RA

et le second

f(x+h + /e)=f(x) + Pk+Qk'+ Ri' -f...,

-h PA + 2QAA + 3RA A* + . . . ,

-f- QA' +3Rh'k+ ...,

+ RA* -f ...,

La simple identification des seconds membres donne immédiatement

ïQ = P', 3R = P" = Q', etc.

Ainsi, chacune des fonctions est bien la dérivée de la précédente multipliée par l'inverse de son rang diminué de 1.

Les objections qu'on a fuites à cette démonstration sont fort graves, mais elles peuvent être toutes levées successivement; et, si Lagrange ne s'en est pas préoccupé, c'est qu'il avait donné tous les moyens d y répondre ; sa démonstration est complète pour qui sait la lire avec intelligence.

Le premier point que l'on reproche à Lagrange est d'avoir glissé trop rapidement sur

SERI

la difficulté considérable que présentait l'hypothèse que les exposants o, p, i, ..., du développement

/■(*+ A) = f{x) + PA» + QA* + RAT-f- ...

pussent être fractionnaires. La raison qu'il donne est, en effet, évidemment mauvaise, puisque le premier membre de l'identité a généralement plusieurs valeurs et souvent une infinité de valeurs. L'identité, du reste, n'est que partielle, le second membre ne représentant qu'une valeur du premier; en sorte que ce n'est pas en raison de l'identité que les exposants a, p, r, •••, doivent être entiers ; au contraire, c'est parce qu'ils doivent être entiers que l'identité n'est pas complète. Il faut donc trouver une preuve directe de l'intégrité de ces exposants.

Quant au premier, a, le fait était acquis déjà avant Newton et Leibniz: il suffit, en effet, de renvoyer au triangle différentiel de Barrow pour donner la preuve que a = 1. Supposons donc que l'on admette que les n premiers exposants «, p , j, ..., * doivent être ■ entiers et égaux à 1, 2, 3 «, et nous verrons que la méthode de Lagrunge suffit à démontrer que le (»-j-i) *, [i, le sera aussi et aura pour valeur n + 1.

En effet, posons

/■(x+A) = f{x) + PA + QA' + ...

+ LA" + MAl*

et remplaçons encore d'abord x par x-j-A et ensuite A par A + k; l'intégrité nécessaire des exposants successifs, jusqu'au «iême inclusivement, étant admise, P, Q, ...,L, M, etc., lorsqu'on y remplace x par x + k, deviendront

P + P'k + P"A> X ... + Pnkn + Pn + ,fc. ■ + ..., Q + Q'* + Q"*1 ± - M <V*n + Qn-M**'.

L + L'A + L"A' + ... + L„&" + L-I1 + tAl'n' M + M'A + M"*' + ... +M„An + Mn + 1ft|4»+ ',

On aura donc, d'une part, en n'écrivant que les termes de degrés supérieurs à », par rapport à A ou à k,

fl,x+li + k)=((x)-\-...+