DÉTERMINATION DE LA. LIMITE DE CON

vergsnce du la sérib db Taylor. Lorsqu'il s'agit d'une série numérique donnée , c'est dans la forme algébrique du terme général qu'on peut trouver les éléments de détermination de la limite de convergence. La série de Taylor

. (dy\ x — x,

considérée d'une manière générale, ne présente pas les mêmes ressources, et ce n'est plus que dans une théorie générale des fonctions que l'on peut espérer de découvrir la limite cherchée du module de (x — x,).

Cette grande et belle question a été résolument inaugurée dès 1831 par M. C'auchy ; l'illustre académicien y est revenu un grand nombre de fois à de longs intervalles, et il est mort croyant l'avoir résolue.

M. Puiseux, M. Tehebicheff, M. Lamarle, M. Qssia.ii Bonnet, MM. Briot et Bouquet s'en sont plus ou moins occupés concurremment avec M. Couchy ou depuis, mais la question estsortie presque entière de leurs mains.

M. Marie en a donné la solution complète, que nous allons rapporter, dans un mémoire présenté à l'Académie des sciences dans sa séance du 22 mai 1865, et qui a été inséré depuis dans le Journal de M. Liouville.

L'histoire de la question présente des enseignements tellement intéressants et utiles que nous croyons devoir en donner l'abrégé.

M. Cau-chy, remarquant que la série ne peut en aucun cas fournir qu'une valeur de la fonction y, supposée définie par une équation algébrique f(x, y) = 0, en a conclu tout d'abord, avec raison, qu'elle devait tomber dans un cas illusoire, et, par conséquent, devenir divergente dès que l'on essayerait de lui faire représenter l'ordonnée d'un point de la courbe f(x,y) plus éloijrné du point de départ [x„ jo] qu'un point où y avait deux valeurs égales, La distance du point [x, y] au point [xa,y,] s'estime, en ce qui concerne la théorie qui nous occupe, par la grandeur du module de [x — x,].

M. Cauchy a concentré ses efforts sur la démonstration analytique de la coïncidence, à laquelle il croyait, enlre le passage de la fonction y par une de ses valeurs multiples et la divergence de la série. Ses démonstrations sont des tours de force analytiques , mais un simple examen préalable de la question suffit pour en mettre l'inanité en évidence.

En effet, la série, tant qu'elle reste convergente, représente une des formes de la fonction ; or, si la fonction doit devenir infinie pour une valeur x, de la variable, on comprend très bien que la série, si elle peut don-

SERI

ner les valeurs des ordonnées de la branche de courbe qui a pour asymptote x=x„ croisse indéfiniment lorsque x se rapproche de x, et, par suite naturelle, devienne divergente pour x = x,. Nous verrons bientôt qu'on a encore des motifs certains de prévoir la divergence de la série, à partir de x = xk, lorsque, au lieu de y, c'est l'une de ses dérivées qui devient infinie pour x = xt. Mais comment pouvait-on admettre que la se'ne devînt divergente en un point où, la courbe se coupant elle-même, y avait, à la vérité, deux valeurs égales, mais finies, toutes les dérivées de cette fonction restant d'ailleurs finies?

M. Cauchy, pour ne pas voir, aima mieux renoncer aux notions les plus élémentaires de continuité qu'à son idée préconçue. 11 admettait que l'indétermination dût affecter la fonction y à partir du moment où elle aurait passé par une de ses valeurs multiples, à laquelle correspondissent cependant des valeurs toutes différentes de sa dérivée. 11 reconnaissait l'empire de la loi de continuité, tant qu'il s'agissait de la fonction, et en déclinait les conditions, relativement à la dérivée. Ce curieux exemple de naïf entêtement ne doit pas être perdu.

L'erreur de M. Cauchy fut reconnue de deux manières différentes par M. Tehebicheff (/ournal^de Crelle, 1844, t. XXVIII, p. 279 à 283) et par M. Lamarle, ingénieur en chef des ponts et chaussées, directeur de l'Ecole polytechnique de Belgique (Journal de M. Liouville, 1846, t. XI).

M. Tehebicheff établit que, pour que la série devint divergente, il était nécessaire que la fonction ou l'une de ses dérivées fussent auparavant devenues infinies; de son côté, M. Lamarle fit voir qu'il ne suffisait pas que deux valeurs de y fussent devenues égales pour que la série devint divergente, mais qu'il fallait encore que les formes correspondantes de la fonction se permutassent lorsque, le module de x — x„ restant supérieur à celui de la différence correspondante au point douteux, son argument passerait de 0 à 2u,

La voix de M. Lamarle paraît avoir été étouffée en France ; quant a celle de M. Tehebicheff, elle n'y est peut-être pas parvenue. Quoi qu'il en soit , les choses ont marché comme si la protestation n'avait pas eu lieu; MM. Puiseux, Briot et Bouquet ont conservé les points simplement multiples au nombre des points critiques où la convergence devait être arrêtée si la série avait pu porter jusqu'à eux.

