ROHAN. V. ROHAN

Tnocrède, tragédie de Voltaire, en cinq actes et en vers; représentée pour la première fois le 3 septembre I7fi0. Voltaire avait soixante - quatre ans lorsqu'il donna cetto pièce, dans laquelle il s'est montré véritablement créateur. Ce n'est point une tragédie à la manière de Corneille et de Racine : c'est une oeuvre toute voltairiennei laquelle l'illustre écrivain a imprimé, encore plus peut-être que dans Zaïre, le caractère de son talent tragique. Il ne possède pas en entier les grandes qualités de ses deux célèbres devanciers, et pourtant il est en lui quelque chose qu'on ne trouve pas dans'Corneille et dans Racine, et qu'on pourrait y regretter.

L'aventure d Ariodant et de Genèvre, dans le poëme de l'Arioste, afourniàl'auteurl'idée principale de sa pièce, l'idée mère qui, dans toute espèce de drame, est si décisive pour l'intérêt et le succès ; et celle-ci était une des plus heureuses dont le génie dramatique pût s'emparer. C'est un amant, un chevalier qui combat en champ clos pour sauver l'honneur et la vie de sa maltresse, bien qu'il la oroio coupable de la plus odieuse infidélité. C'est là tout ce que Voltaire a pris à l'Arioste; il a inventé tout le reste. Le combat d'Ariodant pour Genèvre , qui dans ï'Orlando est une conséquence des lois de la chevalerie, indiquait à Voltaire un chevalier pour son héros. C'est une obligation qu'il a de plus à l'Arioste, de lui avoir donné l'idée et 1 occasion de mettre la chevalerie sur la scène, et c'en est aussi une que nous devons à Voltaire, d'avoir exécuté cette idée avec tant de succès.

Il a donc placé son action au commencement du xia siècle, lorsque les mœurs de la chevalerie étaient en vigueur; il l'a placée à Syracuse, dans une république, dans un des Etats qui faisaient partie de la Sicile, alors partagée en différentes dominations ; et ces diverses puissances, ennemies l'une de l'autre, les factions qui les déchiraient, l'opposition de mœurs ei de croyances qui les séparait, chacun de ces objets entre pour quelque chose dans les vues qui dirigeaient les plans de l'auteur. Argire et Orbassun sont les chefs des deux maisons les plus puissantes de Syracuse et depuis longtemps rivales. Il y a quelques années que celle d'Orbassan a prévalu ; les troubles civils causés par cette rivalité ont forcé Argire de s'éloigner pour un temps de sa patrie, et alors il a pris le parti d'envoyersa femme, avec sa tille Amënaïde, à Byzance, k la cour de l'empereur grec, pour mettre en sûreté ce qu'il avait de plus cher, en attendant des temps meilleurs. La fortune a changé ; Argire est rentré dans sa patrie et dans ses biens, dans tous les honneurs du premier rang; il a fait revenir près de lui sa fille, dont la mère était morte à Byzance. Mais affaibli par l'âge, et ne pouvant plus soutenir les fatigues du commandement, dans une ville menacée d'un côté par les empereurs grecs qui en réclamaient la souveraineté, et de l'autre par les Arabes musulmans, qui voulaient joindre Syracuse aux autres possessions qu'ils avaient en Sicile, il a consenti à. un accord qui semble concilier tous les intérêts et remplir tous les vœux des citoyens. Il a cédé le commandement à Orbassaji, qui est dans la force de l'âge, et en même temps il l'a choisi pour être l'époux d'Aménaïde. La fille d'Argire, lorsqu'elle croissait à la cour de Byzance dans tout l'éclat de sa jeuuesseet de sa beauté, y a fixé les regards de deux guerriers célèbres qui s'y trouvaient en même temps. L'un est Solamir, un chef de ces Arabes que l'on appelait Maures, et qui depuis, commandant leur armée en faicile, a fait proposer la paix aux Syracusains, en y mettant pour condition qu'on lui donnerait Améuaïde en mariage. L'autre est Tancrède, chevalier d'origine française, et descendant d'un Coucy qui s'était autrefois établi k Syracuse. Les enfante de ce Coucy étaient parvenus à une assez grande élévation pour exciter la jalousie des nationaux, et toute la famille avait été bannie par un décret du Sénat. Le jeune Tancrède, à l'exemple de tant de gentilshommes aventuriers qui allaient chercher la fortune partout où leur courage pouvait la leur procurer, s'était attaché au service des empereurs grecs et s'y était distingué au point qu'ils lui étaient redevables de la conquête de l'Illyrie. Entre ces deux rivaux, le cœur d'Aménaïde s'était décidé pour Tancrède. Sa mère, au lit de

TANC

mort, avait approuvé leur amour et reçu le serment qu'ils .se faisaient Je se donner la foi conjugale. Mais il avait fallu obéir aux ordres d'un père qui rappelait sa tille, et laisser Tancrède à Byz;ince pour revenir près d'.-irgire, qui, étant fort loin de soupçonner qu'Aménaïde eût donné son cœur a un banni, croit pouvoir disposer de sa main en faveur d'Orbassan. Tels sont les faits exposés dans la première scène, où les chevaliers, assemblés en conseil pour délibérer sur la situation critique de Syracuse, rétablissent dans toute sa rigueur la loi qui condamne à rnort, sans distinction de rang, de sexe, ni d'âge, quiconque entretiendrait des relations secrètes avec les ennemis de l'Etat, et renouvellent aussi en particulier la proscription prononcée depuis longtemps contre Tancrède pour avoir servi les empereurs grecs. A ménaïde, informée que son amant est revenu subitement en Sicile et qu'il a paru dans Messine, lui écrit pour le prévenir du malheur qui le menace. La lettre est interceptée ; comme elle ne portait pas le nom de Tancrède, ayant été confiée à un esclave qui avait connu le chevalier de Byzance, on la croit adressée à Solamir , chef de l'armée musulmane qui assiège Syracuse-, Aménaîde reconnaît et avoue la-lettre, mais en s'abstenant de tout' éclaircissement qui aurait perdu Tancrède sans la sauver ellemême, et elle est condamnée a mourir sur un échafaud, si aucun chevalier ne prend sa défense. C'est a ce moment que Tancrède, qui ignore tout ce qui s'est passé, arrive à Syracuse et se présente comme un guerrier qui, sans se faire connaître, veut combattre dans les rangs des Syrnciisains contre les musulmans. Mais bientôt ii apprend qu'Aménaïde a trahi sa pntrie et son amour, et Argire, le père d'Aménaïde, avoue devant lui qu elle est lu honte de sa vieillesse et qu'aucun chevalier ne se présente pour prendre sa défense. Tancrède combat pour elle et triomphe d'Orbassan, mais la mort est dans son cœur; trompé par les apparences, il ne peut plus douter de la perfidie d'Aménaïde. Il a vu le fatal billet-, on l'a instruit des prétentions que Solamiravait annoncées sur Aménaîde. Il ne lui reste d'autre désir, d'autre espoir que de consommer sa vengeance sur un autre rival, plus odieux que le premier ; il a promis aux Syracusains d'aller combattre Solamir , il brûle d'en venir aux mains avec lui. Les chevaliers viennent avertir Tancrède qu'il faut partir. Il est prêt a les suivre, lorsque Aménuïde, eu leur présence, vient se jeter aux pieds de son libérateur. Ainsi tout est préparé pour cette scène unique, nécessaire au plan, et qu'il fallait rendre terrible pour Aménaîde, en rendant cette rapide entrevue inutile à l'éclaircissement. Tancrède était déjà résolu a ne pas la voir; le temps presse, il faut marcher à l'ennemi ; il est entouré de témoins devant qui Aménaîde ne peut le nommer sans le perdre. Quelque savante que soit la combinaison de la scène, le génie est ici dans la réponse de Tancrède, dont chaque parole est plus cruelle pour son amante que 1 èuhafaud dont il vient de l'arracher; car Aménaîde n'avait point pensé jusque-là que son amant pût la croire coupable de l'infamie dont on l'accuse. Elle reste anéantie; mais a, peine Tancrède est-il parti, que, dans son désespoir, elle avoue à son père toute la vérité, et veut k quelque prix que ce soit désabuser Tancrède ; il est au combat ; elle veut l'aller chercher sur le champ de bataille. L'effet final qui Va résulter de celte situation est éminemment tragique ; il est fondé sur le passage de l'affliction à la joie , et le retour affreux de la joie passagère à un malheur irrémédiable. Aménaîde, qu'on a eu peine à ramener du champ de bataille, apprend que Tancrède est victorieux, qu'il a tué Solamir, qu'il est reconnu, honoré, et dès qu'il aura revu Aménaîde, il ne vivra que pour elle ; elle s'écrie : Je sens tout mon bonheur... Hélas1, il m'est bien dû.

Oppresseurs de Tancrède, ennemis, citoyens. Soyez tous à mes pieds, il va tomber aux miens.

Mais l'éc.uyer de Tancrède arrive les yeux couverts de larmes ; il tient une lettre tracée avec le sang de son maître ; il la remet à sa malheureuse amante.

Tancrède meurt, 0 ciel ! sacs être détrompé!

Ce vers dit tout. Cependant le poëte, qui voulait et qui devait adoucir la blessure cruelle que ce dénouaient fait au spectateur, a ramené Tancrède expirant, et du moins il mourra détrompé. Rien n est plus attendrissant que cette dernière scène : c'est là que le spectacle, comme dans le reste de la pièce, est une véritable action; Aménaîde, k genoux près du héros infortuné, porté sur des drapeaux sanglants, lui demande un dernier regard.

Ah! vous m'avet trahi!

C'est là sa seule réponse aux pleurs dont elle arrose ses mains mourantes. Mais Argire rend un témoignage éclatant et irrécusable à l'innocence de sa fille; Tancrède apprend qu'il est toujours aimé.

Aménaîde, û ciel ! est-il vrai? vous m'aimez?

Vous m'aimez ! o bonheur plus grand que mes revers 1 Je sens trop qu'à ce mot je regrette la vie. J'ai mérité la mort, j'ai cru la calomnie.

Argire, écoulez-moi.

Voilà le digne objet qui me donne sa foi ; Voilà de nos soupçons la victime innocente.

TANC

A sa tremblante main joignez ma main sanglante; Que j'emporte au tombeau le nom de son époux.

Il expire, et Aménaîde, après des éclats de fureur et de désespoir, tombe dans une espèce d'anéantissement qui ne permet pas de croire qu'elle survive longtemps au héros qu'elle a perdu.

Tancrède , opéra-séria italien , livret de Rossi, d'après la tragédie de Voltaire, musique de Rossini; représenté pour la première fois sur le théâtre de la Fenice, a Venise, pendant le carnaval de 1813. On en avait donné plus de deux cents représentations au Théâtre-Italien de Paris, lorsque Castil-Blaze en fît un arrangement et une traduction. Tancrède fut représenté à l'Odéon en 1827, mais avec moins de succès. Mme Pasta, M'l= Naldi, devenue depuis Mme la comtesse de Sparre, avaient par leur magnifique talent popularisé les plus beaux motifs de la partition dans leur forme italienne, et la traduction française n'a pas prévalu. Cet ouvrage est un des plus remarquables de Rossini, parce que le maître y introduisit des innovations hardies. Les longs récitatifs accoutumés des opéras de l'ancien style furent remplacés par des ensembles. La mélodie y est abondante, gracieuse, brillante de verve et de jeunesse. Nous mentionnerons seulement le duo : Ah! se de' mali miei et la célèbre cavatine : Di tantipalpiti, qu'on a appelée en Italie Varia de'riszi, parce que, dit-on, Rossini l'écrivit sur une table d auberge pendant qu'on préparait son riz. En peu de jours, cette cavatine fut chantée pur toute l'Europe. Les interprètes prin-

lloderato, „

TANC

cipaux de cet ouvrage, aux Italiens, ont été successivement Mmes Pasta, Naldi, Cinti, Pisaroni, Sontag, Malibran,Viardot, Persiani et MM. Levasseur et Bordogni. L'opéra de Tancrède est le dixième opéra composé par Rossini. Il avait alors vingt-deux ans 1

Tuuerède (air de) , musique de Rossini. Tout le inonde connaît l'historiette plus ou moins apocryphe que l'on se plaît à raconter au sujet de cet air célèbre; Rossini le composa," dit-on, en cinq minutes, sur le carré d'une table, en attendant un repas qu'on allait servir; les uns disent que le fait se passa chez un riche particulier qui avait invité le maestro à dîner-, d'autres prétendent que c'est sur la table d'un restaurant que fut écrit cet air; enfin une troisième' version représente Rossini dans une mauvaise auberge, attendant un plat de riz commandé par lui et griffonnant un papier à musique; d'où le nom que porte cet air : Aria de' rizzi. Très-franc est le début de cet air, qui respire en son entier cette maestria d'un génie fort et créateur. Cela porte et aune valeur réelle. Le développement de l'air est bien réussi, et la rentrée bien ramenée. Malheureusement, comme presque toujours, Rossini a encore manqué là de conviction. Rien de plus insupportable que cette coda italienne; cela se traîne et se termine parles inévitables vocalises, construites sur cette plate cadence parfaite dont l'Italie abuse tant. Quoi qu'il en soit, cet air jouit d'une célébrité, en somme très-méritée, et, qu'il ait été ou non composé et écrit en cinq minutes, il produit toujours beaucoup d'effet.

joie

Jiir!

y&=^0g$=gm^pE&zm&

Que je la voie! Oui, la voir!

rir de

plai

Tour

ments et dou-

^gf^^s|^=5fc£^=a^^M

leur, Ab.1 lais - sez

mon cœur! Tour - ments, dou - leur, Lais - sez

^^=£jg^=Eig|^^|gfeg

mon cœur,

mais mon coeur!

Ahl

ê§^^^gè^^piy^^

An - gois-ses

- mais lais -

tfarr

vai - nés, Dou - tes et peî nés, Ah] pour ja-

sez mon cœur! Que je la voie,

mmm

sez, lais

et puis mou - rir !

dbq: ^

Je veux la voir 1

Je veux Ja

voir, la

|g=^Efpte=fegg=

voir, et

Ie*

mou - rir! De tant de joie.

