés par quatre et par les côtés, on a la figure 3, dont le vide intérieur est une étoile de quatre pointes. Enfin, groupés par quatre et par les sommets, on a la figure 4, dont le vide intérieur est une figure de quatre pointes et de douze côtés, soit un dodécagone cave, gironné et équilatéral.

116. 9* Dodécagone, hexagone et carré, — On peut assembler autour d'un même point un dodécagone, un hexagone et un

carré, car la somme de leurs angles U -+- « + 5 = 4 dr. ] est

égale au trait carré. Le dodécagone reçoit sur les côtés une couronné composée alternativement d'hexagones et de carrés (fig. 1). 10** Ennéagone et hexagone, — Trois ennéagones étant as-

semblés circulairement avec trois hexagones laissent un vide intérieur qui est un ennéagone ternaire à trois saillants tron-

, qués et obtenu par le rabattement des angles de Tennéagone

(fig- 2).

On peut encore assembler une couronne de pentagones autour d'un décagone (fig. 3), puis une couronne de pentagones et de carrés autour d'un icosigone (fig. 4), enfin un pentédécagone,

Tg H" g + 5 = 4 dr. l, mais on ne

peut en terminer la couronne régulièrement, à cause que le nombre des côtés du pentédécagone est impair. Ces trois derniers groupements sont limités et ne peuvent couvrir le plan intégralement.

Pratiquement et théoriquement, les groupements examinés jusqu'à présent sont fondamentaux : pratiquement, parce que leur construction règle celle des figures plus variées rectilignes ou curvilignes ; théoriquement, parce que l'esprit doit les posséder pour ainsi dire en permanence, c'est l'esprit qui les édifie et qui les retrouve dans les dispositions elles ornementations les plus hétérogènes.