Le fait a d'autant plus lieu d'étonner que l'on 'démontrait, dès cotte époque, plus ou moins explicitement, qu'une série ordonnée suivant les puissances croissantes et entières de la variable est convergente ou divergente en même temps que toutes ses dérivées et intégrales.

Voici la démonstration qu'on peut donner de ce théorème important. Soient Pxp et Qx? deux termes de la série et, par conséquent, pPx'' et qQx1~ les termes correspondants de la série dérivée ; les modules des rapports seront

SERI

mod

et

mod

(=) x (mod x)'

Or, q — p restant fini, - aura pour limite l,

et par conséquent, si dans la série proposée le module du terme général tend vers zéro, il y tendra aussi dans lu dérivée et réciproquement. De sorte que, le cas douteux excepté, les deux séries doivent être en même temps divergentes ou convergentes.

Il fallait conclure de là que la série représentant y ne pouvait pas être divergente sans

que celle qui représenterait -r- le fût aussi-

dx '

et, cette dernière n'ayant pas de raison de l'être en un point simplement multiple, puis-

du que les valeurs de -r- y étaient différentes,

la série représentant y ne devait pas l'être non plus.

Au contraire, l'important théorème qui précède rend très-bien compte de ce fait étonnant au premier abord, que la série propre à représenter y devienne de fait divergente, comme on en avait des exemples, aux points où les dérivées de y, à partir d'un certain ordre, deviennent infinies, y toutefois restant fini.

Cela tient, d'après ce qu'on vient de voir,

à ce que le sort de la se'ne y est intimement

i-' i. * ■ i - - dy d'y

lie à celui des séries ■—, -~, etc. Au reste,

une explication bien simple peut faire cesser

devient bien di-

toute surprise

la série -?

dy

dx

vergente parce que — doit devenir infinie,

mais la relation inverse ne serait pas exacte; la série y peut devenir divergente, ses termes devenant infinis, sans que l'on puisse dire que sa valeur soit devenue infinie; elle n'est devenue qu'incalculable par la se'rt'e.

Ajoutons, pour compléter le tableau, en ce qui concerne le point de détail dont nous nous sommes occupés jusqu'ici, que MM. Briot et

Bouquet, tout en croyant devoir. démontrer que la série supposée convergente est par cela même continue, n'en admettaient pas moins la prétendue indétermination imaginée par M. Cauchy.

Quant à M. Bonnet, dans son Mémoire sur la théorie générale des séries, couronné le 15 décembre 1849 par l'Académie royale de Belgique, il n'a fait que reproduire l'énoncé et la démonstration de M. Lamarle en y introduisant une fantaisie dont la singularité doit être remarquée.

M. Lamarle assignait au module de (x — x.) deux conditions distinctes : d'abord celle que, pour aucune valeur fournissant un module moindre, y ne pût devenir infini, et, en second lieu, que y reprit la même valeur lorsque, le module de (x — x.) conservant une valeur constante quelconque inférieure à la limite, son argument passerait de o à 2-it.

M. Bonnet, après avoir terminé ses calculs, suppose, sans autre explication, que la seconde condition, inscrite jusque-là dans ses hypothèses , est toujours remplie quand la première l'est, de façon qu'il n'eût pas été nécessaire de s'en préoccuper.

Cette suppression avait pour but de restaurer le dernier énoncé donné à cette époque par M. Cauchy :

Toute fonction f(x) de la variable réelle ou imaginaire x est développabte en «se série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes entières et positives de x, si le modula de cette variable conserve une valeur inférieure à celle pour laquelle la fonction ou sa dérivée cesse d'être finie et continue.

C'était le plus vicieux de tous les énoncés qu'avait donnés l'illustre analyste et celui que M. Lamarle avait pris pour texte de ses observations presque surabondantes, car il aurait pu se borner à demander, par exemple, si, quelque part qu'on mit l'origine, le développement de l'ordonnée de la cissoïde était arrêté d'abord à l'abscisse de l'asymptote, sans aucun égard à celle du point de rebroussement, où la seconde dérivée de cette ordonnée prend une valeur infinie.