&fe

t^=|fc

Ah ! je sens mon cœur, mon cœur tres-

sail - lïr.

Je vais re - voir, en ce beau

jour,

Je vais re -

ïppÉÉgiÉïlÉ!pjÉiÈ^p^=t=

voir ma bîen-ai - mé e ; Ja vais re * voir, tn ce j°uri ma bien-

mée; Oui! la

^É^^=g3i^^lip*ifc§IlP

voir en ce beau

jour; Je vais re * voir ma

bien

P^sgsP^gfeE^sPsjg;

qié - s Plia est rep - due & mon a • mour, a mon a • mourl

TAND

Tancrède, tragédie lyrique en cinq actes, avec un prologue, paroles de Danchet, mu» sique de Campra; représentée par l'Académie royale de musique le mardi 7 novembre 1702. Afin d'utiliser la voix presque virile de M11» Maupin, Campra écrivit pour elle le rôle de Clorinde dans un diapason inusité jusqu'alors. C'est la première fois qu'on entendit h Paris sur la scène un contralto. Tancrède eut un succès qui égala presque celui des opéras de Luili.qu on donnait toujours. On ne compta pas moins de six reprises de cet ouvrage jusqu'en 1750, époque à laquelle s'arrêtent nos renseignements. Thévenard chanta le rôle de Tancrède pendant près de trente ans I II fut remplacé par Chassé pour les deux dernières reprises. On dut par conséquent transposer plusieurs morceaux, quoique les uirs de basse fussent écrits assez haut. Les C'Iorindes furent successivement Mlle» Maupin, Journet, Antier. Cet opéra fut une occasion de triomphe pour las danseuses Camargo et Sullê. Voici les morceaux dont se composait un pas de trois ou petit ballet qui eut beaucoup de vogue a cette époque : un prélude grave, une chaconne, un air de trompette, une loure, un passe-pied en rondeau et un tambourin. Les choeurs do Tancrède marquent un notable progrès dans la composition musicale. Campra s'était formé au bon emploi des ressources vocales en remplissant les fonctions de maître de chapelle dans les églises de Toulon, d'Arles, de Toulouse et enfin à Notre-Dame de Paris. Nous ne craignons pas d'affirmer

?u'il y a des morceaux fort intéressants et ort agréables à entendre dans la partition du vieux maître français.

TANDÀH, ville de l'Indoustan anglais (Calcutta), sur le bord de la Gogra, à 32 kilom. N.-O. de Murchidabad. Fabriques de tissus de coton et de linge de table. Jadis renommée pour la salubrité de sa position, elle est aujourd'hui environnée de marais qui en rendent le séjour dangereux. Les environs produisent de l'indigo et du sucre. Chah, souverain du Bengale, en fit autrefois sa résidence.

TANDAH s. m. (tan-damm). Bâton à sept nœuds, qui est le signe distinctif de certains brahmes indous.

— Eneycl. Le tandam ou bâton à sept nœuds est l'insigne caractéristique des brahmanes indous qui sont parvenus à la condition de sauniassy ;le bâton à sept nœuds du sauniassy ne doit pas le quitter d'un instant; c'est ce qui le distingue des autres brahmes, avec les toiles jaunes dont il est vêtu; le sauniassy, cependant, ne porte pas non plus le triple cordon de Su caste ni le bouquet de cheveux que les brahmes laissent croître au sommet de leur tête ; ces deux dernières particularités signifient que le sauniassy a renoncé à sa caste, niusi qu'au inonde et à ses pompes. En effet le sauniassy fait profession de pauvreté et ne vit que d'aumônes ; il ne peut posséder que trois choses, son tandam, ou bâton à sept nœuds, sa calebasse à eau ou ce qui lui en tient lieu et une peau de gazelle pour s'asseoir. Le tandam au sauniassy n'est point un simple ustensile destiné à l'aider dans la marche ; c'est une imitation de la verge d'Aaron ; c'est l'instrument de la rabdomancie, divination par la baguette. Les sept nœuds du tandam ne sont pas non plus sans mystère. Qui ne connaît la perfection du nombre septénaire? On juge aisément de la haute estime dont il jouit dans l'opinion des Indous, par celte foule de liens et d'objets de leur vénération qui vont toujours par sept ; d'ailleurs sept est un nombre impair et tous les nombres impairs sont réputés heureux dans l'Inde, témoin Ja fameuse trimourti : Brahroa, Vichnou et Siva. On sait aussi que, chez les Romains le nombre impair était sacré.. Nous pourrions, à propos du bâton à sept noeuds des . sauniassys, parler de celui de Moïse, d'Elisée et de tous les prophètes; du bâton augurai, du bâton pastora^des faunes et dessylvains, du bâton des cyniques ; mais nous laissons aux lecteurs éclairés le. soin de faire à cet égard les rapprochements qu'ils jugeront convenables.

TAN DAN E s. m. (tan-da-ne). Ichthyol.

Genre de poissons siluroïdes, qui se trouve dans l'est de l'Australie.

TAN DEL (Charles-Antoine), écrivain belge, né a Luxembourg en 1801, mort à Arlon en 1854. Docteur en philosophie et es sciences, il devint inspecteur de l'enseignement primaire. Il a laissé divers ouvrages, dont les principaux sont : Observations sur l'enseignement dans les athénées et collèges (1826); Idées sur l'instruction publique dans les Pays-Bas (18?9), Plan d'une université pour ta Belgique (1831).

TAtSDEL (Nicolas-Emile), écrivain belge, frère du précédent, né à Luxembourg en 1804, mort à Liège en 1850. Il fut professeur de philosophie k l'université de cette ville, auteur d'une Grammaire philosophique allemande très-estimée et d un Nouvel examen d'un phénomène psychologique du somnambulisme; il a publié, en outre, de 184 1 à 1850, le Cours de logique à l'usage de l'enseignement universitaire; V Esquisse d'un cours d'anthropologie; le Sommaire de philosophie morale; l'Analyse de ta philosophie morale de De Coch, vice-recteur de l'université catholique de Louvain et, enfin, une série d'articles dans la Correspondance mathématique de M. Quételet et

TAND

de lettres sur les Idées innées dans le Journal historique de Kerslen.

TANDEL (Emile), écrivain belge, fils de Charles-Antoine, né à Bruxelles le 6 septembre 1834. Rédacteur en chef pendant de lonfues années de VEcho du Luxembourg, il pulia de nombreuses traductions de l'allemand : Idées de Herder sur la philosophie de l'histoire (Paris, 3 vol.); VHistoire de la francmaçonnerie, de Frûdel (Bruxelles, 2 vol.); A travers l'Amérique, de Frœbel (Bruxelles, 3 vol.), et un certain nombre de romans de Lochokke. Il compte parmi les collaborateurs du Grand Dictionnaire universel et de \'Economiste belge.

TANDELIN s. m. ( tan-de-lain ). Techn.

Hotte de sapin à l'usage des sauniers.

TANDEM s. m. (tan-dèmm). Esp"èce de cabriolet découvert, à deux chevaux en flèche : Nul ne porte mieux un habit, ne conduit un tandem mieux que lui. (Balz.)

TANDIS adv. (tan-di ; avec que quelques-uns prononcent tan-di-ske. — Un grand nombre d'étymologistes font venir tandis du latin tamdiu, qui signifie proprement aussi longtemps, de tum, si, aussi, et de diu, longtemps, et ils s'appuient sur ce que l'adverbe diu, romanisé en di et avec le * adverbial en dis, se trouve également dans jadis. Chevallet repousse cette explication et croit que tandis est composé de tant et de dis, pluriel de l'ancien français di, jour, du latin aies, jour, qu'il croit retrouver également dans jadis. Autrefois, en effet, on disait tant dis, tans dis, locution analogue k tous dis, qui se disait anciennement pour toujours. Tans dis, tant- dis signifiaient pendant autant de jours, pendant aussi longtemps, pendant tout ce temps. Chevallet remarque même que la préposition qui était ordinairement sous-entendue pouvait cependant être exprimée, et que Ion disait quelquefois entre tans dis. L'espagnol emploie dans le même sens entre tanto, en tanto; le portugais em quento; l'italien a frattento, adverbe composé de la préposition fra, en, dans, entre, pendant, et de l'adjectif tanto, sous-entendu tempo. Scheler croit que l'emploi de tandis dans le sens de lantos dies est le résultat d'une confusion, et il signale le provençal tandius, corrélatif de quandius, qui, selon lui, témoigne en faveur de tamdiu). Pendant ce temps, cependant :

Et tandis il m'envoie

Faire office envers vous de douleur et de joie.

Corneille.

— Loc. conj. Tandis que. Pendant que, dans le temps que : Travaillons tandis qok nous avons encore du feu dans les veines. (Volt.)

Tandis qu't peine à tes pieds tu peux voir, Fenses-tu Jire au-dessus de ta tête 7

La Fontaine.

Dans des projets un faquin réussit, Tandis que dans les siens un honnête homme échoue.

Lebrun.

— Tant que, tout le temps que :

Tandis que vous vivrez, le sort, qui toujours change, Ne vous a point promis un bonheur sans mélange.

— Au lieu que : Il a échoué, tandis qu'il aurait réussi s'il avait voulu.

— Syn. Tandis que, pendant que. V. FEN- DANT.

TANDON (Antoine), médecin et anatomiste français, né à Montpellier en 1717, mort en 1806. H prit le grade de docteur en 1741, et, comme il joignait à une grande sagacité des connaissances étendues en anatomie et en physiologie, il se livra avec un très-grand succès à l'enseignement privé. Tandon lit de nombreuses expériences pour vérifier les faits avancés par Huiler relativement à la sensibilité et à l'irritabilité, s'occupa avec ardeur de l'organisation des animaux et fut chargé, de 1766 à 1768, du service des épidémies dans les environs de Montpellier. La religion protestante, k laquelle il appartenait, l'empêcha de parvenir aux dignités médicales. On lui doit : Mémoire sur la maladie épidémique de Ateyrueis et ses environs (Montpellier, 1769, in-12); Dissertation sur la trachéotomie ; Dissertation sur la phthisie vénérienne, etc.

TANDON (Barthélémy), astronome français, cousin du précédent, né a Montpellier en 1720, mort en 1775. Il remplit gratuitement pendant plusieurs années les fonctions de directeur de l'observatoire construit en grande partie par ses soins sur une tour des anciens remparts de Montpellier. Tandon donna un grand développement à cet établissement, qui acquit beaucoup de réputation et reçut les encouragements de Cassini, de Lacaille, de Lemonier lorsqu'ils s'occupèrent de prolonger la méridienne de l'Observatoire de Paris Sans le midi de la France. C'est à lui qu'on doit les premières observations de latitude faites à l'observatoire de Montpellier. Pour élever sa nombreuse famille, Tandon se livra à des opérations de banque qui furent loin de l'enrichir et passa les dernières années de sa vie dans une maison de campagne près de sa ville natale. C'était un homme de beaucoup d'esprit, à la conversation agréable, piquante et variée. Il composa quelques poésies languedociennes, notamment une chanson à boire fort originale et devenue populaire, qui commence ainsi :

Resten alssil N'anen pas a Constantinoplo;

Besten a'ssi !...

TANG

TANDON (André-Auguste), poète languedocien, surnommé le Troubadour de Montpellier, parent du précédent, né à Montpellier en 1759, mort dans la même ville en 1824. Tout enfant, il montra de rares dispositions pour les mathématiques, puis reçut une éducation toute littéraire de l'abbé Favre, poète populaire , et entra ensuite comme commis dans la maison de banque de son oncle, qui le prit plus tard pour associé. Pendant la Révolution, il remplit les fonctions de vérificateur de l'emprunt forcé, de commissaire des guerres, d'officier municipal, et entretintlune active correspondance avec le ministre Cambon, qu'il aida à réformer l'ordre financier de la France. Vers l'âge de trente ans, Tandon s'adonna à la poésie et composa, dans l'idiome languedocien, des contes, des chansons, des fables, des poésies diverses, dont le style est simple, facile, naturel et dont la morale est douce et pure. Quelques-uns de ses contes, notamment celui des Ustanciurs, sont charmants et d'une piquante invention. Ses fables sont pour la plupart imitées de Phèdre, de La Fontaine, de Florian, de Groselier, etc., et s'élèvent souvent à la hauteur poétique du modèle. Un recueil de ses principales poésies a été publié sous le titre de Fables et contes en vers patois de Montpellier (Montpellier, an VIII, et 1813, in-è°). On lui doit, en outre, plusieurs ouvrages inédits : Traité sur les lettres, les diphthongues, les différents sons et l'orthographe dupât ois ; Observations grammaticales sur'les patois du Languedoc ; Contes en vers français; Recueil d'historiettes en prose, etc.

TANDOU-BATTOD, une des petitestles Soulou, par 5° 9' de latit. N. et 1170 52' de longit. E.

TANDOUR s. m. (tan-dour). Table recouverte d'un tapis qui descend jusqu'à terre, et sous laquelle les Orientaux placent un réchaud rempli de braise.

TANÉCIE s. f. (ta-né-sî). Bot. Genre d'arbustes, de la famille des bignoniacées, dont l'espèce type croît aux Antilles, sur le tronc des arbres.

TANÉGA-SIMA ou TANAO-SIMA, lie du Japon, au S. de celle de Kiousiou, dont elle est séparée par le détroit de Van-Diémen. Elle a environ 60 kilom. de longueur sur 30 de largeur. Sa surface est momueuse et bien cultivée.

TANÉSIE s. f. (ta-né-z!). Bot. Autre orthographe du mot TANAIStE.

TANETTE, ville de la Malaisie, dans l'île Célèbes, entre Macassar et la baie de Sorian, ch.-l. de la petite principauté de son nom, par 40 14' de latit. S.

TANEVOT s. m. (ta-ne-vo). Archit. Moulure en quart d'ovale, avec filet et dégagement.

