L'A"A + MA

Cette condition comprendrait déjà celle que H fût entier; mais, que ji soit entier ou fractionnaire, il n'est pas difficile de prouver, par les règles élémentaires d'algèbre, que

(A + A)'* se compose de A1*, d'un terme du premier degré en A, représenté par (lAA1*- 1, et de termes de degrés supérieurs par rapport à A. Ainsi, l'identité entre M(A-|- A)'* et

MA|i + PnAAn+... + MA1*

exige l'identité

PnAAn = iiMAA1*-1,

d'où résulte n — l = n, c'est-à-dire p, = n+ 1, et (iM = Pn, c'est-à-dire

M = ip = — — P .

Toute difficulté disparaît donc relativement au premier point. On a trouvé, en outre, que la démonstration de La^range supposait trop bénévolement au lecteur le peu d'intelligence nécessaire pour étendre de proche en proche la formule

L = -Pn-1 n

d'un terme au suivant; mais ce que nous venons d'y ajouter répond aussi bien à ce nouveau reproche.

Ainsi, la démonstration de Lagrange est irréprochable sous le rapport logique, et sous tous les autres elle présente les qualités les plus exquises. En effet, la question ne comportait que deux points délicats, le premier relatif à la valeur du plus faible exposant de l'accroissement de la variable, le second à l'unité de mode de formation de tous les coefficients P, Q, R, etc. Le premier point touchait à une question de fond, il se trouve résolu par l'énoncé évident d'une loi naturelle ; le second touchait à une question de forme, il est résolu par une transformation.

On fait habituellement trop peu d'attention, dans les jugements que l'on porte sur la bonté relative des démonstrations, a cette condition que le géomètre devrait toujours avoir présente à l'esprit, de conformer les moyens employés au but à atteindre.