en remarquant que

/■(x) = cos X,

f(x) — — sin X, /"(x) = — cos X,

f'"{x) = sin X,

P^ix) = cos X, /^(x) = — sin X, f^(x) = — cos X,

r^'{x) = sin X,

et que par suite, en faisant l'arc x = 00, ces expressions deviennent, en adoptant le.s notations de Alaclaurin,

A'ï) = Ao).= cos X = cos 00 = 1,

f{x) = r(0) = — sin I = — sin Qo = — 0,

/''(x) = /"(O) = — cos X = — cos 0" = — 1,

/■"'(x) = /""(O) = sin X = sin 0» = 0,

/"(x) = /"(o) = cos x = cos 0" = 1,

/■'(x) = /^(o) = — sin X = — sin o» = — 0,

/■"(x) = /■"(O) = — cos X = — cos 00 = — 1,

/■"'(x) = /"'(o) = sin X = sin 00 = 0.

SERI

On peut remarouer que dans ces valeurs de /'(x), f(x)..,^ les termes de rang pair s« réduisent à zéro. Ces deux séries de sin x et de cos X sont de la nature de celles que l'on nomme convergentes. Pour passer d'un terme au suivant, on multiplie consiamment ce terme par x', tandis qu'on le divise par deux nombres entiers qui vont toujours en augmentant (en faisant abstraction du si;j;ne) ; on est donc assuré qu'il y aura dans chaque suite un terme à partir duquel tous les autres seront indéfiniment décroissants. D'un autre côté, les termes étant alternativement positifs et négatifs, il est facile de voir qu'en arrêtant les séries à l'un quelconque des termes décroissants, l'erreur que l'on commettra sera moindre que le terme suivant; par conséquent, cette erreur peut être rendue aussi petite qu'on voudra.

— fiemargues sur la série de Taylor. Cett« formule consiste dans l'identité du développement

avec l'une des formes de la fonction f{x),

lorsqu'elle en comporte plusieurs, /"'(x), ou la. dérivée de /\x), est la limite du rapport de l'accroissement de /"(x) à l'accroissement de x, lorsque ce dernier tend vers zéro, et de même /"'(xj,/'"(x). etc.. sont respectivement les dérivées de /^(x), r'{x)y etc.

Ainsi, si une équation K(x,y} = 0 définit une fonction y de la variable x, fonction qui pourra avoir m valeurs si l'équation F = o est algébrique et do degré m en y, ou une infinité si cette équation est transcendante, si y, désigne l'une des valeurs de y correspondant à la valeur x, de x et que y',, y",..., désignent les dérivées successives de y par rapport à x correspondant aux valeurs Xo, y, de la variable et de la fonction, le théorème de Taylor consisterait dans l'identité de

et de celle des formes de la fonction y qui comporte pour elle-même et pour ses dérivées les valeurs y», y',, y" , correspondant à x = x,.

11 existe de ce théorème un grand nombre de démonstrations qu'il convient avant tout de distinguer en deux classes : les unes algébriques, où le théorème conserve son importance primitive, mais dont la rigueur a paru douteuse; les autres arithmétiques, ou le théorème lui-même disparaît. Ces dernières réduisaient la proposition à cette affirmation naïve que

AxH-A) = A^)-f/'(x)A-|-..,

plus un reste inconnu. Ce reste ayant toutefois l'habitude de tendre vers zéro et pouvant prendre sous de nombreuses conditions la forme

/«+*(xH-6A)— — :

I désignant une inconnue comprise entre 0 et l, lorsque x, A et f{x) sont réels, car, dans le cas général, ou ignorerait ce que devrait être ft.

De pareilles démonstrations ne constituent qu'un aveu d'impuissance; nous n'en dirons rien autre chose.

Parmi les démonstrations algébriques de la formule, les unes reposent sur les principes du calcul intégral; elles peuvent être considérées comme destinées à fournir des vérifications utiles, mais l'exposition dogmatique de la science ne peut pas en faire usage.