TANFANA ou TANFAN, déesse ou dieu du feu, adoré chez les Frisons et en Westphalie en général. Son temple principal était situé entre l'Ems et la Lippe. Il fut brûlé sous le règne de l'empereur romain Tibère, alors que les druides furent chassés de la Gaule et durent se réfugier dans ces contrées. Tacite, dans ses Annales, liv. 1", l et Lt, en parle ainsi : * Celeberrimum illis gentibus templum quod Tanfana vocabant solo squatur. • On a pensé aussi que Tanfana n'était qu'une devineresse ou prophétesse, car tan veut dire destin, et fan, puissant.

TANG s. m. (tang). Ichthyol. Un des noms du muge commun.

TANGAGE s. m. (tan-ga-je — rad. tanguer). Mur. Mouvement de balancement du navire dans le sens de sa longueur : Les voiles du lougre étaient en toile si légère qu'elles se gonflaient comme un ballon au moindre souffle de vent, quoiqu'elles vinssent de temps en temps battre les mais dans les tangages occasionués par la houle. (Defauconpret.)

— Chem. de fer. Mouvement de bascule d'une locomotive de l'avant à l'arrière : Le tangage se produit au moment où les roues d'avant de la machine passent sur les joints des rails; le rail qui se trouve sous l'influence de la charge s'a/faisse, tandis que le suivant reste un peu plus élevé, et il en résulte un choc qui tend à disloquer la voie et le véhicule; c'est pour diminuer te tangage que l'on a imaginé de donner six roues aux locomotives et de joindre les rails par des éctisses et autres appareils. (Muigne.)

— Encycl. Mar. Les oscillations du tangage sont ordinairement fort vives; ce sont celles qui fatiguent le plus les marins, le navire et sa mâture. Ce mouvement est occasionné par l'action continuelle des vagues de la mer, qui enlèvent brusquement une extrémité du vaisseau et le laissent retomber ensuite, au moment où l'autre extrémité est soulevée à son tour. Le vent détermine aussi le tangage; ce mouvement est, dans ce cas, soumis à des règles.

Lorsque le vent agit sur les voiles, le mât incline ; mais la poussée verticale de l'eau s'oppose à cette inclinaison, et, à la fin de chaque bouffée de vent, le vaisseau cherche a reprendre son équilibre naturel; il se relève et oscille ; ce sont ces inclinaisons et ces relèvements successifs qui produisent le tangage, dont le mouvement incommode est nuisible au sillage du navire; aussi est-il iinpor-

TANG

tant de savoir le modérer. Voici comment on y parvient. On a remarqué que le mât a deux résistances à vaincre pour s'incliner : 1« la pesanteur du navire; 20 la poussée verticale de l'eau; d'où il résulte que plus le navire serait léger, plus le tangage serait puissant. D'autre part, on a remarqué que le tangage est d'autant plus grand que l'inclinaison des mâts est plus considérable vers l'avant ; c'est pourquoi on les incline vers l'arrière pour donner moins de prise au vent. Le langage produit par les vagues ne peut être modéré; il est dur quand les lames sont courtes et creuses et qu'elles se Buccèdent rapidement; il est lent et doux lorsque les lames sont longues.

Quand on s'incline principalement par la proue ou par l'avant, on dit que c'est le tangage par l'avant ou simplement le tangage; lorsque c'est par l'arriére, on lui donne le nom de tangage par l'arrière ou d'accuie'e. En général, l'eifet des voiles, quand elles sont pleines, accroît le tangage par l'avant, et, quand elles sont masquées, cet effet augmente les acculées et tend, d'ailleurs, à faire sortir le gouvernail de ses ferrures ou à le démonter; les focs, par leur disposition, diminuent le tangage.

On a des exemples de coups de tangage assez forts pour briser les mâts, particulièrement quand le navire, après avoir plongé sur l'avant, se relève avec vivacité. Il est alors prudent de soutenir le mât de misaine, qui, en raison de sa disposition, est le plus exposé. Quant aux vergues, il faut veiller avec le plus grand soin à ce que que leurs bras ne soient

fias amarrés des deux bords. L'évidement de a carène vers ses extrémités ajoute beaucoup au tangage, et si l'avant n'est pas épaulé, cet évidement peut tellement augmenter le tangage par l'avant, qu'au lieu de favoriser le sillage, ainsi que cela a lieu par une mer tranquille, il fait plonger le navire, au point de l'arrêter tout court, et peut même faire inonder le gaillard d'avant.

A l'ancre, un coup de tangage peut causer la rupture des câbles.

TANGALOA, dieu des arts et métiers, chez les insulaires des îles Tonga.

TANGANYIKA, lac situé au centre de l'Afrique intertropicale, entre le 3^ et le 8e degré de latit. S. Il présente une longueur totale d'environ 250 milles géographiques anglais sur une largeur qui varie de 30 à 40. Il est situé par 27° de longit. E., au tiers oriental de la largeur de l'Afrique et au centre de sa longueur. Sa direction générale est à peu près N.-S. ; sa forme , irrégulièrement triangulaire, est un peu renflée vers le milieu. A la hauteur du district d'Oujiji, le lac paraît avoir 30 à 35 milles de largeur. D'après le témoignage des Arabes, il aurait, en face de Kahouété, dans sa partie la plus étroite, une largeur de 23 à 24 milles. Son périmètre est d'environ 550 milles et sa superficie de 5,000 milles carrés. Il a été découvert par le capitaine Burton en février 1858.

Le bassin du lac est volcanique; il est entouré par une falaise formant une muraille à peine ébréchée d'une hauteur de 600 à 900 mètres au-dessus du niveau de l'eau. Ce niveau est lui-même à 564 mètres au-dessus de la mer et à environ 600 mètres au-dessous de la surface du lac Nyanza (Victoria), découvert par Speke. Le Tanganyika présente plusieurs lies, dont la plus importante et la plus étendue est l'île d'Oubouari, au N. d'Oujiji, entre 4» et 4o 30' de latit. S.; située dans la partie resserrée, elle est à peu près au centre du lac. C'est un rocher de 20 à 25 milles géographiques de longueur sur 4 à 5 de largeur dans sa plus grande étendue. Cette île eit enveloppée a'une végétation fort riche et le sol y est en plusieurs endroits fort bien cultivé. Mais il serait dangereux de s'aventurer dans les fiancs boisés des collines, car ils abritent une population cannibale toujours à l'affût d'une proie humaine. Les autres îles sont à peu de distance des côtes. L'île da Kivira, située vers 5° 30', a 5 miiles de longueur sur 2 et a de largeur ; elle est boisée et renferme une population compacte. Le manioc, la patate douce, le maïs, le millet et divers légumes y sont cultivés; on y élève même de la volaille. Les natifs ont pour vêtement des peaux de singes noirs et de chats sauvages, qu'ils ont soiu de ne pas dépouiller de leur queue. Non loin de cette île s'en trouve une autre, nommée Kabiziu, et qui est remarquable comme marché aux poissons. Parmi ces poissons, il en est un, appelé singa, qui est fort goûté des naturels. Bien que d'une laide apparence, il n'en est pas moins d'excellente qualité. Il est de grande dimension, marqué de noir, avec le ventre blanc, sans écailles et muni de petites nageoires. Sa chair est trèsgrasse, très-délicate et goûtée des indigènes à un tel point que, dans une excursion que fit en canot le capitaine Speke, les rameurs voulurent absolument s'arrêter à Kabizia pour manger du fameux poisson. Dans la partie S. du lac, par 7° 30' ue latitude, se trouve, près de la côte de l'Ousoua, un groupe d'îles nommées îles Mirima.

Burton et Speke ne purent effectuer de sondages dans le lac ; on verra plus loin pourquoi les indigènes s'y refusèrent. Les Arabes leur affirmèrent que, avec des lignes de plusieurs brasses, ils n'avaient trouvé le tond qu'à peu de distance du rivage. La plage s'enfonce rapidement dans l'eau, sans chute

TANG

escarpée. Les Ilots sont fréquents sur les bords du lac. D'après les renseignements des guides de Burton, le Tanganyika reçoit six tributaires vers le N., dans le pays d'Ouzigé ; ce sont: à partir de l'E., le Kouryaraavengé.le Molongoué.le Karinvira,leKariba, enfin le Rotisizi, principal collecteur de la ' région du Nord; au S., le lac reçoit le Maroungou, et, sur la côte orientale du pays d'Oufipa, un grand nombre de petites rivières.

L'eau du Tanganyika est assez pure. Le Voyageur qui arrive sur ses bords , après avoir bu 1 eau saumâtre et boueuse de la route, boit aveu un véritable plaisir l'eau douce du lac. Toutefois, les riverains lui préfèrent celle des nombreuses sources quisourdent sur le rivage.

Le lac renferme une grande variété de poissons. Nous citerons : le mvoro, poisson allongé, semblable à un grand maquereau ; le snagalé, qui possède à peu près la même forme, tout en étant plus épais et en ayant une tête plus grosse ; le mgégé, poisson trèspourvu d'arêtes, mais possédant une chair savoureuse; le mgouhé, d'une longueur de près de 2 mètres et qui, au dire de Burton, ne diffère pas essentiellement du khéri des rivières de l'Inde, et constitue le meilleur des poissons qu'on prend dans l'Oujiji; le sniga.dont nous avons déjà parlé; de petites anguilles assez bonnes; des goujons de plusieurs espèces, qu'on envoie du côté de l'E., après les avoir séchés ou salés ; des crevettes minuscules d'un fort bon goût, qui n'atteignent pas, comme grosseur,Te quart des crevettes de la Maftiche; un grand mollusque bivalve, appelé sinani, dont la chair est grasse, jaune et d'une fadeur repoussante. La plupart de ces poissons n'ont, toutefois, que peu de saveur, et les riverains leur en communiquent en les faisant griller à-petit feu et les enfeimant ensuite pendant une nuit dans des vases clos.

Les rives du lac, et surtout les plaines marécageuses, sont habitées par de nombreux buffles. Beaucoup d'hippopotames et de crocodiles rendent dangereuse, en certains endroits, la navigation du Tanganyika. Des hyènes et des chiens sauvages vivent de rapines; des troupeaux d'éléphants fréquentent les halliers de bambous qui entourent le lac. En fait d'oiseaux, on trouve : un bel aigle pêcheur, pas plus gros qu'un coq domestique, au plumage foncé, mais ayant la tête et les épaules d'un blanc éclatant ; une mouette aux pieds rouges, qui vit en colonie ; des martins-pêcheurs , des perdrix, des cailles, des corneilles h rabat, des hirondelles de passage, des gobe-mouches, des courlis, des hoche-queues, etc. Des grenouilles habitent les grandes herbes du Tanganyika et sont remarquables par le bruit iqu elles produisent. Des termites dévastent le sol partout où il offre peu de résistance. En somme, la faune est peu nombreuse sur les bords du lac. ■ Mais, dit Burton, si au dehors la vie animale est peu abondante, elle grouille à l'intérieur des cases, où s'abritent des scorpions, des serpents, des fourmis d'espèces variées , dont les cohortes chassent quelquefois le propriétaire. Les solives sont creusées par des xylophages. les murs bossues par les abeilles maçonnes , les angles voilés des toiles épaisses d'araignées hideuses; le grillon vous assourdit, les blattes détruisent vos denrées, et les mouches, les punaises et de gros moustiques bruns vous assaillent et vous dévorent.' Ajoutons k cette énumération d'animaux importuns le rat gris et le rat musqué.

La flore des rives du Tanganyika est trèsriche. Dans l'Oujiji, qui est uiie des provinces les plus fertiles de la région des lacs, les arbres et les fougères atteignent une taille colossale. Les légumes y croissent naturellement. Les indigènes riverains cultivent le sorgho, le nagli des Indous (éleusine coracono), l'arachide, les pois, les fèves, les haricots, le manioc, l'aubergine, la patate douce, l'igname, ie concombre et une sorte de champignon souterrain. Les fruits du bananier et de l'élaïs forment la principale nourriture des indigènes. Le bananier paraît être aborigène; l'élaïs croit sans culture et produit un fruit dont on retire de l'huile qui a la consistance du miel et qui est l'objet d'un commerce considérable. Elle est universellement employée dans la cuisine africaine, malgré sou odeur peu agréable. Elle sert aussi d'huile à brûler, ainsi que d'onguent et de pommade. La sève de cet arbre, qu'on appelle tembo sur les rives du Tanganyika et soura sur la côte de Guinée, se vend à bas prix et est absorbée par les indigènes qu'elle enivre et démoralise. Les bateaux du Tanganyika se font remarquer par leur simplicité primitive. Ils sont grossièrement creusés avec une hache dans le tronc d'un grand arbre. Les riverains en sont encore à ignorer l'emploi du feu pour creuser une cavité dans du bois. Les barques plus importantes se composent de trois planches formant une quille et deux plats-bords reliés par des cordages de palmier passant dans une série de trous. Pas de calfatage pour rendre l'embarcation étanche, de tulle sorte que l'eau entre perpétuellement dans, le bateau, et que perpétuellement aussi les rameurs sont obligés de le vider. Le cri senga, qui veut dire « videz l'eau, » retentit à bord pendant tout le temps d'une traversée. Ces embarcations ne portent ni mât, ni voile, ni gouvernail; on les conduit k l'aide d'une pagaie formée d'un pieu solide

TANG

de î mètres de longueur, portant à l'une de ses extrémités une pelle en forme de trèfle, de In dimension de la main. Cet instrument, dont le maniement est très-pénible et exige un grand effort pour très-peu d'effet utile, est un reste du système de navigation en usage dans les siècles passés, car les récits des premiers Portugais qui visitèrent le Tanganyika mentionnent son usage. « Si les haltes sont nombreuses quand il s'agit des habitudes ou des caprices de nos hommes, dit Burton, il est impossible d'obtenir le moindre temps d'arrêt lorsque c'est nous qui devons en profiter. Il n'est pas d'instances qui puissent décider nos rameurs à pousser le canot vers la place où .nous apercevons des pierres ou des coquilles intéressantes. Une idée superstitieuse les empêche de répondre à nos questions; ils ne souffrent même pas qu'on leur en fasse et ne consentent pas davantage à plonger un vase dans l'eau de peur d'être suivis par les crocodiles. Le requin n'est pas plus redouté de nos matelots que cet amphibie ne l'est des gens qui nous accompagnent; de peur de l'attirer, on ne jette rien dans le lac, pas même les ordures, que l'on conserve dans le canot. Aussi n'ai-je jamais pu m'assurer de la profondeur du Tanganyika... L'équipage aurait mieux aimé me voir au fond de l'eau que de s'arrêter un moment pour cette opération. »

