et

x x* x' xk , ex = î -j -4- ;

1 1.2 1.2.3. 1.2.3.4 ' en remplaçant, dans cette dernière, successivement zparaV — 1 et par — xy — 1 , elle donne

ffS* — l « cos a-J-/— ï sin x et

e — XV — ' = cos x — y — l sin x, d'où l'on déduit

cos X ~ '

et

ex/=î e-xV/=î

sin x = ■ — ,

2/— 1 formules dues à Euler.

SINUSOÏDAL, ALE adj. (si-nu-zo-i-dal, ale — rad. sinusoïde)- Oui appartient à In sinusoïde.

SINUSOÏDE s. f. (si-nu-zo-i-de —de sinus, et du gr. eidos, aspect). Géom. Courbe dont l'ordonnée est le sinus géométrique de l'arc pris sur un cercle dont le rayon est égal à l'abscisse.

— Encycl. D'après sa définition même, la sinusoïde est une courbe représentée en coordonnées rectangulaires par l'équation

y = R sin —,

Si l'abscisse augmente de 2*R, l'ordonnée reste la même; par conséquent, ia courbe se compose d'une infinité d'arcs égaux à celui que l'on obtient en maintenant x dans les limites 0 et 2itR; tous ces arcs forment d'ailleurs une courbe continue , c'est-à-dire se rejoignent par leurs extrémités, puisque

x = 2uR donne y = 0, comme x = 0. Si l'on fait

on obtient des valeurs égales pour y; par conséquent, la courbe est symétrique par rapport à l'une quelconque ries parallèles à l'axe des y menées aux distances

elle l'est également, et pour une raison semblable, par rapport à chacune des parallèles

* = -Krfl.

Les sommets situés sur les premiers axes ont pour ordonnée commune y = R, les autres ont pour ordonnée y = — R; la courbe est donc tout entière comprise entre les deux droites y = ± R, qu'elle touche en tous les

points x = n« + - ; chacun des points de ren-

contre de la courbe avec l'axe des x est un centre de cette courbe; en effet, en donnant à œ des valeurs (nc±A)R équidistantes de l'abscisse de l'un de <'es points, on trouve pour y des valeurs ± R sin A égales et de signes contraires. Chacun de ces points est en même temps un point d'inflexion; tout centre d'une courbe, quand il appartient à la courbe, est toujours en même temps point d'inflexion. Les tangentes aux points d'inflexion x = 2KitR sont parallèles à la bissectrice y = x du premier angle des axes, les autres le sont à la bissectrice du second.

L'équation de la sinusoïde pourrait être mise sous la forme

2/— 1 où l'on reconnaît que sa conjuguée à ordonnées réelles et abscisses imaginaires de

la forme ( r R — a: /-^"ï ) est une chaînette.

Si, en effet, dans l'équation précédente on

remplace x par(- R — x\j — 1), la valeur de

y se transforme en

R cos (| yf—y )

ou

e-x + ex

S ' ce qui est l'ordonnée d'tme chaînette.