I ' ' > ' 1 2 3 ^ I VI

Si, dans cette formule de Taylor, on remplace X par 0 et A par x, la fonction devient

et son développement prend la forme

' y = Ax) = /-(o)-|-/'(o)x+no)''

I + r'(o) — + f'io) — î^ + ...

[ Ti ^ I i 2.3 ^1 V"' 1.2.3.4 ^

Cette relation, qui n'est qu'un cas pariicalier de la formule de Taylor, est connue sous le nom de formule de Maclaurin, dans laquelle

m, no), r(o),...

sont les valeurs do la fonction y et de ses dérivées successives lorsqu'on y fait x = 0. Au moyen de ces formules, on peut développer en série toutes les quantités que l'on veut. Ainsi, soit à développer

y'^ix+a)",

on déduit successivement

rix) = y = x"'; Axj^mx'"-';

/"(x) = m(m — Ox'"-^;

Substituant ces valeurs dans la torniule (1) de Taylor, on a, eu remarquant que A est remplace par a,

(x-|-a)"'=x'"-t-max"'-' m(m- i)„j

"I Tim " X

ce qui n'est autre chose que le binôme de Newton.'

On obtient de même les développements de sin X et de cos x eu fonction de l'arc x. De la fonction y = sin x, on déduit successivement

/■(x) = sin X,

/'(x) = cos X,

/"(x) = — sin X,

/"'(x) = — cos X,

/'^(x) = sin X,

/■^(x) = cos X,

/"(x) = —sin X,

r"{x) = -cosx.

Faisant l'arc x = 0» dans ces expressions, on aura, d'après la formule (2) de Maclauriii,

/(x) = rt") = sin X = sin 0" = o,

/'(x) = f{0) = cos X = cos 0° = 1,

/■"(x) = /"(O) = — iin X = —sin o» = — o,

f"'{x) = f" {0) — — cos x = ^cosoo = — 1,

f"(x) = /"^(o) = sin X = sin 0» = o,

f^(x) = p(<>) — cos X = cos oo = 1,

/■"(i) = /""(O) = — sin X = — sin oo = — o,

'■"(x) = /'"'(1) = — cos X = — cos 0» = — I.

f Substituant ces valeurs de

rtx), /"(x), /''(x)...

dans la formule (2) de Maciaurin, on a, en observant que les termes de rang impair se

réduisent à zéro sin X

De la fonction y ~ cos x on déduirait de même le développement suivant :

cos X = 1 -I 1