La navigation du lac est pénible; trèssouvent des tempêtes soulèvent les vagues dune manière inquiétante; la laine déferlante caractérise les orages du lac, et ces orages sont très-nombreux pendant le temps de la mousson. Les vents réguliers qui soufflent sur le lac sont des vents périodiques, mais non constants. Ils viennent du S.-E. et du S.-O. ; les derniers produisent la tempête. Presque aussi distinctement que sur les rives de la m&r, la brise de terre et la brise de mer se font sentir sur les bonis du lac Tanganyika. Le mutin, le zéphyr vient du nord; la brise est variable au milieu de la journée et lo soir elle s'élève du lac. Durant la saison sèche, le vent s'engouffre dans le lac et fait rouler avec force les vagues vers la côte. Pendant la saison pluvieuse, les values sont moins grosses, mais il se produit de brusques orages d'une extrême violence. De nombreux courants atmosphériques régnent sur le lac ; ils produisent en se croisant un effet semblable à celui de ia marée. Le flux et le reflux que divers voyageurs prétendent avoir observés sur les lacs de l'Afrique doivent être attribués, suivant Burton, k l'effet des courants atmosphériques. On sait, en effet, que la mer Caspienne, la mer Méditerranée n ont pas de marée sensible à cause de leurs faibles dimensions; à plus forte raison les lacs en question ne peuvent-ils en avoir. Le colonel Jackson a publié un mémoire dans equel il attribue î le flux et le reflux des lacs de Genève, de Constance, de Zurich et d Annecy à la pression inégale de l'atmosphère sur la surface de l'eau, c'est-à-dire à 1 effet simultané de colonnes atmosphériques de pesanteur ou d'élasticité diverse, dont la différence proviendrait d'une cause mécanique ou des variations de la température. »

Les principales tribus riveraines du Tanganyika sont au nombre de seize : les Vouajiji, les Vouakaranga, les Vouaroundi, la tribu d Ouzigé, les Vouavira, les Vouabembé, les Vouasenzé, les Vouagoma, les Vouagouhha, les Vouat'hemboué, les Vouakatêté, la tribu de Maroungou, la tribu d'Ousouvoua, d'Oufipa, d'Outhemboué, d'Outougoué. On remarquera dans cette énumération que les noms de lieu commencent généralement par Ou et ceux des collections d'individus par Voua. Les plus importantes sont celles des Vouajiji et des Maroungou. Celle des Vouabembé est peuplée de cannibales ; elle est située au N.-O. du lac. Les riverains duTanganyika mettent tout leur orgueil à se tatouer le plus qu'ils peuvent et à s'enduire le corps d'ocre rouge mêlée d'huile fétide. La traite des esclaves, qui se pratique sur une grande échelle, menace de dépeupler entièrement ce pays, si les gouvernements civilisés n'interviennent pas pour empêcher cet infâme commerce.

TANGARA s. m. (tan-ga-ra). Ornith. Genre de passereaux, type de la famille des tanagridées, comprenant un grand nombre d'espèces , qui habitent l'Amérique tropicale : Les tangaras, pn)- leurs habitudes,rappellent celles des fringilles et un peu celtes des fauvettes. (Z. Gerbe.) Les tangaras ne se nourrissent que de petits fruits ou baies et d'insectes, quelquefois de grains. (Mauduyt.)

— Encycl. Les tangaras ont le bec presque de la longueur de la tête, un peu trigone à la base, caréné en dessus, à bords courbés en dedans, écliancré, rétréci et incliné vers le haut; la mandibule supérieure couvrant les bords de l'inférieure, seulement à la base. Les narines sont basales et nues; les ailes allongées, subobtuses; les tarses trapus, de la longueur du doigt médian; l'ongle du pouce très-fort et crochu. Les tangaras ont l'éclat te plus brillant et les plus belles couleurs. D'après les observations d'Azara , les tangaras sont vifs, remuants, étourdis; ils approchent des habitations et entrent même dans les cours et les jardins; on les découvre assez aisément, parce qu'ils sautillent sur les buissons et les arbres touffus ; ils se montrent quelquefois à la cime. Ce sont des oiseaux nuisibles, qui mangent les choux, les laitues et les bourgeons de la vigne, quoiqu'ils ne se

TANQ

posent jamais à terre ; s'ils se voient forcés de s'y abattre, ils y avancent par sauts.

Leur cri n'est qu'un son aigu; ils sont riches et magnifiques dans leur parure, élégants dans leurs formes et leurs proportions, et d'un instinct assez sociable; car, quoiqu'on ne les trouve pas en bandes nombreuses, sauf le tayaca , qu'on voit quelquefois en troupes de vingt ou trente, ils se réunissent plusieurs de fa même espèce et quelquefois avec de3 espèces étrangères. Ils ne se nourrissent pas de graines ni de petites semences, et ils ne mangent que des insectes, des fleurs, des fruits, des cœurs de laitue et de la viande. Enfin, quoiqu'ils pénètrent ussez souvent dans les bois pour y chercher les fleurs et les fruits dont ils se nourrissent, ils fréquentent pour l'ordinaire les lieux couverts et ombragés, et on les trouve presque toujours sur les bords des forêts qui sont garnies de grands halliers.

Leur nid, placé sur de grands buissons ou sur des arbres, est travaillé avec assez de solidité, et des débris d'écorce, des filaments de plumes, de feuilles, des racines très-menues sont les matériaux employés à sa construction ; en dedans est une couche épaisse de crins artistement arrangés. « J'aeheiai, dit Azara.un nid de tangara, dans lequel étaient deux petits qui n'avaient pas encore de plumes, et je les élevai en leur donnant de petits morceaux de chair crue, jusqu'à ce qu'ils fussent en- état de voler. Us étaient extrêmement affamés et gloutons. Quand ils eurent complètement leur livrée, je reconnus qu'il n'existe point, dans cette espèce, d'autre dissemblance entre le mâle et la femelle qu'un ton plus vif de couleurs sur le plumage du mâle, ■

Le tangara de Dubus a le dessus de la tèta couleur orangé; le dos, les épaules et. la poitrine d'un bleu d'azur ; la région anale rousse; le reste du corps noir. 11 haûite la Colombie.

TANGArocj s. m. (tan-ga-rou — contract.

de tangura et de roua;). Ornith. Espèce de tangara, qui habite la Guyane, et qui, d'après quelques auteurs, ne serait fondée que sur la femelle du tangara noir, prise à tort pour une espèce différente.

TANGAVIO s. m. (tan-ga-vio — contract.

de tangara et de violet). Ornith. Espèce de tangara, qui vit à Buenos-Ayres.

TANGEDOR s. m. (tan-jé-dor). Erpét. Syn. de-BOiciNlNGUA, espèce de crotale de l'Amérique du Sud.

TANGENCE s. f. (tan-jan-se — rand. tangent). Géom. Contact de ce qui est tangent. Il Point de tangence, Point unique où deux lignes, deux surfaces se touchent : Le point de tangence de deux cercles, de deux sphères, il Ligne de tangence, Ligne unique suivant laquelle deux surfaces s.; touchent : Ligne du tangence de deux cylindres.

TANGENT, ENTE adj. (tan-jan, an-te — du lat. tangens, qui touche). Géom. Qui touche une ligne ou une surface en un seul point: Droite tangente à un cercle. Plan tangent à une surface. Il Droite tangente à une courbe, Limite des positions d'une droite mobile, sur laquelle sont venus se confondre deux des peints en lesquels elle coupait la courbe. Il Courbes tangentes entre elles, Courbes qui ont en un point une droite tangente commune. Il Plan tangent à une surface en un point. Plan qui contient les droites tangentes à toutes les courbes qu'on peut tracer sur la surface par ce point, || Plan tangent à une surface sutuant une ligne, Plan qui contient les droites tangentes à toutes les courbes qu'on peut mener sur cette surface par tous les points de cette ligue.

— Encycl. Plan tangent. Le plan langent k une surface en un de ses points est le plan qui coupe la surface suivant une ligne dont ce pointsoit un point double, au inoins. Toutes les droites menées dans le plan d'une courbe par un de ses points multiples sont tangentes à cette courbe; le plan tangent à une surface en un point peut donc aussi être défini par cette propriété que toutes les droites qui y sont menées par le point de contact se trouvent être des tangentes à l'intersection et, par suite, à la surface elle-même, car toute droite tangente à une courbe tracée sur une surface est tangente à cette surface ; c'est pourquoi l'on dit habituellement que le plan tangent à une surface en un point est le lieu des tangentes à cette surface au point considéré. Mais cette propriété ne doit pas être prise pour définition du plan tangent, rien ne prouvant à l'avance que toutes les tangentes à une surface en un point doivent être contenues dans un même plan.

L'intersection du plan tangent à une surface, en un point, avec la surface, est ce qu'on nomme l'indicatrice en ce point. Quand c'est une ellipse, le plan tangent n'a qu'un point commun avec la surface, du moins aux environs du point de contact, le point de contact est un point isolé de la section totale. Quand l'indicatrice est une hyperbole, le plan tangent coupe effectivement la surface suivant une courbe dont deux branches se croisent Sous un angle quelconque au point de contact; enfin, quand l'indicatrice est une parabole, le plan tangent coupe la surface suivant une courbe dont les branches se touchent au point de contact. Le premier cas est celui où toutes les sections normales fai-

TANG

tes dans la surface par le point considéré ont leurs courbures tournées dans le même sens ; le second est celui où la courbure change deux fois de sens, tandis que le plan normal achève une révolution entière autour de la normale ; dans le troisième, la courbure devient nulle dans une direction déterminée, mais sans changer de sens, lorsque la trace du plan normal sur le plan tangent a dépassé cette direction; par exemple, un plan tangent a un ellipsoïde, à un hyperboloïde à deux nappes ou à un paraboloïde elliptique coupe la surface suivant un point isolé ; un plan tangent a un hyperboloïde à une nappe ou à un paraboloïde hyperbolique coupe la surface suivant deux droites inclinées l'une sur l'autre ; un plan tangent à un cône ou à un cylindre coupe la surface suivant deux droites confondues en une seule.

Le plan tangent à une surface en un point de l'intersection de deux nappes de cette surface n'est pas indéterminé, quoiqu'il en existe plusieurs; toutefois, les coefficients de l'équation de ce plan se présentent d'abord sous la forme -, parce que toute droite

passant par un pareil point peut être considérée comme tangente a la surface ; mais une analyse plus approfondie permet généralement d'obtenir des limites déterminées pour les coefficients.

En un point où deux nappes d'une surface s'évanouissent, c'est-à-dire tel.que tout plan qui y passe donne une section évanouissante, le plan tangent est véritablement indéterminé.

Soit [x, y, z] un point quelconque d'une surface f(X, Y, Z) = 0; l'équation d'un- plan quelconque passant par ce point sera

A(X-a:) + B(Y-î,) + C(Z-s) = 0; si le point [x, y, z] est tin point double de la section des deux surfaces, le point [x, y] sera un point double de la projection de celte section sur le plan des xy; or, un point double d'une courbe y{x, y) = 0 doit remplir les deux conditions

*! = oet£=Oï dx dy

par conséquent, si le plan

A(X - *) + B{Y - y) + C(Z - z) = 0 est tangent à la surface /"(X, Y, Z) = 0 au point [x,y,z], les dérivées par rapport à X et a Y de la fonction f{X, Y, Z), duns laquelle on aurait remplacé Z par sa valeur, tirée de l'équation

A(X-»)+B(Y-y)+C(Z-*)=0, devront être annulées par la substitution de x et y à la place de X et Y.

Il n'est pas nécessaire, pour exprimer ces conditions, d'effectuer réellement l'élimination de Z ; il vaut mieux former les dérivées de f{X, Y, Z) an y considérant Z comirîe une fonction de X et de Y, déterminée par l'équation du plan, qui donne, d'ailleurs, dZ =A ' dZ B dX C dY C'

Ces dérivées sont

df__^d[ ËL Bd/;

dX C dZ Ô dY C dZ' II faudrait, avant de les égaler à zéro, y remplacer Z par sa valeur tirée de l'équation du plan, et ensuite X et Y par x et y, mais ces substitulions reviennent a remplacer tout de suite X, Y et Z par x, y et z.

Les conditions -à remplir par les coefficients A, B, C sont donc

A df

-Bdr 0

Cdz

Cdz~0'

qui

donnent

df dz

par suite, l'équation du plan tangent devient df df

dz dz

On donne souvent à l'équation du plan tangent une autre forme, eD y introduisant les

.... ,■„<** . dz

dérivées partielles — =»et — = o do î dx dy *

par rapport à a; et à y au point de contact.

Les valeurs de "<>« dérivées sont

EL dy

pm~f «*--«>

et, par suite, l'équation du plan tangent peut être écrite sous la forme

TANG

On arrive au même résultat en cherchant le lieu des tangentes à la surface au point [x, y, z]. Les équations d'une quelconque de ces tangentes sont

X — x = a(Z — z) et Y — y = p(Z — s), a et p devant satisfaire à la condition

*dx+*dy + Tz'

le lien de ces tangentes est donc représenté par l'équation du premier degré

C'est donc un plan.