Ce dernier énoncé de M. Cauchy s'écarte beaucoup de celui que nous avons discuté en commençant; l'auteur en a tant fourni que nous avons dû choisir. Nous lui avons attribué celui qui rend le mieux l'ensemble de ses opinions, et auquel, du reste, on peut admettre qu'il s'est rattaché en approuvant le mémoire de M. Puiseux.

En résumé, il ressort de ce qui précède que la convergence de la série devait être limitée à l'un des points où la fonction et ses dérivées, à partir d'un certain ordre, devenaient infinies.

La question était donc de déterminer ce point.

Il serait assez difficile de savoir quelle était l'opinion de M. Cauchy à cet égard, et s'il s'arrêta à aucune.

M. Tehebicheff dit : La se'rie de Taylor

est divergente ou convergente suivant que le module de ( est plus grand ou plus petit que celui de la valeur imaginaire x qui rendrait infinie ou discontinue une des fonctions

/(a + *), r(a + x), f"(a -f- x), etc.

M. Lamarlo dit :

Toute fonction est développable en série convergente, suivant la formule de Maclaurin, tant que le module de la variable reste moindre que la plus petite des valeurs pour laquelle la fonction cesse d'être continue ou de prendre même valeur aux deux limites 8 = 0, 8 = 2* (de l'argument de la variable). Hors de là, la série devient divergente.

M. Bonnet dit :

La série ne pourra être convergente lorsque x aura un module supérieur au plus petit des deux nombres R et R' (ce sont les plus petits des modules des valeurs de x, s'il s'agit de la formule de Maclaurin, pour lesquels la fonction devient infinie ou cesse de prendre même valeur aux limites 1 = o, 9 = 2«).

M. Puiseux est moins explicite. Sans s'expliquer autrement, sans élever aucun doute sur l'opinion formulée avant lui, mais sans s'y ranger d'une manière formelle, il dit : La série sera convergente tant que le module de x ne dépassera pas le moindre des modules des valeurs de x pour lesquelles^ prend des valeurs égales.

MM. Briot et Bouquet ne fournissent pas d'énoncés assez clairs pour être rapportés. Toutefois, non-seulement ils ne contredisent pas les affirmations de MM. Tehebicheff, Lamarle et Bonnet, mais il n'est pas possible, en lisant leur ouvrage, de douter qu'ils ne s'y rangent.

Tel était donc l'état de la question en 1859 : il y avait à examiner "si la convergence devait nécessairement se trouver limitée au point critique le plus proche du point origine à partir duquel se faisait le développe, ment. Dans le cas de la négative, la question s'élargissait démesurément; ii s'agissait deslors de déterminer, parmi tous ies points critiques, celui où la convergence se trouvait véritablement arrêtée.

L'assertion émise précédemment ne témoignait évidemment que d'une sorte de lassitude ; elle constituait un déni d'examen motivé seulement sur des résultats apparent! de calculs confus où la valeur de la fonction

SERÏ

SÉRI

multiple que Ion développait ne se trouvait jamais bien distinguée des autres.

Le fait serait bien évident, dit M. Marie (JournaC de M. Liouvitle, 1860), si l'on supposait que ce fût la fonction, dont la valeur initiale concourt à la formation des coefficients de la série, qui fût venue prendre la valeur de l'ordonnée d'un point dangereux', nu moment où la variable atteint celle de l'abscisse de ce point.

Mais, dans le cas contraire, il n'y a pas de raison pour que la série devint divergente lorsqu'on voudraitdépasser cette valeurdex.

Comment pouvait-on admettre sans -preuves que si y„ y, . . ., ym désignent les valeurs différentes que prend la fonction pour une même valeur xt de x, n'offrant aucun caractère exceptionnel, les séries

., , fdy\x — x.i (d'y\ (X — X.Y

„ j-fd,J\ x~x" j (d''V\ ( x ~ Io)'a-

y> + U*A"t- + w)rrrr +--

/jy\ x — xa (£y\ te — X«Y ,

Vm + \<Jx)m l "r \dx')m 1, ï "t"'"'

fussent forcément toutes en même temps convergentes ou divergentes quoique leurs coefficients ^différassent totalement î

Comment admettre, par exemple, que la définition de la fonction fût délie -même assez peu importante pour que les deux séries suivant lesquelles se développeraient, à partir d'une même valeur quelconque de x, les fonctions y définies par les équations

4 a* y' — a'y -f- a'x — 0 et Ky* + x' = —

dussent nécessairement, absolument et sans même qu'il y eût lieu à discussion, l'ester en même temps convergentes ou divergentes, simplement parce que les dérivées de Ces deux fonctions si complètement différentes deviennent par hasard en même temps inîi-

2o nies pour les mêmes valeurs ± -7= de la

variable x ?

