V.xi etfet, posons

Ax + A)=A^)-1-PA-|-QA' + ...

et remplaçons encore d'abord x par x^k et ensuite h par h-\- k; l'intégrité nécessaire des exposants successifs, jusqu'au nième inclusivement, étant admise, P, Q, ..., li, M, etc., lorsqu'on y remplace x par x + A, deviendront

L-f L'A + V'k^ -f ... + L„fc"-f L„^.^A^^' M + M'A + M"/c* -h ... 4- M„A"+ M„^,A'^-t \

On aura donc, d'une part, en n'écrivant que les termes de degrés supérieurs à ", par riipport à A ou à A,

/■(J + A + h) = f{x) -I- ... -f MA'* -f ..., + P„''A« -f....

MAt" -H ..., + ...

et, de l'autre,

Ax + A + A) = /(x)-f ...-^-M(ft-fA)^ L'identité exigerait donc au moins que

M{k + h)^ reproduisit

MAl'-t-P„AA''-(-Q„,A'A"-^-f-...

+ L'A"A-t-NWA Cette condition comprendrait déjà celle que |i fût entier; mais, que |> soit entier ou fractionnaire, il n'est pas ditflcile do prouver, par li!s régies élémentaires d'algcbre, que (* + A)'' se compose de A'', d'un terme du premier degré en A, représenté par n/ii''~ , et de termes de degrés supérieurs par rapport ti h. Ainsi, ridciililé entre M(*-f A)** et

MAl'-(-P„A*'"-i-...-f.MAl' exige l'identité

d'où résulte n— I » n, c'est-à-dire i» = h + ï, ot liM = P„, c'eat-ii-dire

Tnute difficulté disparaît donc relativement au premier point. On a trouvé, en outre, que la (Inmonslration de l.n^-rango supposiiit trop bénévolement uu lecteur le peu d'uilolligenco néces-^airo pour étendre do proche en proche la furmulo

On fait habituellement trop peu d'attention, dans les jugements que l'on porte sur

lu bonté relative des démunstrations, à cette condition que le géomètre devrait toujours avoir présente à l'esprit, de conformer les moyens employés au but k atteindre.

— DÉTERMINATION DK L\ LIMITE DE CON- VËRGKNCB DU LA SÉRIE DE TaYLOR. Lorsqu'll

s'agit d'une térie numérique donnée, c'est dans la forme algébrique du terme général qu'on peut trouver les éléments de determitiation de la limite de convergence. !.ia série de Taylor

/tiy\ x — 2

\(ix^ 1.8

d'un terme au suivant ; mais ce que nous venons d'y ajouter répond aussi bien k ce nouveau reproche.

Ainsi, la démonstration de Lagrange est irréprochable sous le rapport logique, ot sous tous l'-'S autres dlo présente les qualités les plus (ixquisos. En effet, la question ne comportait que deux points délicats, le premier relatif à lu valeur du plus faible exposant do l'accrfiissemont de lu variable, le second ii l'unité do modo de formation de tous les coof ficionti P, Q, K, etc. Le premier point touchait h une question de fond, il se trouve ré* solu par l'énonce éviiient d'une loi naturelle; le second touchait k une onostion du lornio, il est résolu par ung trnnslormntion.

considérée d'une manière générale, ne présente pas les mêmes ressources, et ce n'e^t plus que dans une théorie générale dos fonctions que l'on peut esnérer do découvrir la limite cherchée du module de (z — x,).

Cette grande et belle que:tUon a été résolument inaugurée Jés 1831 par M. Cauchy ; l'illustre académicien y est revenu un grand nombre do fois à do longs intervalles, et il est mort croyant l'avoir résolue.

M. Puiseux, M. Tchebicheff, M. Lamarle, M. Ossian Oonnet, MM-i^not et Bouquet s'en sont plus ou moins occupés concurremment avec M. Cauchy ou depuis, mais lu qu'isiian estsortie presque entiero de leurs mairr.

M. Marie en a donné la solution complète, que nous allons rupportur, dans un mémoire présenté k l'Académie des sciences dans su séance du 22 mai 18GS, ut qui a été inséré deuuts dans le Journal de M. Ltouville,

L'histoire de la question présente des enseignements tellement intéresMiiits «t utiles que nous croyons devoir un donner rubrégâ.

M. Cauchy, remarquant que la $érie no

rieul en aucun cas fournir qu'une valeur de a fonction y, supi<osée définie pur une equtition algébrique /(x, y) « 0, en a conclu tout d'abord, avec raison, qu'ello devait tomber dans un ca» illusoiro, oi, par conséquent, devenir divergente des que l'on cssityorait Je lui faire rciirésenter l'ordonnée d'un point do lu courbe f[x,y) plus éloigné du point io do-

t)arl[x.,y,J i|U un point ou y avait deux vacurs egule^t. La tlivtanco du point [x,yj au point [x.,y,] s'estime, en co oui concorno lu théorie qui nous occupe, pur la grandeur du module du [x — x*].