Si l'une des dérivées partielles —, -^ -^

dx dy dz est nulle au point [x,y,z] le plan tangent en ce point est parallèle à 1 axe correspondant; si deux des trois dérivées sont nulles, le plan tangent est parallèle au plan des deux axes correspondants; mais si les trois dérivées s annulent en même temps, le plan tangent devient en apparence indéterminé; le fait tient, en général, a ce que la surface a plusieurs plans tangents au point considéré. Pour les obtenir séparément, il n'y aura évidemment qu'à distinguer les deux, trois, etc., séries de tangentes en ce point aux sections faites dans la surface par des plans qui le contiennent et à prendre ensuite séparément les lieux de ces tangentes dans chaque série. Les plans sécants pouvant être dirigés arbitrairement, nous les supposerons, pour plus de simplicité, çarallèles à l'axe des a ; ils auront alors pour équation générale

L'équation de la projection sur le plan des xs de la. section faite par l'un d'eux résulterait de l'émination de Y entre les équations /(X, Y, Z) = oet Y-y = m(X -x). Si cette élimination avait été effectuée et qu'elle eût donné pour résultat

f (X, Z) = 0, les équations des tangentes à la section au point xs, en supposant que ce point fût simplement double, seraient

« étant l'une des racines de l'équation d'<! , , d'o d'f

dT^+2dxTz't + a4=0'

l'équation du système de ces tangentes serait

donc

dJif£zii V . 2 £l (z^zl\ , d\ n.

dî'VX — x) ^ dxdz\X — x)+di~'~0> enfin, le système des tangentes à la section dans son plan serait représenté par l'ensemble de cette dernière équation et de

L'équation du système des deux plans tangents résulterait donc de l'élimination de m entre ces dernières. Telle est évidemment la marche qu'il y aurait à suivre dans chaque cas particulier. Pour arriver à. une formule générale, nous n'effectuerons pas l'élimination de Y entre

/•(X,Y>Z) = 0 et Y-y-= m(X-x);

mais nous exprimerons les coefficients différentiels

dx*'

dxdz

dz*

en formant les dérivées de f(X,Y,Z), où Y sera considéré comme une fonelion'de X ayant d'ailleurs pour dérivée '

dY dX = ra'

df df

itaii. df

— - = — — -I- m — — et — f - -t dX dX + dY dz ~ dz'

Y étant supposé remplacé par sa valeur. De même,

dX' dXJ

dXdY

dY":

dXdZ

dXdZ^~mdYdZ

dZ> '

£1 dZ*'

Y étant de même supposé remplacé par sa valeur.

L'équation

dyz-zy d'e fZ-gy, d\

~dz\ X-x)^ dxdz\x^c) + dx' = ° revient donc à

dydz)\x-x)

+ S + *m<ÛJy

( d'f \dxdz d'f

dy' '

\dxdz

dz*

r^-^ + ^vX—i'+^CY-tf

il ne reste plus qu'à éliminer m, c'est-à-dire à le remplacer par x~^. Cette élimination donne, en chassant le dénominateur (X — x)*, d'f,

dy*

dyd

-^-rt+E^Or-rtlx-*)]-*.

On trouverait tout aussi aisément l'équation du système des trois plans tangents en un point où trois nappes d'une même surface viendraient se couper. Un pareil point serait d'ailleurs caractérisé par les conditions :

df df

dx'

dxds "' dydz

On peut donner à l'équation générale des plans tangents à une surface une forme nouvelle en y introduisant comme variables les deux coefficients angulaires, au lieu de l'abscisse et de l'ordonnée' du point de contact. Pour qu'un plan

x = mx + ny -f- h soit tangent à une surface

f(x,y,z) = 0, il faut que l'équation

f(x,y, mx + ny -\- h) ■= o

représente une courbe ayant un point double; c'est-k-dire qu'il faut que les quatre équations

* = mx A- ny + h,

dx ds

df df Ty + ndi-

aient une solution commune. Cette condition déterminera h en fonction de m et de ». Si l'on peut en tirer

l'équation générale des plans tangents à la surface sera

* = mx + ny + ?(m,n).

Si l'on veut faire application de cette méthode à l'ellipsoïde

a'^b'^c' ' on aura à exprimer que les équations x* . y' t z'

X = mx -f- ny -}- kt

ont une solution commune. Cette condition s'exprimera en éliminant x, y et z entre les quatre équations. Or les trois dernières donnent

a'm' + b'n' + c* nb'h

la condition cherchée est donc

d'où

h = ±\fm'a'-fn'b' + c>,

et, par conséquent, l'équation générale des plans tangents a l'ellipsoïde

est

s = mx -f ny ±j/m*a' -f n'b' + c*.

Soit proposé de métier par un point extérieur x = <x, y = p, z = ii un plan tangent a. une surface

fl*,y,*) = 0,

on aura, pour déterminer les coordonnées du point de contact, les équations

On pourra abaisser te degré de la première d'une Unité lorsque la surface sera algébrique. L'intersection des surfaces représentées par les deux équations restantes sera la courbe de contact, avec la surface proposée, du cône qui lui serait circonscrit du point donné comme sommet.

Si l'on voulait mener à une surface

A*W>«) = « un plan tangent parallèle à une droite donnée

x = mz, y = nz,

les équations qui détermineraient le point de contact seraient

df df , df L „

mdx + nTy + di = 0 et 1W>-°i

l'intersection des surfaces qu'elles représentent serait la courbe de contact, avec la sur-

TANG

face proposée, du cylindre qui lui serait circonscrit parallèlement à la droite donnée.

Si l'on voulait mener un plan tangent & une surface

parallèlement à un plan

s = mn + ny

lep équations du point de contact seraient

df , df df df

X+mT'=o, 4-+n-J- =0 dx dz ' dy dz

Pour mener un plan tangent commun à trois surfaces

après avoir obtenu les équations générales z = mx -r ny + j(m,n), z^mxj-ny + ^mri, z = mx + ny + ?,(m,itj

des plans tangents à ces trois surfaces, il ne resterait qu'à exprimer les conditions pour qu'ils sa confondissent; c'est-à-dire à résoudre le système des deux équations

ï(mt") = ïi(m,") = ?i(»i,b)- — Plans tangents aux surfaces imaginaires. Si x, y et s prennent des valeurs imaginaires

a = « + pcV~l, y= o'-ffc'/— 1,

satisfaisant à l'équation d'une surface f(x,y,z) = o,

l'équation du plan tangent se réduit arithmétiquement à lu forme

Z = {m + m'fî^l) X + (n + H'/^"i) Y

Cette équation représente un faisceau de plans contenant tous la droite

Z = mX + «Y + A,

Celui de ces plans qui appartient au système C, C passe au point

s = « + pc/~l, y = tJ-r-tc'/^l,

et il est facile de voir qu'il est tangent en ce point à la conjuguée c,c' de la surface f(x,y,z) = o.

En effet, les dérivées partielles de z, par rapport à a: et à y, gardant les mêmes valeurs au point x, y, z, soit qu'on les tire de l'équation de la surface ou de l'équation du plan tangent , il en résulte que 1 UDe et l'autre donnent la même valeur de dz pour un même système de valeurs de dx et de dy; dz est, dans les deux cas, représenté par

dz = (m + m'\^î)dx + (n -f- n'V^l) dy ;

d'un autre côté, si l'on veut que le point x-\-dx, y + dy, z + dz appartienne à la conjuguée c,c', soit de la surface

soit du lieu représenté par l'équation de son plan tangent, il faudra que dx, dy eldz aient respectivement les formes

do + d$c /~ , do! + dpc' /^T,

it n'y aura donc d'arbitraires que da et do', par exemple, puisque l'équation

dz = (m + m' V^T) dx + [n + «V^TI) dy

se décompose en deux ; do et da.' recevant donc les mêmes valeurs dans les deux cas, dx, dy et dz prendront aussi les mêmes valeurs; cela signifie que les deux surfaces ont une inlinité d'éléments linéaires communs autour du point x, y, z; elles sont donc tangentes en ce point.

Ce qui vient d'être dit se rapporte à des conjuguées désignées; mais deux lieux complets, tangents en un point, ont eifectivement un volume infinitésimal commun s'étendant tout autour du point de contact, puisque sur l'une et l'antre dz conserve la même valeur, quelques valeurs qu'on donne à daret à dy. Ce volume s'aplatit en un disque plan lorsque les coefficients angulaires du plan tangent deviennent réels ; en effet, les rayons vecteurs menés du point de contact à la surface qui limite ce volume infiniment petit sont parallèles aux droites menées de l'origine sur la surface complète que représente 1 équation

z = (m 4- m> tf^i)x + (a -f n' ^^\)y.

Or, lorsque m' et n' s'évanouissent, tous les plans imaginaires représentés par cette équation se confondent géométriquement avec le plan réel qu'elle représente.

11 résulte de là que les points d'un lieu où les dérivées partielles

dz . dz ,— et -Tax dy

ont des valeurs réelles appartiennent à l'en-

TANG

veloppe des conjuguées de ce lieu. Cette enveloppe est définie par les trois équations

df df

n •. dx , , dy , .

f{x,!/,z) = 0j f. = réel, j = réel.

TANG

représentent les coordonnées d'un point de cette envelopppe, l'équation

fournira deux conditions entre «, p, «', p', a." et p", et chacune des autres en donnera un; il ne restera donc d'arbitraires que deux des six variables a, p, a', p', a" et p"; par conséquent, l'enveloppe sera généralement une surface. II en résulte que chaque conjuguée ne touchera habituellement ta portion imaginaire de cette enveloppe qu'en un nombre limité de points.

L'interprétation des résultats fournis par l'analyse, appliquée aux différents problèmes que peut comporter la détermination des plans tangents a une surface dans des conditions diverses, cette interprétation se ferait tout aussi aisément que dans le cas du problème des tangentes; nous n'y insisterons pas. On étendrait de même et par les méthodes déjà développées la solution à intervenir à toutes ou à chacune des conjuguées de la surface proposée.

TANGENTE s. f. (tan-jan-te — fém. de tangent pris substantiv.). Géom. Droite tangente : Mener une tangewtjs à une courbe, à une Surface. Newton novs nwnlra ta nwin gui lança les planètes sur la tanghnte de leurs orbites. (J.-J. Rouss.) li Problème des tangentes, Détermination de toutes les tangentes a mie courbe donnée. Il Problème inverse des tangentes, Détermination d'une courbe dont les tangentes sont données.

— Trison. Tangente d'un angle, Perpendiculaire abaissée d'un point quelconque d'un côté d'un angle sur l'autre côté; rapport de cette perpendiculaire à la distance de son pied au sommet de l'angle.

— Loc. fam. S'échapper par la tangente, Se tirer d'affaire par quelque moyen détourné.

— Encycl. Géom. La tangente k une courbe définie géométriquement ou donnée graphiquement est la limite des positions d'une droite mobile, suivant une loi quelconque, sur laquelle sont venus se confondre deux des points suivant lesquels elle cou[mit la courbe; c'est le prolongement d'une corde de la courbe unissant deux points infiniment voisins de cette courbe, ou encore le prolongement d'un élément de la courbe. Une tangente à une courbe peut couper cette courbe en un nombre quelconque de points séparés du point de contact par des distances finies.

11 peutarriverquc trois, quatre, etc., points de rencontre, d'une droite mobile avec une courbe viennent en même temps se confondre en un seul, sur cette droite, dans sa position limite ; la position limite est toujours celle d'une langent*, mais alors la tangente a exceptionnellement avec la courbe un contact plus intime que celui d'une tangente quelconque; l'ordre de ce contact s'indique par l'excès Sur 2 du nombre des points qui sont venus se confondre en un seul.

Inversement une droite peut exceptionnellement contenir d'eux, trois, etc., points d'une courbe confondus en un seul, sans être à proprement parler tangente à cette combe. Ce cas est celui où, plusieurs branches de la courbe passant en un même point, soit d'ailleurs qu'elles s'y coupent ou s'y touchent, la droite mobile est amenée à passer par ce même point. Quelle que soit la direction sous laquelle elle arrive à sa position limite, il vient toujours se confondre en un seul un nombre de points de rencontre au moins égal au nombre des branches qui passent au point multiple considéré; pour que la droite soit effectivement tangente, il faut que le nombre de points, confondus en un seul, suivant lesquels elle coupe ta courbe dépasse au moins d'une unité !e nombre des branches dont il s'agit. Un cas analogue, mais qui se résout cependant d'une manière différente, se présente lorsque la courbe, pourvue habituellement d'un anneau fermé, s'est momentanément'transformée de façon que l'anneau se réduisit en un seul point : toute droite passant par ce point pourrait être regardée comme coupant la courbe en deux points confondus en un seul. Les deux cas diffèrent en ce que, dans le précédent, on pouvait concevoir nettement la tangente à l'une quelconque des branches qui se coupaient au point multiple, tandis que, dans le cas actuel, la courbe ne fournissant. pas d'arc issu du point isolé où l'anneau est venu se concentrer, on ne peut arriver à concevoir à la courbe une ou plusieurs tangentes définies en ce point, que par l'intermédiaire de conceptions abstraites dont il faudra rendre compte; les tangentes sont, au reste, toujours imaginaires dans ce cas. Quoi qu'il en soit, il est facile de vérifier que le calcul donne pour les coefficients angulaires des tangentes en un point isolé des valeurs aussi bien déterminées que pour les

coefficients angulaires des tangentes en un point simplement multiple. Par exemple, si le cercle x* -(- y* = R' s amoindrit jusqu'à se réduire à son centre, son équation se réduit à x' + y' = 0 et les coefficients angulaires

des tangentes en ce point sont alors ±/— 1.

Lorsque le point de contact s'éloigne à l'infini sur une branche d'une courbe, la tangente devient une asymptote.

La théorie des tangentes est l'une des plus importantes de la géométrie; elle a exigé les plus grands efforts et donné lieu aux plus grandes découvertes, non-seulement dans le champ de la géométrie pratique, mais encore en analyse.

Les anciens, ne faisant jamais intervenir l'algèbre dans leurs recherches concrètes de géométrie, n'avaient qu'une définition fort imparfaite des tangentes et ne pouvaient, en conséquence, se servir que de moyens indirects pour les déterminer. C'était par la condition négative de ne rencontrer la courbe, ou du moins une de ses branches, 'qu'en un seul point, que les Grecs caractérisaient une tangente. Cette condition, évidemment suffisante dans le cas du cercle, en raison de la symétrie de cette tourbe, pouvait encore servir à la détermination des tangentes à l'ellipse, à l'hyperbole, à la parabole et à quelques courbes particulières. D'autres principes simples pouvaient être invoqués dans des cas spéciaux ; le principal d'entre eux, que l'on a encore souvent l'occasion d'appliquer, consiste en ce que la projection ou la perspective d'une courbe a pour tangentes les projections ou les perspectives des tangentes à la courbe elle-même.