M. Alarie ne s'est pas contenté de montrer l'erreur de cette croyance. Il indiquait déjà dans son mémoire de 1861, inséré dans le Journal de AI. Liouville, une méthode pour déterminer dans chaque cas la limite de la région de convergence et appliquait successivement cette méthode aux équations du second degré en y et d'un degré quelconque en z, à 1 équation ^» = (t + x)m (nous avons rapporté sa démonstration à l'article binôme), à l'équation

citée plus haut et qui avait été prise pour exemple par M. Puiseux, enfin à l'équation du fulium de Descartes, qui présente quatre points critiques, dont deux sont imuginaires.

La méthode de M. Marie était fondée sur sa théorie des conjuguées d'une courbe, au moyen desquelles il figure toutes les solutions aussi bien imaginaires que réelles d'une équation. V. CONJUGUÉES.

C'est par cette même théorie qu'il est parvenu à la solution complète de la question. Voici d'abord l'énoncé du théorème de M. Marie :

* De toutes les conjuguées qui passent par les points critiques, il y en a deux qui comprennent immédiatement celle où se trouve le point origine; or, c'est toujours à l'un des points critiques par où pussent les deux conjuguées que la convergence est limitée; et, pour savoir auquel de ces points on doit s'arrêter, il n'y a qu'à appliquer la règle qu'avait donnée M. Cauchy en termes trop généraux : il faut prendre celui des points critiques considérés dont l'abscisse, retranchée de celle du point origine, donne la différence de moindre module. ■

M. Marie, dans sa démonstration, distingue trois cas.

Le premier est celui où l'équation proposée a tous ses coefficients réels et où la courbe réelle qu'elle représente a, parallèlement ù l'axe des y, le nombre maximum de tangentes qui répond a son degré.

Le second est celui où les coefficients de l'équation proposée sont imaginaires, mais où le lieu a encore parallèlement à l'axe des y le nombre maximum de tangentes, ces tangentes étunt d'ailleurs imaginaires. Dans les deux cas qui précèdent, les dérivées d'ordres supérieurs ne sauraient devenir infinies sans que la première le fût déjà.

Enfin, le troisième cas est celui où il se trouve dans le lieu des points réels ou imaginaires où les dérivées de la fonction deviennent infinies à partir d'un ordre quelconque, les précédentes se présentant alors nécessairement sous la forme -, puisque, pour

qu'une fonction ait sa dérivée infinie, il faut nécessairement qu'elle soit elle-même, infinie ou qu'elle ait deux valeurs égales.

La démonstration se réduit dans les tiois cas à faire voir que, lorsque le point origine [x„ y,] appartient à l'une des conjuguées critiques, c'est-à-dire passant par les différents points critiques, la région de convergence est limitée à l'un des points critiques pur où passe ta branche de cette conjuguée où se irouve le point origine, quels que puissent être d'ailleurs les modules des différences

entre z0 et tes abscisses des autres points critiques.

En effet, cette proposition établie, on en conclura immédiatement que comme la région de convergence restera d'abord limitée au même point critique, lorsque le point origine commencera à s éloigner insensiblement de la conjuguée critique qui le contenait d'abord et que d ailleurs le déplacement de ce point origine vers l'une des deux conjuguées critiques voisines devra finalement avoir pour effet de transporter le point d'arrêt de la convergence en l'un des points critiques situés sur cette conjuguée voisine, nécessairement, le déplacement de la limite aura dû coïncider avec le passage du point origine sur l'une des deux courbes définies par l'équation du lieu, combinée avec la condition d'égalité entre les modules des différences de l'abscisse x du point mobile a l'abscisse du premier point d'arrêt d'une part, et de l'autre à celle de l'un des points critiques voisins, c'est-à-dire situés sur l'une des conjuguées critiques voisines.

— Premier cas. Dans le premier cas, les points critiques appartiennent à la fois à la courbe réelle et à celle de ses conjuguées qui a ses abscisses réelles.

Soient SABCT une branche de la courbe réelle, A, B, C. . . des points critiques consécutifs situés sur cette branche, M0 le point origine appartenant à la branche de la conjuguée C = « qui passe au point critique A.

Il s'agit d'établir que, quelque part que soit placé le point M„ la série peut donner l'ordonnée d'un point aussi voisin du point A qu'on voudra l'imaginer, et que la convergence n'en saurait être arrêtée qu'au point A, ?uand bien même le module x, — c de la diférence entre l'abscisse réelle du point M, et celle d'un autre point critique C pourrait être de beaucoup inférieur au module do x, — a.