Enfin, parmi les démonstrations acceptables, les unes font du théorème de Taylor la conclusion générale des théories qui constituent le calcul différentiel, tandis que les autres en font la base de ces mêmes théories. Nous n'avons pas de préférence exclusive pour l'un des deux modes; nous indiquerons donc comment nous pensons que la démonstration pourrait être présentée soit dans l'un, soit dans l'autre.

En supposant achevée l'exposition du calcul différentiel, il nous paraît que l'on pour- I rait se borner, pour établir l'iiientité en I question, à observer que deux fonctions différentes peuvent bien avoir même valeur, pour une valeur particulière de la variable, qu'un certain nombre de leurs premières dérivées peuvent bien présenter aussi mêmes valeurs, pour cette valeur même de la variable, mais que la séparation doit se faire tôt ou tard. Aucun axiome ne surpasse ce principe en évidence. Nous dirions donc que

représente celle des fonctions y. qui, pour x = x,, prend la valeur y, et dont les dérivées ont alors pour valeurs y'„ y"„ etc., parce que la fonction

et ses dérivées prennent, pour x—x,^ les

SERI

valeurs y', y", y"\ etc. Tant donc que U série

serait convergente ou oe deviendrait pas in déterminée , elle représenterait l'une des fonctions y pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de U variable, simplement parce qu'il n'existerait aucune différence assignable entre I"S deux fonctions.

La (question de la série de Taylor se réduirait ainsi k ce point bien plus intéressant de savoir pour quelles valeurs de x la série tombe dans une forme illusoire et cesse, par conséquent, de représenter la fonction.

Les gens difficiles en fait de démonstrations ne font pas asser attention que, pour so refuser k l'évidence, ils en viennent à se laisser convaincre par des démonstrations assei entortillées, il est vrai, pour que les cercles vicieux qui y abondent échappent à leurs yeux peu clairvoyants, mais fausses, en dédnitive, et «qu'ils acceptent l'obscurité après avoir refusé la lumière.

A-t-on jamais pu démontrer que deux rapports incommensurables sont égaux lorsqu'ils ne différent â aucune approximation T Non, après bien des efforts on a été réduit à prendre la circonstance pour définition du fait. Pourquoi donc pourrait-on démontrer

?ue deux fonctions dont les dérivées se conondent indéfiniment sont identiques?

Aucune des prétendues démonstrations de la formule do 'Taylor ne faisait, il y a peu de temps encore, acception de l'exception présentée par le cas où la série devient illusoire, par la raison toute simple que ce cas n'était pas encore bien étudié, et cependant on acceptait ces démonstrations, qui ne prouvaient que l'absurde.

Si l'on voulait, comme Lagrange l'a tenté, faire de la furmule de Taylor la base même de l'analyse transcendante , on pourrait, comme l'avait voulu Taylor et comme a fait dernièrement M. Caqué, la déduire des premiers principes de la théorie des différences; mais il nous paraîtrait préférable de conserver la démonstration qu'avait donnée Lagrange lui-même.

^ Cette démonstration a été fort critiquée et l'on doit avouer qu'elle est faible en quelques points; mais elle présente de tels caracteies de simplicité, d'êlegance et de généralité, que nous croyons qu'il eût mieux valu la fortifier, ce qui n'est vraiment pas difficile, que de la remplacer.

Nous commencerons par la donner telle que l'a proposée l'illustre auteur de la théorie des fonctions analytiques.

Lagrange, remarquant que la fonction /■(x-j-A), devant so réduire a /"(x) lorsque h tend vers zéro, doit se composer de /"(x) et de parties où l'on puisse mettre A en facteur à différentes puissances positives, de sorte que

/'(x -H A) = /(x) -H PA" -f QA^ -f- RAT -f- ... , ajoute que les exposants o, p, ^,... ne sauraient être fractionnaires, sans quoi le second membre aurait plusieurs valeurs tandis que le premier n'en a qu'une. Il donne donc au développement la forme

Aa:)-fPA-i-QA'-fRA* + ...