La méthode générale des tangentes a été fondée par Descartes; elle dérive presque immédiatement des principes mêmes de la géométrie analytique: dès que les lignes, droites ou courbes, furent représentées par des équations entre les coordonnées variables d'un quelconque de leurs points, la détermination des points de rencontre de deux lieux se trouva ramenée à la résolution du système des équations de ces lieux et la condition de contact fut que l'algèbre donnât, entre autres couples de valeurs des deux coordonnées, deux couples identiques ou, en d'autres termes, que l'élimination de 1 une des coordonnées, entre les deux équations, fournit une équation ayant deux racines égales. La méthode, que Descartes n'avait mise en pratique que pour les courbes du second degré, prises pour exemple, fut bientôt étendue par ses successeurs immédiats, Fermât, Pascal, Roberval, Huyghens, etc., à toutes les courbes algébriques; ce qui donna lieu de fonder, avec toute la clarté et l'élégance qu'elle comportait, la théorie algébrique des racines égales. Les mêmes géomètres résolurent encore la question pour quelques courbes transcendantes, la cycloïde et plus généralement les épicycloîdes, les spirales simples, etc.; mais les méthodes manquaient pour effectuer les calculs nécessaires dans tous les cas ; le besoin d'en lever les difficultés, d'un genre tout nouveau alors, qui se présentaient toujours les mêmes, dans toutes les questions de tangentes, et auxquelles Huyghens venait encore d'ajouter en introduisant la notion de courbure, ce besoin donna naissance au calcul infinitésimal.

Soient tu et y les coordonnées rectilignes d'un point quelconque d'une courbe, x-\-dx, y -\- ay celles d'un point infiniment voisin, pris sur la même courbe, l'équation de la sécante passant par ces deux points sera

Le coefficient angulaire de la tangente à une courbe en un de ses points est donc la dérivée de l'ordonnée par rapport à l'abscisse. Si l'ordonnée est fournie explicitement en fonction de l'abscisse, le calcul du coefficient angulaire se réduit à une simple dérivation de la fonction, et si l'ordonnée est définie implicitement en fonction de l'abscisse par une équation f(xty) = 0, algébrique ou transcendante, la dérivée l'est par lu formule

de sorte que l'équation de la tangente est alors

La question n'est pas plus difficile à traiter en coordonnées polaires; soient O le pôle, O*

Fig. 1.

l'axe polaire, M un point quelconque d'une courbe AB , représentée par une équation <j(l,o) = 0 ; la tangente MT sera complète-

TANG

ment déterminée si l'on obtient l'angle OMT qu'elle fait avec le rayon polaire. Or, cet anîîle est la limite de l'angle variable ONM formé avec un rayon ON infiniment voisin de OM par une sécante NMS infiniment voisine de la tangente. Soient p + dp etu + dut les coordonnées du point N, la tangente de l'angle ONM sera

MP PN ou encore

f sin du

f 4- tip — p COS d<*'

- d tu

c'est-à-dire

La formule

dlà

tang OMT =

fournit dans tous les cas l'angle du rayon vecteur avec la portion de la tangente diri-

fée du côté où tes u décroissent. En effet, 'une part, cette tangente change de signe avec

it\

comme cela doit être, puisque l'angle OMT, compté toujours dans le même sens, est aigu ou obtus suivant que

est positif ou négatif, et elle change aussi de signe avec ? , de sorte que si la même branche de courbe est donnée par des valeurs négatives de p, au lieu de valeurs positives, comme P et rfç changent en même temps de signes, la tangente reste la même.

La formule du coefficient angulaire de la tangente

tombe dans un cas illusoire, lorsque le point x, y est tel que les deux dérivées par rapport à £ et à y du premier membre de l'équation de la courbe se trouvent en même temps nulles. Cela arrive lorsque le point de contact est un point multiple, ou un point isolé, et l'indétermination tient dans ce cas, comme nous l'avons déjà indiqué, à ce que toute droite passant par un pareil point rencontre effectivement la courbe en deux points qui s'y confondent en un seul, et que la condition analytique dont on s'est servi pour déterminer le coefficient angulaire de la tangente traduit simplement cette condition concrète que deux points se soient réunis en un seul. Mais une analyse plus approfondie fournit aisément les coefficients angulaires des diverses tangentes que l'on peut mener à la courbe du point considéré, lorsque ce point est sim-

Îilement multiple, et donne encore des vaeurs déterminées pour les coefficients angulaires des tangente», alors imaginaires, lorsque le point considéré est un point isolé.

L'équation f(x,y) = 0, lorsqu'on y remplace x par x -f- h et y par y-\- k, donne

quand on néglige les termes infiniment petits d'ordres supérieurs au premier; mais si l'on va jusqu'aux infiniment petits du second ordre, on obtient

Les termes du second degré, habituellement, disparaissent devant ceux du premier; mais ce seront ceux, au contraire, qui serviront à déterminer la limite du rapport

k dy

r ou ZT h dx

lorsque les termes du premier degré s'en iront d'eux-mêmes; on aura dans ce cas, pour déterminer les coefficients angulaires de la tangente, l'équation

Cette équation fournira en général deux valeurs distinctes pour

dy.

dx'

si ces valeurs sont réelles, en général, le point xy sera un point simplement multiple ; dans le cas contraire, ce sera un point isolé. Si les deux valeurs de

sont égales, le point considéré sera, en général, un point de rebroussement (v. rkbrousbkmknt), Si les trois dérivées secondes étaient

TANG

nulles en même temps que les premières, il faudrait pousser le développement de

jusqu'aux termes du troisième ordre, et dy'

serait alors donné par une équation du troisième degré, etc.

On peut donner k l'équation générale des tangentes a une courbe une forme nouvelle en y introduisant comme variable le coefficient angulaire au lieu de l'abscisse du point de contact. Pour qu'une droite y = mx-\-n soit tangente à une courbe f(x,y) = 0, il faut que l'équation

f{x, mi + ii) = o

ait deux racines égales ; cette condition fournit une relation entre m et n, et si cette relation, résolue par rapport à n, donne n = ij(m), l'équation générale des tangentes à la courbe sera

y = mx + ï(m).

On emploie l'une ou l'autre forme selon que l'on se propose plus spécialement de déterminer le point de contact de la tangente à mener, sous une condition définie, ou l'équation même de cette tangente.

Soit proposé de mener par un point

une tangente k une courbe f(x,y) = 0 , on aura, pour déterminer les coordonnées du point de contact, les deux équations

e/y*,y) + <*rx{x,y) = */y*.?) ■•• vrv{x,y)

Lorsque l'équation f(x,y) = 0 sera algébrique, on pourra simplifier le système des deux équations à résoudre, parce que dans le second membre, xf \-yrv, l'ensemble des termes du

plus haut degré reproduira, k un facteur constant près, égal au degré de la courbe, l'ensemble des termes du plus haut degré de l'équation f(x,y) ; de sorte qu'au lieu de deux équations du degré m de la courbe on n'aura a résoudre qu'un système de deux équations, l'une de degré m et l'autre de degré m — 1. Le nombre des solutions, dont quelques-unes pourront se confondre ou disparaître, sera m(m — 1) ; d'où résulte nue d'un point extérieur k une courbe de degré m on peut, en général, mener m(m — v) tangentes. Si l'on s'était proposé de déterminer le coefficient angulaire de la tangente cherchée, on aurait eu a résoudre l'équation

B <=-ma + ç(m).

Soit, en second lieu, proposé de mener k une courbe f(x,y) = 0 une tangente paratlèle à une droite donnée y = mx, on aura, pour déterminer les coordonnées du point de contact, les deux équations

Si l'on veut seulement l'équation de la tangente, on n'aura à calculer que la valeur de î(m).

Pour mener k deux courbes f(x,y) = o et' f,{x,y) = 0 une tangente commune , après avoir obtenu les équations générales

y = mx -}- <f(m)

y = mx + ?,(m)

des tangentes k ces deux courbes, il ne resterait qu'à exprimer la condition pour que ces tangentes se confondissent, c'est-à-dire à résoudre l'équation o(m) = f,{m).

L'intronisation définitive des méthodes analytiques est toujours, en chaque genre de recherches, le but absolu vers lequel on doit tendre d'abord. La possibilité de s'en servir donne h l'esprit une satisfaction qu'il réclame avant toute autre. Il semble, en effet, que, dès que ces méthodes sont régulièrement instituées, il n'y ait plus aucune question, ressortissant au sujet, qui ne puisse être abordée et résolue. Mais outre que l'emploi de ces méthodes, soumis k des règles toujours les mêmes, ramène toujours les mêmes transformations de calcul, faisables dans les cas simples, impossibles k effectuer dans les cas plus compliqués, ces méthodes deviennent radicalement impuissantes, ou plutôt disparaissent tout k fait lorsque les données, au lieu d'être hypothétiques, c'est-a-dire définies plutôt qu'effectivement données, sont, au contraire, fournies en nature, sans, d'ailleurs, qu'on en connaisse la provenance. Les applications pratiques des sciences aux questions d'art et d'industrie présentent une foule d'exemples où se rencontrent les circonstances indiquées dans ce qui vient d'être dit. Ainsi, d'une courbe donnée en nature résultent, théoriquement définies, ses projections

TANG

sur des plans quelconques, ses perspectives sur des surfaces quelconques, des transformées en nombre infini, dont on a, k chaque instant, à rechercher la figure, les propriétés, etc. L'analyse algébrique ne peut rien pour la solution des questions de toutes sortes que- peut comporter une pareille étude ; de nouvelles méthodes y sont indispensables. A côté de la science abstraite, qui a seule rempli les préoccupations de nos prédécjsseurs jusquk ces dernières années, il devait donc naître une science nouvelle dont, au reste, les rudiments se trouvent déjk formés dans divers sens. La question des tangentes fournit dans ce nouvel ordre d'idées un exemple intéressant que nous ne devons pas passer sous silence. Il s'agit de la méthode de Roberval, dont le principe, mal énoncé par son auteur et mal compris par les géomètres qui vinrent immédiatement après lui, a été récemment remis en lumière et heureuse-

TANG

ment appliqué dans des circonstances remarquables. La méthode de Roberval repose sur cette remarque que, si le mouvement du point qui engendre une courbe peut être considéré comme composé de deux mouvements plus simples, dont les vitesses soient connues en direction et, sinon en grandeur absolue, du moins quant k leur proportion, la direction de la tangente k la courbe considérée s'obtiendra en composant, par la règle du parallélogramme, les vitesses des mouvements composants, vitesses dont il suffira de connaître le rapport pour avoir la direction de la diagonale du parallélogramme dont elles formeraient les côtés.

Supposons, par exemple, que d'une courbe AB, donnée en nature et assez bien dessinée pour qu'on lui puisse mener une tangente en un point quelconque, avec une exactitude suffisante, on construise une transformée A'B en prolongeant d'une longueur constante

Fis. S.

arbitraire d'ailleurs, MM, tous les rayons vecteurs menés d'un point O quelconque k cette courbe. Pour continuer la tangente en M' k la courbe A'B', on pourra considérer le mouvement du point qui l'engendrerait comme composé d'un mouvement de rotation autour du point O et d'un mouvement relatif le long du rayon vecteur ; le mouvement du point . qui engendre AB étant décomposé de la même manière, la direction de la tangente, que l'on suppose savoir mener k cette courbe, fera connaître le rapport des vitesses dues aux deux mouvements composant celui de ce second point ; mais les vitesses de ces mouvements étant connues, il sera facile d'en conclure celles des mouvements dont résultera le mouvement du point générateur de A'B' et, par suite, la direction de la tangente k cette courbe A'B'. En effet, soit MT la longueur arbitrairement prise sur la tangente en AB pour représenter la vitesse absolue du point M; en formant le rectangle UMVT, on aura en MV et MU les longueurs représentatives des vitesses des deux mouvements de rotation et de translation se rapportant au point M ; mais les vitesses des différents points d'une droite, dans le mouvement de rotation de cette droite autour d'un point fixe, étant proportionnelles aux distances de ces points au centre de rotation, si la vitesse du mouvement de rotation de M est MV, celle du mouvement de rotation de M' sera M'V, le point V étant déterminé par l'intersection de OV prolongé, avec la parallèle menée de M' k MV ; quant k la vitesse de translation de M' sur le rayon vecteur, elle ne peut être qu'égale k celle de M et de même sens qu'elle, puisque la même longueur MM' se transporte d'une seule pièce le long du rayon ; en prenant donc M'V'= MU et achevant le rectangle U'M'VT', il ne restera qu'à joindre MU pour avoir la tangente.

La solution précédente s'appliquerait identiquement la même si le rayon vecteur, au lieu de tourner autour d'un point fixe, était assujetti seulement k rester tangente k une seconde courbe CD donnée comme la première; parce que ce rayon, assujetti k rouler sur CD, pourrait être considéré comme tournant autour du point de contact.

Il serait aisé de citer un grand nombre d'autres exemples où la même méthode s'appliquerait également bien.

Une autre méthode remplissant le même but, dont le principe a été donné d'abord par Descartes, est fondée sur la théorie du centre instantané de rotation (v. centre). Tout déplacement élémentaire d'une ligure plane dans son plan résulte d'un mouvement de rotation de cette figure autour d'un certain point de ce plan, point qui prend le nom de centre instantané de rotation de la figure; dans ce mouvement, les vitesses de tous les points de la figure sont représentées, en direction, par des perpendiculaires aux rayons qui les joignent au centre, et, en grandeur, par des droites proportionnelles k ces mêmes rayons. H en résulte : 1° qu'il suffit de connaître les directions des vitesses de deux points de la figure pour en déduire la position du centre instantané de rotation, qui doit se trouver au point do rencontre des normales aux trajectoires des deux points en question, et 2° que les mêmes données déterminent le rapport des vitesses de deux nouveaux points quelconques de la figure. Qu;vnt aux directions des vitesses de(tous les points, elles seront connues comme devant être perpendiculaires k celles des rayons menés du centre k ces mêmes points.

