Q + RA

pour A = 0; même

qu'on trouverait ensuite

f{x + A) - fx

de

R = lim. -r 1

et ainsi de suite.

Mais toutes les fonctions /"(x), P, Q, R, etc., sont liées les unes aux autres par des relations telles que, à un facteur constant près, chacune d'elles se déduit toujours de la précédente par la même règle : chacune d'elles est ia dérivée de la précédente multipliée par l'inverse de son rang diminué d'une unité. C'est dans la manière dont est établi ce point capital que la démonstration de Lagrange est surtout remarquable.

Les fonctions P, Q, R, etc., ne dépendent que de x, A n'y entre pas ; si donc on ydonnait à x un accroissement k, chacune d'elles pourrait se développer comme s'est développée /(x + A) elle-même ; désignons par

Q + Q'A + Q"fcl + ...,

R-r-R'A + R"fc'-t--..,

SERI

les valeurs que prennent P, Q, R, etc., lorsqu'on y remplace x par x-\- k; P', Qf, R', etc., seront respectivement les dérivées de P, Q, rt, etc., comme P était la dérivée de f[x). Cela posé, dans l'identité

f(x + h)=f(x) + Ph + Qh* + Rht +

remplaçons d'abord x par x + A et ensuite A par n + k, les résultats devront évidemment être identiques. Or, le premier sera

f(x+h + /c) = A*) + P*+ Q*' + RA' + •■■>

+ PA + P'AA -f- P"AA' + ...,