M. Cauchy a concentré ses efforli sur la démonstrution analytique do la ci'Tncidrnce, Il laquelle il croyait, entre le pus^agr de lu fonction y par une de ses valeur:* tnul'iplcs ot la divergence do la série. Ses dt-tiMinniintions sont dos tours de força analytiques, mais un .simple exumon prénlnble do lu question suffit pour en mettre l'inamto on évidenco.

En effet, la séri*^ tant qu'elle reste convergente, reprA.-'onte une de» formoii de la fnnc* tion ; or, si la fonction doit devenir infinie pour une valeur x, do In vanablo, on c>>mprand tr4t bien quo la ttrte, li «Ma p«ut <lun-

SÉRI

ner les valeurs des ordonnées de la branche de courbe qui a pour asymptote x = Xj, croisse iniléfiniraent lorsque x se rapproche de x, et, par suite naturelle, devienne divergente pour X = x^. Nous verrons bientôt qu'on a encore des motifs certains de prévoir la divergence lie la sériCy k partir de x = x,, lorsque, au lieu de y, c'est l'une de ses dérivées qui devient infinie pour x = x,. Mais comment pouvait-on admettre que la série devînt divergente en un point où, la courbe se coupant elle-même, y avait, à la vérité, deux valeurs égales, mais finies, toutes les dérivées de cette fonction restant d'ailleurs finies?

M. Cauchy, pour ne pas voir, aima mieux renoncer aux notions les plus élémentaires de continuité qu'à son idée préconçue. U admettait que l'indétermination dût aâ'ecter la fonction y à partir du moment où elle aurait passé par une de ses valeurs multiples, à laquelle correspondissent cependant des valeurs toutes différentes de sa dérivée. Il reconnaissait l'empire de la loi de continuité, tant qu'il s'agissait de la fonction, et en déclinait les conditions, relativement à la dérivée. Ce curieux exemple de naïf entêtement ne doit pas être perdu.

L'erreur de M. Cauchy fut reconnue de deux manières différentes par M . Tehebicheff (/ournal de Crelle, 1844, t. XXVIII, p. 279 a 283) et par M. Lamarle, ingénieur en chef des ponts et chaussées, directeur de l'Ecole polytechnique de Belijique (Journal de M. Liouville^ 1846, t. XI).

M. Tchebicheff établit que, pour que la série devînt divergente, il était nécessaire que lu. fonction ou l'une de ses dérivées fussent au|»aravant devenues infinies ; de son côté, M. Lamarle fit voir qu'il ne suffisait pas que deux valeurs de y fussent devenues égales pour que la série devint divergente, mais

2u'il fallait encore que les formes corresponantes de la fonction se permutassent lorsque, le module de x — x, restant supérieur ù celui de la différence correspondante au [loiut douteux, son argument passerait de 0 à 2«.

l,a voix de iM. Lamarle paraît avoir été étouffée en France ; quant k celle de M. Tchebicheff, elle n'y est peut-être pas parvenue. Quoi qu'il en soit, l'?s choses ont marché comme sï la protestation n'avait pas eu lieu; MM. Puiseux, Briot et Bouquet ont conserve les points simplement multiples au nombre des points critiques ou la convergence devait être arrêtée sî la^ién'c avait pu porter jus* qu'à eux.

Le fait a d'autant plus lieu d'étonner que l'on démontrait, des cette époque, plus ou moins explicitement, qu'une série ordonnée suivant les puissances croissantes et entières de la variable est convergente ou divergente en même temps que toutes ses dérivées et intégrales.

Voici la démonstration qu'on peut donner de ce théorème important. Soient Px^ et Qx^ deux termes de la série et, par conséquent, pPx^~ et ^Qx'~ les termes correspondants de la série dérivée ; les modules des rapports seront

SÉRI

et

mod ( p ) X (inod x} ^mod^p^ x(mod i)''

Or, Q—p restant fini, - aura pour limite l,

P et pur conséquent, si dans la série proposée le module du terme général tend vers zéro, il y tendra aussi dans li dérivée et réciproquement. Ue sorte que, le cas douteux excepté, les deux séries doivent être en même temps divergentes ou convergentes.

11 fallait conclure de là que la série représentant y ne pouvait pas être divergente sans

que celte qui représenterait -^ le fût aussi:

ax et, cette dernière n'ayant pas de raison do l'être en uu point simplement multiple, puîs-

dy que les valeurs de -r y étaient différentes.

ttX *

lu série représentant y no devait pas l'élro non plus.

Au contraire, l'important théorème qui prAcède rend trés-bion compte de ce fait étonnant au premier uburd, quo la série propre à reprêsanter y de\ionno de fait divergente, comme on en HViiii dr» exemples, aux points où les dérivées d<^ y, à purlir d un certain ordre, deviennent infimes, y toutefois restant fini.