Cette théorie fournit, dans un grand nom-

bre d'exemples, une construction simple de la tangente k la courbe décrite par un point mobile suivant des conditions géométriques données. Le cas le plus remarquable est celui des courbes épicyclotdales ou engendrées par le mouvement d un point lié k une courbe roulant sur une autre courbe. Le centre instantané de rotation est alors, comme l'avait remarqué Descartes, le point de contact des deux courbes.

— Tangentes aux courbes imaginaires planes. L'équation générale des tangentes k une courbe f{x,y) = 0 est

Mx,y)

Y-y — Fy¥Ty){X-t)'

dans laquelle y et a; sont les coordonnées du point de contact et Y, X les coordonnées courantes. Si x et y' prennent les valeurs imaginaires

x = * + a y/ — i et

y = a' + ac/="ï

satisfaisant, bien entendu, k l'équation du lieu, l'équation de la tangente, tout calcul fait, se réduit arithmétiqueinent à la formule

Y = (mn /") X -t- p -(- q /~ !

cette équation représente un fuisceau de droites partant du point

Y = mX +p,

0 =iX + }!

celle des droites qui appartient au System C passe au point

*=a + BV/ — 1 y =a' + Be\/~,

et il est facile de voir qu'elle est tangente en ce point k la conjuguée C de la courbe f(x,y) = 0.

Pour le démontrer, nous remarquerons d'abord que la notion de la dérivée d'une fonction doit être étendue; la dérivée d'une fonction , pour une valeur particulière de la variable, représente le rapport des accroissements infiniment petits de la fonction et de la variable, quel que soit l'accroissement de la variable, cest-à-dire qu'il soit réel ou imaginaire, et, s'il est imaginaire, quelle que soit la relation que l'on établisse arbitrairement entre les parties réelle et imaginaire de cet accroissement; si la dérivée de y par rapport k as en un point d'un lieu f(x,y) = o est

m-\-nV-\S cela signifie que l'accroissement infiniment petit de a: étant

Ax = Aa + AB \/ — î ,

l'accroissement correspondant de y sera fourni par l'équation

Ay = Aa' + A&V — 1

= [m + » \/ — l')(A» + A? V/Tr'ï), équation qui se décompose en

A«' = min — nia et

AB' = mAB + nia.

Cela posé, supposons que deux lieux

f(x,y) = 0 et f{x,y) = 0

aient un point commun, réel ou imaginaire [x',y'), et qu'en ce point les dérivées de y par rapport k x soient les mêmes, quelque accroissement infiniment petit qu'on donne kxt k partir de sa valeur x , l'accroissement correspondant de y sera le même sur les deux

TANG

lieux ; ces deux lieux auront donc une infinité de points communs, infiniment voisins du point [x',y']; les deux portions du plan, recouvertes par les points imaginaires fournis par les équations des deux lieux, auront un petit disque commun. Or, les deux équations f(xy) = o

où a; et y forment une solution de f(x,y) = 0, sont précisément dans ce cas : elles admettent 1 une et l'autre la solution X = x, Y = y, et la dérivée de Y p»r rapport a X est la même, soit qu'on la déduise do l'une ou l'autre équation. Les Lieux, que représentent ces équations, ont donc une infinité de points communs infiniment voisins du point x, y. Si donc, la caractéristique du point [xy] étant C, on voulait s'étendre sur l'un ou l'autre lieu, à partir du point [xy], sans quitter les conjuguées C de ces lieux, il faudrait aux équations

Aa' s= mAa — flAft et

Ap' = mAp + nA« ,

qui assujettissent déjà le3 variations des coordonnées, joimlre la condition

mais alors des quatre variables Aa, Ap, An', Ap', il n'y en aurait plus qu'une seule d'arbitraire ; par conséquent, si l'on choisit pour Aa, par exemple, la même valeur dans les deux cas, toutes les autres parties des deux différentielles seront les mêmes de part et d'autre; les deux conjuguées C des deux lieux ont donc un élément commun partant du point z, y; le théorème qu'on avait en vue est, pur suite, complètement établi.

Le disque élémentaire de contact entre deux lieux tangent» change de forme avec la Valeur de la dérivée commune de y par rapport à x. Si la dérivée de y par rapport à a;, en un point [x,y], est m + n/— ï, les éléments du lieu, à partir du point considéré, sont fournis par l'équation

iy - {m + n/^"ï)Ax ; en donnant à Aar, dans cette équation, une valeur infiniment petite quelconque, on en tirera la valeur correspondante de Ay et l'on aura les coordonnées d'un point du lieu infiniment voisin du point [x, y]. Si l'on fait

Ai = Aa + Ap/— 1

ût u

Ay = A«' + A?V— 1, .

on aura deux équations entre les quatre variations Aa, A?, Aa', A'p. Si l'on veut achever de déterminer la direction de l'élément, on

pourra poser —- = C. Cela posé, si Ton con-

sidère le faisceau de droites représentées par l'équation

y=(m + W~l)x, faisceau qui diverge de l'origine, et que l'on fusse dans cette équation

x*=a + tV~l , et

les valeurs finies de a, e, a', p' seront proportionnelles aux valeurs infiniment petites de Aa, Ap, Aa', A£\ Cela signifie que les éléments d'un lieu forment, à partir du point de ce lieu où la dérivée de y par rapport & x est m-\-n]/ — 1, un faisceau divergent de ce point, et que, prolongés, ces éléments formeraient un faisceau identique a celui des droites représentées par l'équation

Ce faisceau, dont on peut toujours réduire l'équation à l'une des formes y = mx et y = ny — \x, par une transformation convenable des coordonnées, est généralement elliptique, c'est-à-dire qu'il se compose habituellement des rayons d une ellipse évanouissante ; cela arrive lorsque m est nul et n quelconque j il devient exceptionnellement circulaire lorsque, m étant toujours nul, n est égal à 1. Mais si le coeflieient angulaire se trouve exceptionnellement réel, le faisceau s'aplatit de telle sorte que tous ses éléments se confondent géométriquement en un seul. En effet, en premier lieu, une équation telle que y = mx ne peut fournir que des droites du système C = m ; mais, d'ailleurs, toutes ces droites, sur le tableau, se confondent avec la droite réelle y = mx.

Il résulte de là que si la dérivée de y par rapport à z en tin point d'un lieu est réelle, tous les éléments du lieu, à partir de ce point, se confondent en un seul, dans la représentation géométrique. Un pareil point ne peut être que sur une limite de la portion du plan recouverte par l'ensemble des points imaginaires du lieu; il appartient à l'une des enveloppes des conjuguées de ce lieu. Ainsi, l'enveloppe des conjuguées d'un lieu

est définie par l'ensemble des équations f(x,y) = 0, -| = réel.

TANG

Le problème de mener une tangente a une courbe f(%,y) = 0 par un point extérieur [a, p], généralisé en raison des notions exprimées dans ce qui précède, peut être étendu de la courbe réelle à ses conjuguées et comporte, par conséquent, comme solutions les tangentes menées par le point donné a la courba réelle et à celles de ses conjuguées pour lesquelles la condition imposée se trouve réalisable ; le même problème pourra d'ailleurs subir encore une nouvelle généralisation, si l'on suppose que le point donné le soit de position seulement, sans que la forme analytique de ses coordonnées soit déterminée. Les équations propres à déterminer les coordonnées du point de contact sont

f(x,y) = 0 et

fx(x>y)

f«kx,V)

de degré m ; mais l'une d'elles peut être, comme on l'a vu, remplacée par une équation de degré m — l, que nous représenterons par

ï(*,y) = 0- Occupons-nous d'abord du cas ou a et p seraient donnés sous forme réelle. Les solutions réelles du système des deux équations f[x,y) = 0 et <i(x,y) = 0 fourniront naturellement les coordonnées des points de contact des tangentes qui pourront être menées du point réel [a, p] à la courbe réelle représentée par l'équation f(x,y) = 0; quant aux solutions imaginaires de ces mêmes équations, elles fourniront lès coordonnées de points remplissant la double condition, non-seuleinent que la tangente menée en chacun d'eux à la conjuguée qui y passe contienne de fait le point [a, p], mais encore que l'équation de cette tangente soit satisfaite par les valeurs x = <t, y = p. C'est pourquoi le nombre des solutions restera limité.

Lorsque la courbe proposée est du second degré, 1 équation i(x,y) = 0 s'abaisse au premier et, par conséquent, représente une droite qui porte, comme on le sait, le nom de corde des contacts (v. ce mot) ; lès solutions du problème sont fournies par les intersections de la courbe proposée avec cette corde des contacts. Cette droite, qui prend aussi le nom de polaire [v. ce mot) du point [a, p], est toujours réelle.quelque paît que l'on place le point réel [a, p] dans le plan de la courbe, c'est-à-dire lors même que le problème est impossible. L'équation du second degré étant en effet représentée par

Ay' + 2Bxy + Cx' + îDy+2Ex + F = o,

on trouve pour équation de la polaire du point [a, p] .

j(Ap-r-Ba-r-D) + x(Bp + C* + E) + Dp + Dp -f- Ea + F = 0.

Il résulte de là : 1<> que, lorsqu'il s'agit d'une courbe du second degré les points de contact des tangentes imaginaires menées d'un point de l'intérieur de cette courbe, au lieu considéré dans son ensemble, appartiennent toujours à une même conjuguée, puisqu'une équation du premier degré à coeflicients réels ne comporte pas de solutions imaginai-

res dont la caractéristique diffère du coefficient angulaire de la droite qu'elle représente; so que cette conjuguée est celle dont les cordes réelles sont conjuguées du diamètre mené du point donné, ou qui touche la courbe réelle aux extrémités de ce diamètre.

Supposons maintenant, pour donner au problème sa plus grande généralité, que le point donné soit connu de position seulement. Ses coordonnées pourront être alors représentées par

î^a'-r-pV-i,

a, p, a', p' n'étant jusque-là assujetties qu'à deux conditions,

a et 6 désignant les coordonnées du point donné géométriquement.

Les équations

ne fourniront pas nécessairement pour chaque système de valeurs de a, p, a', p les coordonnées de points de contact de tangentes menées du point donné à des conjuguées du lieu, mais seulement les coordonnées des points de contact de tangentes appartenant à des faisceaux contenant le point donné. Pour que les tangentes obtenues passent effectivement par le point donné, il faudra que a, p, a', p' remplissent une condition spéciale; cette condition étant remplie, on pourra ensuite achever de déterminer a, p, a' et p', de façon que l'une des solutions doive se rapporter à une conjuguée désignée du lieu.

Supposons, par exemple, que la lieu- proposé soit une ellipse; le mode de décomposition des coordonnées du point géométrique-

ment donné étant choisi, le rapport — fera

p connaître la caractéristique de la conjuguée à laquelle devras'appliquer le problème, puisque cette conjuguée devra appartenir au même systè.i.e que le point donné. Supposons que 1 on ait dirigé l'axe des y de telle manière que l'abscisse du point donné devienne réelle et qu'on ait pris pour axe des x une parallèle au diamètre conjugué des cordes parallèles à l'axe des y ; supposons enfin qu'on ait transporté les axej, parallèlement a eux-mêmes, au centre de la courbe; l'équation de cette courbe aura pris la forme

«V + b'x* = a'b' et les coordonnées du point donné seront «t = «.

a' et %' n'étant encore assujettis qu'à la condition de fournir une somme égale à l'ordonnée, dans le nouveau système d'axes, du point géométriquement donné. Les coordonnées des points de contact fournies par le ealuul seront

TANG

mm a,b'a * U' + P'/- l)V(q V 4- pyriV 4. JV n,y «'(«' + fV^J' + iv

a'U'-r-jrV-O' + ftV

il ne restera plus qu'à déterminer a' et p' sous la condition que x soit réel. Or, on voit immédiatement que cette condition donne soit p' = o, soit J m o. Si l'on fait p' nul, le point donné redevient réel et la solution s'applique soit à l'ellipse elle-même, si le point donné est en dehors de cette courbe, soit, dans le cas contraire, à celle de ses conjuguées qui la touche aux extrémités du diamètre passant par le point donné. Si l'on fait a! nul, l'abscisse du point de contact devient

, o'adt pWp" — b'a> + a'b'

X = or — ■ - - .

Si elle est réelle, c'est-à-dire si

est positif, la solution appartiendra bien effectivement à la conjuguée que l'on voulait considérer, et il est remarquable que les deux points de contact fournis par le calcul se trouveront tous deux sur cette même conjuguée, ce qui n'arriverait pas en général, c'est-à-dire si l'on n'imposait pas aux coordonnées du point donné la condition de fournir un point de même système que le point de contact. Si a*p" — 4V-f a'b1 est négatif, le problème sera impossible pour la conjuguée considérée, parce que le point donné sera dans son intérieur; mais il est à remarquer que, dans ce cas, la solution doublement imaginaire à laquelle on sera parvenu fournira les points de contact des tangentes menées du point donné à la conjuguée de la courbe proposée, qui touchera cette conjuguée aux extrémités de celui de ses diamètres qui passe par le point donné.

Les mêmes principes nous serviront à

compléter la solution du problème des tangentes parallèles à une direction donnée et à interpréter les résultats obtenus, dans tous les cas. Le problème pourra encore être étendu de la courbe réelle à ses conjuguées et comporter,' par conséquent, comme solutions, les tangentes menées parallèlement à la droite donnée, à la courbe réelle et à celles de ses conjuguées pour lesquelles la condition imposée sera réalisable ; le problème pourra ensuite subir une nouvelle généralisation, si l'on suppose que la direction donnée soit fournie géométriquement, sans que la forme analytique du coefficient angulaire de cette direction soit déterminée à l'avance. En désignant par m le coefficient angulaire de la direction donnée, les équations propres à déterminer les coordonnées du point de contact sont

rjx.y)

Occupons-nous d'abord du cas où n» serait donné sous forme réelle. Les solutions réelles du système des équations

f(x,y) = 0 et

fourniront les coordonnées des points de contact des tangentes qui pourront être menées parallèlement à la direction y = mx à la courbe réelle, représentée par l'équation

quant aux solutions imaginaires de ces mêmes équations, elles fourniront les points remplissant la double condition non-seulement que la tangente menée en chacun d'eux

soit de fait parallèle à y = mx, mais encore

f que le coefficient angulaire — — ait idonti-

quement la valeur m.