P est, par définition, la dérivée de /"(x), et cette définition suffira pour l'obtenir, puisqu'il ne s'agira que de trouver, par un moyen quelconque, la limite de

pour A = o. Les fonctions Q, R, etc., ne seraient pas moius bien définies par la condition d'identité entre les deux membres du l'équation

Ax-fA) = /(x)-t-PA-|-QA'-|-..., puisqu'après avoir trouvé P on n'aurait, pour obtenir Q, qu'à chercher la limite da f(x-\-k)-fix) p

^ = Q + RA -f ...,

pour A = 0; qu'on trouverait ensuite de même

f(x + h)-fx p

R == lim. T 1

et ainsi de suite.

Mais toutes les fonctions f{x), P, Q, R, etc.,

sont liées les unes aux autres par des relations telles que, à un facteur constant près, chacune d'elles se déduit toujours de la précédente par la même règle : chacune d'elles est la dérivée de la précédente multipliée par l'inverse de son rang diminué d'une unité. C'est dans la manière dont est établi ce point capital que la démonstration de Lagrange est surtout remarquable.

Les fonctions P, Q, R, etc., ne dépendent que de x, A n'y entre pas; si donc on y donnait à X un accroissement k, chacune d'elles pourrait se développer comme s'est développée f{x -\- A) elle-même ; désignons par

SERI

les valeurs que prennent P, Q, R. etc., lorsqu'on y reraplaoex par i+ A; P', Q', R'.etc, seront respectivement les dérivées de P, Q, R, etc., comme P était la dérivée de f{x). Cela posé, dans l'irientité f(x+k)=r{x) + Ph + Qh' + Rh' + ...., remplaçons d'abord x par x-{-k et eiisuito ft par h + k, les résultats devront évidemment être identiques. Or, le premier Sf ra f[x + h + k)=nx)-{-Plc+ Qk' + Rk' + ..., + PI, + P'hk + P"hk' + ..., + Q/,' -hQ'/.'A-f ..., 4 RA" +..., + ..., et le second

nx + h + k) = nx) + Pk+Qk' + Rk' +..., 4- PA + iQI,k + 3Rhk' + ..., -f QA' +3Rh'k + ..., + RA' +..., + ....

La simple identification des seconds membres donne immédiatement

!Q = P', 3R = P" = Q', etc.

Ainsi, chacune des fonctions est bien la dérivée de la précédente multii'lièe par l'inverse de son rang diminué de 1.

Les objections qu'on a faites à cette démonstration sont fort graves, mais elles peuvent être toutes levées successivement; et, si Lagranf^e ne s'en est pas préoccupé, c'est qu'il avait donné tous les moyens dy répondre ; sa démonstration est complète pour qui sait la lire avec intelligence.

Le premier point que l'on reproche à Lagrange est d'avoir glissé trop rapidement sur

SERI

lu (lifflcultô considérable que présentait l'Iiy-

fiothèse que les exposants o, p, t- —■, ^^ déveoppement f(T-\-h) = f{x) + PA« + Cth^ + RAT 4-..,

pussent être fractionnaires. La raison qu'il donne est, en effet, évidemment mauva.se, puisque le premier membre de l'identité a généralement plusieurs valeurs et souvent une infinité de valeurs. L'identité, du reste, n'est que partielle, le second membre ne représentant qu'une valeur du premier; en sorte que ce n'est pas en raison de l'identité que les exposants a, ^, y, ..., doivent être entiers ; au contraire, c'est parce qu'ils doivent être entiers que l'identité n'est pas complète. Il faut donc trouver une preuve directe de l'intégrité de ces exposants.

Quant au premier, «, le fait était acquis déjà avant Newton et Leibniz; il suffit, en effet, de renvoyer au triangle différentiel de Barrow pour donner la preuve que o = 1. Supposons donc que l'on admette que les n premiers exposants o, |i, j, ..., \ doivent être entiers et égaux à 1, 2, 3, ..., », et nous verrons que la méthode de Lagrange suffit à démontrer que le {n -\- 1)'*'"*, ^^ le sera aussi et aura pour valeur n-j-l.