Or, supposer que la convergence pût être limitée au point C, par exemple, serait supposer que la série pût donner l'ordonnée d'un point M infiniment voisin de C situé soit sur Fa courbe réelle, soit sur sa conjuguée C = » .

Mais si la se'rie pouvait donner l'ordonnée de ce point M, elle donnerait à plus forte raison celle du point M, situé sur la même branche CM et sur la droite x = x„ car x variant d'une manière continue par valeurs réelles, de l'abscisse de M à x„ ce serait l'ordonnée de M, qui serait en continuité avec celle de M.

Or, il est complètement impossible que la série, pour œ = x„, puisse donner l'ordonnée du point M, puisqu'elle donne déjà celle du point M,.

— Deuxième cas. On passe très-simplement du premier au second cas par continuité. Il

faut remarquer d'abord que tout point où —

est infini appartient toujours à l'enveloppe totale des conjuguées du lieu (v. knvbloppb). Cela tient à ce qu'une valeur infinie du coef-

ficient angulaire -j- doit

SÉRI

En effet, lorsque les coefficients d'une équation varient d'une manière continue, les valeurs de la fonction y, qui correspondent à une valeur fixe de la variable, varient aussi d'une manière continue, ainsi que les valeurs de la dérivée de cette fonction.

Par conséquent, si l'on donnait à x les mêmes valeurs réelles auxquelles correspondaient précédemment des valeurs réelles do

y et de -—, on tirerait de la nouvelle équation, pour la fonction et pour sa dérivée, des valeurs imaginaires il est vrai, mais où les parties imaginaires seraient d'abord infiniment petites, en sorte que les points correspondants seraient à la fois infiniment voisins île l'ancienne courbe réelle et de la nouvelle enveloppe.

L'enveloppe se déformant d'une manière continue, les points critiques, situés toujours sur cette enveloppe, ne peuvent donc non plusse déplacer que d'une manière continue. Quant à la caractéristique de la conjuguée mobile qui passera par un point critique, dans

être considérée comme réelle, la tangente d'un angle imaginaire 0+ tyy — 1 ne pouvant devenir infinie que dans l'hypothèse

b = 2Kir±- et i = 0.

On peut mieux au reste se rendre compte du fait, de la manière inverse ; l'enveloppe des conjuguées étant le lieu des points dont les coordonnées satisfont à l'équation du lieu

et à la condition que -j- soit réel, les coefficients angulaires des tangentes au lieu, en tous les points de l'enveloppe, sont réels et deviennent sueessivement infinis lorsqu'on dirige successivement l'axe des y parallèlement à ces tangentes.

D'un autre côté, il est facile de voir que si, partant d'une équation à coefficients réels, représentant une courbe réelle, on donne à ces coefficients, assujettis à la continuité, des accroissements imaginaires, d'abord infiniment petits, l'enveloppe totale des conjuguées du nouveau lieu différera d'abord infiniment peu, comme position et comme forme, de l'enveloppe eu partie réelle, en partie imaginaire de l'ancien lieu; ou que la partie anciennement réelle de t'enveloppe se transformera instantanément en enveloppe imaginai ro.

SÉRI

sa nouvelle position, elle n'aura pu non plus varier autrement que d'une manière continue , c'est-à-dire qu étant primitivement infinie elle sera restée excessivement grande lorsque les coefficients d'abord réels auront pris des accroissements imaginaires infiniment petits.

En effet, si a,b,c,..., sont les coefficients qu'on a fait varier, les points critiques, nu lieu d'être déterminés par les équations

f(x,y,a,b,c ... ) = 0 et fy'fay.a&c ...) = 0, le seront par

f(r,y,a + &a,b -f 4i,fl-f-i£, ... ) = 0 et

by'(x,y,a + *a,b + bb,c + \c, ... ) = o.

Or, si x = « et y = *' sont les coordonnées réelles d'un des points critiques du lieu primitif, l'abscisse du point critique du nouveau lieu, voisin du point x= a., y = o', sera devenu x - a. -f- An 4- AJ V^ï, Am et A£ étant de même ordre que Aa.Afi, etc.; quant à sou ordonnée, elle sera fournie par l'équation

/•(tt-f-Aa-f- Aj/— 1, !/,<! + *«, 6 -f-4<",C-|- AC, ... ) = OJ or, cette équation donnera pour y la valeur

les parties

dv du .

du du

de l'accroissement de y seront de même ordre que Aa,Afi, ..., parce que

dydy

da'db"'

seront quelconques; mais

Mr..

étant infiniment grand et réel, la partie imaginaire