LES PARUTIONS DES POLYGONES ET DO CERCLE

nales,02, 03, 04, 05,... n, puis, parles sommets 2, 3, 4, 8... w, la suite des diagonales 2-4', 3-2', 4-3', 8-4'... qui toutes sont

parallèles au côté 01. Les points de rencontre de ces deux séries de diagonales déterminent des losanges. Par ces points de rencontre, on mène des parallèles de proche en proche, et finalement le polygone est décomposé en losanges.

Si le polygone a un nombre de côtés pair ou pairement pair, sa décomposition est intégrale (fig. 1 et 3), Si le polygone a un nombre de côtés impair, la décomposition est limitée, et il reste un vide irrégulief (fig. 2). Le dodécagone (fig. 1) est ainsi décomposé en quinze losanges qui sont de trois espèces ou de trois formes : six losanges aigus a, six losanges oblongs 6, et trois carrés c. Le losange a est le losange propre du dodécagone : groupé par douze autour d'un même point, il en détermine le polygone étoile. Le losange h est trigone : groupé par trois, il donne Thexagone, et, groupé par six, l'hexagone étoile.

Le trigone et le carré n'ont pas de losanges dérivés; l'hexagone en a un. L'octogone (fig. 3) en a deux, son losange propre, qui, groupé par huit, donne l'étoile octogonale, et un carré. Le polygone de seize côtés a quatre losanges : deux propres, le losange de Toctogône et un carré. Le pentagone a un losange propre, l'heptagone en a deux, l'ennéagone en a trois, deux propres et le losange trigone, etc.

119. On aperçoit immédiatement la liaison de ce mode de décomposition avec le mode de dérivation des polygones étoiles (69). Il en résulte que, si Ton joint le point milieu des côtés d'un polygone convexe et les sommets rentrants d'un polygone étoile au centre, on décompose les figures en coins et en losanges qui ont pour angle au centre l'angle au centre du polygone, et pour angle opposé la suite des angles du polygone convexe et des

polygones étoiles. Suivant donc que ces angles extérieurs s.eronl une fraction exacte du trait carré, on pourra les réunir autour d'un même point et déterminer par suite des étoiles variées.

Soit par exemple Tennéagone figure 4 et les polygones étoiles qui en dérivent. On en tire sept figures quadrangulaires : trois

JO

ji

losanges et quatre coins. Sur les trois losanges, l'un, celui de Fennéagone, donne Tétoile figure 8 ; l'autre, qui est trigone, donne rétoile hexagonale figure 6 ; le troisième ne donne pas d'étoile. Le premier coin est celui de l'ennéagone figure 7. Le second donne une étoile de neuf pointes (fig. 8). Le troisième àoniie une étoile de neuf pointes (fig. 9) et une de six pointes (fig. 10) ; le quatrième, une étoile de neuf pointes (fig. 11), et une de dix-huit pointes (fig. 12.)

Ces figures, que l'on peut qualifier de géométriques, puisqu'elles dérivent régulièrement et systématiquement d'une figure géométrique définie, appartiennent pourtant à des types plus généraux