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sans frottement : le travail élémentaire de la pesanteur étant mdz, et celui de la réaction normale de la courbe étant nul, le théorème des forces vives donnera bien
mv1 — mv0* = 2m(z — z0)t et le système de cette équation jointe aux deux équations de la courbe posera, il est vrai, la question analytique; mais il restera dans chaque cas à effectuer l'intégration. Nous renvoyons à l'article pendule pour les applications relatives aux cas où la courbe donnée est un cercle vertical ou une cycloïde contenue dans un plan vertical et ayant sa base uue horizontale.
Supposons en second lieu que le mobile doive rester sur une surface f (x, y, s) = 0, le théorème des forces vives fournira d'abord seconde équation du mouvement
mu* — mv0* = 2m (s — z0).
D'un autre côté, en désignant par R la réactif.n normale de la surface et par U la quantité
tf
dx) + \dy)
on devra avoir <Vx dt*
et
d'où
ru'', ghRui'
dx dt* dy
dt*
-,+ HuJf,
Su V cos X ou
cos).. V.
d*x df dt* dy~ ~dP dx ~ "' On aura donc bien les trois équations du mouvement, mais il restera à effectuer des intégrations généralement difficiles.
M. Catalan a traité (Journal de Liouville, t. XI, p. 212, 1846) une question intéressante, qui est en quelque sorte l'inverse de celle qui nous occupe. II s'est proposé de trouver une surface passant par une courbe donnée et telle qu'un point pesant parcoure cette courbet lorsqu'on le pose sur la surface, en un point de la courbe, avec une vitesse de grandeur et de direction convenables.
La solution qu'a donnée M. Catalan de cette belle question est extrêmement simple et nous ne croyons pas devoir la passer sous silence.
Soient
les équations de la courbe donnée : l'éqi
de la surface cherchée pourra recevoir la
forme
V=x-f(z)-[y-ft(z)] «(y,.-) = 0,
et la question sera de déterminer la fonction ?.
Or la condition
dFd'x dFd'y rfF , / dx\ dV , ( din
— - — - -r--A ou -r-rf(u^-)=-j-''
dy df dx dt' dy \ ds/ dx \ ds )
trouvée plus luiut devra être remplie en cun des points de la courbe donnée; l'équation qui l'exprime devra donc être n identique quand on y fera x = f(z).y = /,(-)>
..-.•■ llx . '''' i après avoir substitué à v -j- et » -7- les valeurs qu'auraient ces quantités, en fonction
cm 1
de x, dan>. !•■ m u\ à par.
dl' dF
0r S" "' et' P°ur*"W*)' fy
duît à — =[/,(;), r], en sorte que la donner a
simple =[/",(:), r] a a .-- de =,/,(*);
la fonction cherchée &(>/,=) sera donc
f{**)-z(*) + <y— A*>tift*)f
ignant une fonction complètement arbitraire.
En prenant pour exemple le cas où la courbe donnée serait une hélice tracée sur un cylindre vertical, M. Catalan trouve, pour la surface cherchée, l'équation
arc tang s- .
2 " T *' + ,■ + — ^T? — A ,yh
r désignant le rayon de base du cylindre et
— la tangente de l'inclinaison de la tangente
à l'hélice sur le plan de ba En supposant & = o. L'équation se réduit à y . arc tang — r* p x
si l'on fait x = p cos u, et y = p sin u.
La surface représentée par cette équation est remarquable : les sections horizontales sont des spirales analogues à celle d'Archîmède; les sections faites par des cylindres concentriques à celui sur lequel est tracé lice proposée sont d'autres hélices; enfin les sections par des plans menés suivant l'axe sont des courbes hyperboliques ayant pour asymptotes l'axe des -, et la trace du plan sécant sur le plan perpendiculaire à l'axe mené par le point où l'on suppose que le mobile ait été placé sans vitesse initiale, c'est le plan qui a été pris pour plan des xy.
La courbe de plus grande pente de la surface a pour seconde équation
— U1 P=Ce
Enfin l'axe des x appartient à la surface, et il est facile de voir qu'en quelque point axe qu'on plaçât un mobile, sans vitesse initiale, il décrirait l'une des hélices tracées sur la surface.
Ajoutons en terminant qu'il ne suffirait pas qu'on eût placé un point matériel sur une, surface pour qu'on tût assuré qu'il la parcourra jusqu'à sa limite. Si la convexité de la surface était partout dirigée vers le zénith, il est bien clair que le mobile ne pourrait pas la quitter; mais, dans le cas contraire, pour qu'il restât sur la surface, il faudrait que sa vitesse restât toujours inférieure à une limite variable déterminée en chaque point : il faudrait que la parabole que le mobile tendrait à chaque instant à décrire, si la surface ne se trouvait pas interposée, eût une courbure plus grande que celle de la section de la surlace par le plan de cette parabole.
— IL Chute d'un corps pesant en tirant
COMPTIi Dli I.A RÉSISTANTE DE L'AIR. Soient. O
le point de départ du mobile auquel nous don-
un t
Fig. 3.
nerons l'unité de masse, C le centre de la terre; supposons que le mobile ait en
e v0 dirigée de O vers C. L'action de l'air produisant une résistance proportionnelle au carré de la vitesse du mobile, l'équation du mouvement sera
en comptant les x positifs de O vers C. Posons
il vient
d'x I u' \ du
k est la vitesse pour laquelle la résistance est égale à g. L'éqn
/ v*\ dv
donne successivement
fc'du ,./ A B v
* U + b k-v)îk
u :.era c en faisant dtens on / m o et 0 = v0. .
il vient e ■ 0; l'équation du mouvement est
nt k + v
ktgt
tr/t
ou v = A- -
dX:
dt;
d'où
(Si »'\ c '
pour r = 0, x = 0; donc c = 2, et l'éqn définitive du mouvement est
Cette expression de x montre qu-coordom ;nte indéfînin
quant à la t nd vers la limite /',
■ plus à devenir uniforme -, ce résultat i^
sèment la vitesse pour laquelle la résis
NOUS initiale
■ maintenant que cet!
sorte que le scendant.
on de ce mouvemei
dv dt'
d'où
• gt = k arc tang j + c '
k are t u
— *are tal
gt T~T *("o— »)
ou tang -r= = 5— ,
Ve„eo5-':— A' su.'' ) . f/t
"° * * D° 5ln T + cos a"
de cette équation on déduit
(»o sin"; -i- A cos^-1
A' f»*»g + *~fl
