CP =

cosp

Enfin, si l'on mène AE parallèle à CD et PH parallèle à SV, on aura

PD=AE — AH = 2AI — AH = 2dsin p — AU;

mais le triangle AHP donnera

AH sin (a + 2 g)

x cos a '

d'où

AH = x si" (tt + 2 ^ ■

cosp '

l'équation de la seeltou sera donc, en définitive,

. sin a sin B y' = 2d - - r x

cos p

sin a sin (o-|- 2 £) ,

côT'l

Cette section est donc toujours une courbe du second degré. Ce sera une ellipse, uue parabole ou une hyperbole, suivant que

sin (* + 2 p) sera positif, nul ou négatif; c'est-à-dire que la trace Ax du plan sécant coupera la géné-

ratrice SV, lui sera parallèle ou ne rencontrera que son prolongement.

Les sections faites dans le cône par des plans parallèles seraient évidemment semblables entre elles, de sorte que, pour savoir si une courbe du second degré donnée pourrait être placée sur un cône donné, il suffira de chercher si le coefficient

sin a sin (a + 2p) cos* p peut passer par la valeur qu'aurait le coefficient de x* dans l'équation aux axes de la courbe donnée, résolue par rapport à y'. Pour une parabole, il n'y aurait aucun doute, puisque le coefficient de X* serait nul dans son équation et qu'on l'annulera dans celle de la section conique en faisant

a + îp = «.

Pour une ellipse, la réponse serait encore affirmative, parce que le rapport sin a sin (a + 2 p)

varie de 0, pour à 1, pour

cos' p

SECT

il faut, pour que cette condition puisse être remplie, que

COS 2P + t COS1 P -;

Mais, pour une hyperbole, l'identification ne peut pas toujours se faire. En effet, en désignant par a et b les demi-axes truusver.se et non transverse de la courbe, il faudrait faire

sin a sin (a + 2p) A1

cos' p ~ a2

ou bien

cos sp — cos (ga -f- 2 g) A*

2 cos1 p <?*

c'est-à-dire

cos {2 « -}- 2 p) = cos 2p + 2cos' p —

2 (l + -,j COS'P— L

soit compris entre — 1 et + 1, Cette quantité est toujours évidemment supérieure à — l ; mais, pour qu'elle soit moindre que 1, il faut que

ou que

Or,

cos1 p < 1

cos p < — ^z-.

Va1 -t- o1

\/a' + 4' est le demi-angle des asymptotes; il .faut donc que le demi-angle au sommet du cône donné soit plus grand que le demi-angle des asymptotes de l'hyperbole donnée, condition qu'il était facile de prévoir.

On déduirait l'équation de la section cylindrique de celle delà section conique en supposant que le cône dégénérât en cylindre. Il faudrait pour cela faire tendre p vers 0 et d vers l'inhni, en maintenant toutefois "constante la section circulaire passant par le point A par exemple, c'est-à-dire en po-

d sin p = R, d'où

a => - — ; sin p

en substituant à d cette valeur dans l'équation de la section conique, elle devient

R sin o sin a sin (a + 2 p) .

w' = 2 as - œ'

J cos p cos1 p

et se réduit à

y' = 2R sin «ï- sin" »i" lorsqu'on y fuit p = 0.

— Section antiparallèle du cône oblique. Les anciens nommaient cône oblique un cône ayantencore pour directrice la circonférence d un cercle, mais son sommet situé hors de l'axe de ce cercle; c'est pour nous un cône du second degré. Les sections planes d'un cône du second degré sont encore des courbes du second degré ; cela résulte immédiatement des principes de la géométrie analytique. Mais, parmi ces sections, il en est de remarquables en ce qu'elles reviennent à la forme cireu- | laire. Soit ASB le plan mené par le som- : met du cône et le centre de la base perpen- ! diculairement au plan de cette base, le cône

Fig. 6.

étant symétrique par rapport à ce plan ; on doit chercher les sections circulaires du second système dans les sections faites par des plans qui lui soient perpendiculaires. Soient A'B' la trace sur ASB d'un pareil plan, M un point de la section, MP la perpendiculaire à A'B', A"PB" la parallèle à AB, menée par.le point P, et A"MB" la section circulaire du premier système passant par le point M; on aura, d'un côté,

MP' = A"P x PB";

mais, pour que B'MA' soit aussi un cercle, il faudra qu'on ait également

MP*= B'PX PA'; c'est-à-dire

A"P x PB"= B'P x PA'