Cola lient, d'après co qu'on vient de voir, k ce que le sort do U «^rte y est iulim-mmi

lie à celui do» séries ■—, ~ ;, etc. Au reste.

rfx i/j-' '

une explication bien simpU; peut faire cesser

toute surprise : la térte -p devient bien diax

vergente parce que -^ doit devenir Infinie.

ax '

mais U relation inverse no serait pas exacte ; lu série y pput df vf»t!'rfliv»»rg*inl««, nos termes dpvpnnnt liitl i.> Ton puisse dir^

qup su valeui ... infini"; olle n'«st

drv<^nuo qu 1 | r»r lu «rri>.

Ajoutons, pour » Mnip^'iT l« tnblenu, en ce qui concorng le point ilo détail d.»nt nous nous ««mtnfli oticupéi jui<|ii u i, <)ii(< MM Hriot «1

Bouquet, tout en croyant devoir démontrer que la série supposée convergente est par cela même continue, n'en admettaient pas moins la prétendue indétermination imaginée par M. C:tuchy.

Quant à "M. Bonnet, dans son Mémoire sur la théorie générale des séries^ couronné le 15 décembre 1849 par l'Académie royale de Belgique, il n'a fait que reproduire l'énoncé et la démonstration de M. I^amarle en y introduisant une fantaisie dont la singularité doit être remarquée.

M. Lamarle assignait au module de (x — x.) deux conditions distinctes : d'abord celle oue, pour aucune valeur fournissant un mooule moindre, y ne pût devenir infini, et, en second lieu, que y reprit la même valeur lorsque, le module de (x — x.) conservant une valeur constante quelconque inférieure à la limite, son argument passerait de o à 2s.

M. Bonnet, après avoir terminé ses calculs, suppose, sans autre explication, que la seconde condition, inscrite jusque-là dans ses hypothèses , est toujours remplie quand la première l'est, de façon qu'il n'eût pas été nécessaire de s'en préoccuper.

Cette suppression avait pour but de restaurer le dernier énoncé donné à cette époque par M. Cauchy :

Toute fonction f(x) de la variable réelle ou imaginaire x est développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascen<tantes entières et positives de x, si le module de cette variable conserve une valeur i'ifcrieure à celle pour laquelle la fonction ou sa dérivée cesse d'être finie et continue.

C'était le plus vicieux de tous les énoncés qu'avait donnés l'illustre analyste et celui que M. Lamarle avait pris pour texte de ses observations presque surabondantes, car il aurait pu se borner à demander, par exemple, si, quelque part qu'on mit l'origine, le développement de l'ordonnée de la cissoïde était arrêté d'abord k l'abscisse de l'asymptote, sans aucun égard à celle du point de rebroussement, où la seconde dérivée de cette ordonnée prend une valeur infinie.

Ce dernier énoncé de M. Cauchy s'écarte beaucoup de celui que nous avons discuté en commençant; l'auteur en a tant fourni que nous avons dû choisir. Nous lui avons attribué celui qui rend le mieux l'ensemble de ses opinions, et auquel, du reste, on peut admettre qu'il s'est rattache en approuvant le mémoire de M. Puiseux.

En résumé, il ressort de ce qui précède que la convergence de la série devait être limitée à l'un des points ou la fonction et ses dérivées, à partir d'un certain ordre, devenaient infinies.

La question était donc de déterminer ce point.

Il serait assez difficile de savoir quelle était l'opinion de M. Cauchy à cet égard, et s'il s'arrêta à aucune.

M. Tchebicheff dit : La série de Taylor

est divergente ou convergente suivant que le module de C est plus grand ou plus pt:tit que ceiui de la valeur imaginaire x qui rendrait infinie ou discontinue une des fonctions f{a + x), r{a -f x), /"(a + x), etc.

M. Lamarle dit :

Toute fonction est développable en série convergente, suivant la formule de Maclaurin, tant que le module de la variable reste moindre que la plus petite des valeur& pour laquelle la fonction cesse d'être continue ou du prendre même valeur aux deux limites t = 0, t = Ss (de l'argument do la variable). Hors do là, la série devient divergente.

M. Bonnet dit :

La série ne pourra être convergente lorsque X aura un niOKJule supérieur au plus peut des deux nombres K et K' (ce sont les plus petits des modules des valeurs do x, s'il a'af;it de lu formule de Maclaurin, pour lesquels la fonction devient infime ou cesse de prendre même valeur aux limites I « o, • = }«).

M. Puiseux est moins explicite. Siins s'expliquer Butrenienl, sans élever aucun doute aur l'opinion formulée avant lui, in:us sans s'y ranger d une mmiero formelle, il dit; La série sera convergonle tant que le module do X ne dépusscra pus le moindre des modules des valeurs de x pour lesquelles y prend des \aleurs egules.

MM. Hnot et Bouquet ne fournissent p«a d'enuncc> tksset clairs pour être rupportès. Toutefois, non-seulement iU ne contredisent

fius les affirmnttons de MM. Tchebicheff, «amarle et Bonnet, mais il n est pas )H>si>ible, en lisant leur ouvruge, de douter qu'ils ne s'j rangent.

Tel èuit donc l'eut de la question en I BS9 : il y avait k exnminer si U converg<^nco devait nécestaircinTit "' tro-ivrr Imitr'rt nu point cniitjue 1 an-

gine k pariii <i t'O

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