Le coefficient angulaire m étant réel, lea points de contact trouvés appartiendront à l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu. Ainsi, le problème se sera trouvé être de mener parallèlement à une direction donnée y = mx des tangentes à l'enveloppe totale des conjuguées du lieu.

Supposons, par exemple, que la courbe proposée soit une hyperbole, qu'on ait pris pour axe des x le diamètre parallèle à la direction donnée et pour axe des y le diamètre conjugué ; l'équation de la courbe sera

a"y'— à"x' = — a"b'1 ou

selon que l'axe des x sera transverse ou non transverse, les tangentes seront, dans le premier cas,

s y = ±4'V/=TlF et dans le second y = b'; quant aux coordonnées des points de contact, elles seront

y = ±oV~l, x = 0 ou

Supposons maintenant que la direction donnée soit fournie géométriquement, le coefficient angulaire de cette direction pourra être représenté par

m et n n'étant assujettis jusque-là qu'à la seule condition

tn—n — c

a désignant le coefficient angulaire réel de ta droite donnée et c la caractéristique de celle des droites du faisceau

qui devra être parallèle à cette droite donnée. Les équations

f{x,y) = o (m + n r/^ï)/r„ + fx = 0

ne fourniront pas nécessairement, pour chaque système de valeurs de m et n, les coordonnées de points de contact de tangentes effectivement parallèles à la direction donnée, mais seulement les coordonnées des points de contact de tangentes appartenant à des faisceaux dont les droites de caractéristique c soient parallèles àla direction donnée. Pour que les tangentes obtenues soient parallèles à la direction donnée, il faudra que les points de contact appartiennent au système c. Cette condition, jointe à

déterminera m et n en fonction de e; on pourra ensuite faire varier c de manière à obtenir successivement toutes les tangentes parallèles à la direction donnée, que l'on pourrait mener à toutes les conjuguées du lieu proposé.

Supposons, par exemple, que le lieu proposé soit une ellipse et donnons-nous d'avance la conjuguée à laquelle devra s'appliquer la solution. Si nous prenons pour axes les diamètres conjugués communs à la courbe réelle et à cette conjuguée, la caractéristique c sera infinie et la première équation de condition entre m et n se réduira à m + n= a',

e' désignant la nouvelle valeur du coefficient angulaire de la droite donnée. Les coordonnées des points de contact seront

a"(m + ntf—\) y a"{m + H\/~iy + b"

pour que x soit réel, il faudra que « = 0 ou m = o-, duns la première hypothèse, les fniigentes auront été menées à l'ellipse ellemême; dans la seconde, elles appartiendront à la conjuguée c — » si

est négatif, car, dans le cas contraire, on aurait obtenu les points de contact des tangen les menées, parallèlement à la droite donnée à la conjuguée c = 0.

La question générale des tangentes parai lèles à une direction donnée, à une courbe

ou à ses conjuguées, peut être traitée d'une autre manière. Si 1 on exprime la couditior pour que la droite

y = ex + d rencontre la courbe

fe,y) = 0 en deux points confondus en un seul, on trouve une condition

ïM) = 0, qui détermine d, lorsque c est donne. Sup-

posons que cette équation poisse se résoudre par rapport à d et qu'on en tire

l équation

y = rx + <!/(c)

représentera une tangente k la courbe

ou à l'une de ses conjuguées, quel que soit c. Si on remplace c par

m + ny^T,

on aura sous la forme générale

l'équation générale de toutes les tangentes imaginables à la courbe proposée et à toutes ses conjuguées. Si l'on veut que la solution se rapporte à l'une des conjuguées en particulier, on aura à exprimer, par une condition à remplir par m et », que le point de contact appartient effectivement a la conjuguée désignée.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'une ellipse

d,j/'-l-tV = a'i(,I

l'équation générale des tangentes sera

:V/ a'(m+nv'— l^ + A'-

Pour que l'abscisse du point de contact soit réelle, il faut, comme on l'a déjà vu, que n ou «i soit nul ; si ri = 0, on retrouve l'équation générale des tangentes a l'ellipse ellemême; si m = 0, on a l'équation générale des tangentes à sa conjuguée c = « :

y = n |Clai±l'-(i,n,4- 6'.

— Tangentes aux courbes à double courbure. Les équations d'une droite assujettie & passer par deux points sont

»-/-fy!(«-*o.

pourvu toutefois que ces deux points appartiennent analytiquement à un même système défini par ses deux caractéristiques, car autrement ces équations le plus souvent ne fourniraient qu'une suite de points isolés. Pour que cette droite devienne tangente a une courbe

f(x,z) = o Afe.2) = o.

en un point x',y',z', réel ou iinaginaire,|il~ suffira que Ton remplace dans ses équations x",y'',z" par les coordonnées d'un point infiniment voisin du point x',y\z', c'est-à-dire

—. t. et

par

— Tangentes aux surfaces courbes. Une tangente a une surface passe par deux points infiniment voisins de cette surface; c'est une sécante dont deux points de rencontre sont venus se confondre en un seul. Une tangente à une courbe tracée sur une surface est tangente à cette BUrface, et réciproquement une tangente à une surface est tangente à toutes les courbes suivant lesquelles cette surface serait coupée par des plans passant par sa direction.

Soit

f(x, y, z) = 0, l'équation d'une surface; les différentielles des coordonnées x, y, z d'un point de cette surface sont liées entre elles par l'équation

dx : x dy ■ s ' dz les coefficients angulaires

£ et -y dz du ,

de la droite passant par les deux points x,y,z et x + dx, y + dy, z + dz sont donc liés entre eux parla condition

d£dx dfdy d£ss() dx dz dy dz dz~ '

par suite, les équations d'une tangente quelconque à la surface au point [x, y, s] seront

m et p devant satisfaire à la seule condition

mHï + Px.n-dz~°-

Si le point x, y, z appartient à une conjuguée c, c' de la surface, la droite représentée par les mêmes équations dans le système c, c' sera tangente à cette conjuguée au point x, y, z. Les coefficients de ces équations rempliront d'eux-mêmes la conditiou nécessaire pour qu'elles représentent effectivement des suites continues de points appartenant à un même système, parce que le point

[x-\-dx, y+dy, r-f-dt]

TANG

pourra être pris dans le système auquel appartient le puint [x, y, z~).

Si l'on propose de même une tangente à une surface

par un point extérieur [a, b, c], les équations propres a déterminer les coordonnées du point de contact seront

df df df

dx r dy dz

qui donnent simplement

a — x df b — y df df c — z dx c — z dy dz~

les points de contact formeront donc l'intersection des deux surfaces représentées par les équations

f{x,y,z) = 0 et

df . df , df df . .df , df

« j+S-r- + * j *za-r~-\-b-r + e —.

dx^"dy dz dx^ rf</ dz

Ces deux équations seraient de même degré, m par exemple; mais on pourra remplacer l'une d'elles par une autre de degré m — 1, parce que les termes de plus haut degré de f(x, y,z) seront reproduits dans

df . df , df

Tx+yjy + 'dz

avec le multiplicateur m. Nous désignerons dans ce qui va suivre par <j(x, y, z) l'équation de degré m — 1 qu'il faudrait joindre à

f{x, y,z) = 0 pour représenter le lieu des points de contact des tangentes menées du point [a, b, c] à la surface

L'intersection de deux surfaces, en y comprenant les points représentés par les solutions imaginaires communes a leurs deux équations, forme une surface dont, en général, les points de mêmes caractéristiques sont en nombre limité. La solution analytique ne fournira donc pas, comme on aurait pu le penser, les courbes de contact des cônes, ayant pour sommet le point donné, qu'on pourrait circonscrire tant k la surface proposée qu'à ses différentes conjuguées. Elle ne donnera de chaque conjuguée de la surface proposée que les quelques points remplissant la double condition que les plans tangents menés en ces points passent effectivement au point donné et que les coordonnées de ce point vérifient les équations de ces plans tangents.

Lorsque la surface proposée sera du second degré, l'équation

sera du premier degré

Mx + Ny + Ps-f Q = 0.

Une pareille équation n'admet que des solutions où lus rapports c et c' des parties imaginaires de x et de z et de y et de z satisfassent à la condition

Mc + Nc'+P-O.

Les points de contact des tangentes imaginaires menées du point donné se trouveront donc exclusivement sur les conjuguées delà surface proposée dont les caractéristiques rempliront cette condition. Mais, par compensation, les' points de contact appartenant à un même système c,c' seront en nombre infini et formeront une courbe qui ne sera autre que l'intersection du même plan

Mi + Ny + Pz -f Q = 0

avec la conjuguée c, c' de la surface. Toutes ces courbes de contact des cônes circonscrits aux conjuguées dont les caractéristiques rempliront la condition

Me + Ne' + P = o

seront d'ailleurs les conjuguées, dans son plan

Mx + Ny + P^-f Q = 0,

de la courbe de contact du cône circonscrit à la surface réelle elle-même. En effet, si l'on prenait pour plan des xy, par exemple, le plan de la courba de contact avec la surface réelle, les points imaginaires formant les courbes de contact avec les conjuguées c,c' ne seraient plus déterminés que par la même équation qui représenterait la première courbe.

On pourrait généraliser le problème en attribuant des coordonnées imaginaires

au point [a,b,c] supposé donné de position

seulement; a, p, a', p', a" et p" ne seraient

assujettis paria qu'aux trois conditions

les équations du problème seraient comme plus naut

ftx,y,z) = 0 et f[x,y,z), cette dernière contenant

«-f-P^i, a'-f-ji'yCTi et a"+a'V^T au lieu de a, b et c. Si l'on voulait que le

TANG

point de contact appartint a une conjuguée e,e' de la surface, et qu'en même temps la tangente menée en ce point passât effectivement au point donné, il faudrait u' abord faire

L „ c et 4 = c,' p" p" '

et exprimer, en outre, la condition poar que le point de contact appartint au système c, c\ Les deux équations propres a exprimer la dernière condition se réduiraient à une seule, parce que, les équations de la tangente étant déjà satisfaites par les coordonnées d'un point appartenant au système c,c', celles d'un autre point, ayant sa première caractéristique égale à c, ne pourraient pas les vérifier sans que la seconde caractéristique de cet autre point fût c'; on n'aurait donc a exprimer entre a, B, a', p', a" et ft" que trois nouvelles conditions qui achèveraient de les déterminer ; cela fait, on aurait obtenu les équations propres k représenter la courbe de contact du cône circonscrit à la conjuguée c, c? et ayant son sommet au point donné.

Soit proposé, par exemple, de déterminer le cône ayant son sommet en un point [a,p,t] qui serait circonscrit à la conjuguée à abscisses et ordonnées réelles de l'ellipsoïde

a' r6,Tc'

L'abscisse et l'ordonnée du sommet donné ne devront être introduites que sous forme réelle ; ce seront donc o et p ; quant à l'ordonnée parallèle aux z, elle sera provisoirement représentée par y' + y" \/ — ] , j' et -j'' devant donner pour somme y. Les équations propres a déterminer les coordonnées de l'un des points de contact seront

b' et

2X' 21/1 tz'

mais la seconde pourrra être remplacée par

•S + 'P + tï' + T"^»)?-1-0!

x et y devant être réels et z imaginaire sans partie réelle, cette seconde équation se décomposera en

ce qui montre que f' devra être nul. Le sommet du cône devra donc avoir pour coordonnées

«, P et r^^* le plan de la courbe de contact sera alors

La projection de cette courbe sur le plan des xy aura pour équation

+ TÏ+7.-1

Le problème de mener une tangente k une surface parallèlement à une droite donnée peut être considéré comme un cas particulier du précédent. Soient

z=m; et y = pz

les équations de la parallèle à la direction donnée, menée par 1 origine -, les équations propres à déterminer les coordonnées du point de contact seront '

f(x,y,z) = o et

l'ensemble de ces deux équations fournira en .général, pour la surface réelle, une courbe continue ; mais il ne donnera de chaque conjuguée que les quelques points remplissant la double condition, non-seulement que les plans tangents menés en ces points soient effectivement parallèles à la direction donnée, mais encore que les coefficients de l'équation de ce plan remplissent la condition algébrique de parallélisme.

Lorsque la surface proposée sera du second degré, l'équation

df . df . df

dx dy ' dz sera du premier degré

Mx 4- Ny + Pz + Q = 0.

Elle n'admettra que des solutions où les rapports c et c' des parties imaginaires de x et de z et de y et de z satisfassent à la condition

Mc-f Nc'+P = 0;

les points de contact des tangentes imaginaires menées parallèlement à la direction donnée se trouveront donc exclusivement sur les conjuguées de la surface proposée dont les caractéristiques rempliront Cette condition; mais les points de contact appartenant a une même conjuguée formeront une courbe

TANG

continue. Toutes les courbe3 de contact des

cylindres circonscrits aux conjuguées dont

les caractéristiques rempliront la condition

Me + Ne' -j- P = 0

seront d'ailleurs les conjuguées de la courbe de contact du cylindre circonscrit à la surface réelle.

On pourrait généraliser le problème en attribuant des coefficients imaginaires

m + nlZ—l et /> + ?/— I

k la direction donnée. Les équations du problème seraient, comme plus haut,

f{x,y,z) = 0 • et

m, n, p et q seraient .déjà assujettis a deux conditions; on achèverait de les déterminer en exprimant que le point de contact dût appartenir à, une conjuguée désignée.

Enfin, si l'on avait déterminé les équations générales des tangentes k une surface

f(x,y,z) = 0, mises sous la forme

x m mz -f <?{»', p) y= ps+*(m»P)i les équations générales des tangentes aux conjuguées de la même surface seraient

x = (m'-\-n /— l)r + T(m + n yCl jP + g |/Z7) et

y^ip + qV^z

+ ■i {m + n V^Lp ~+~qV— l).

Deux conditions particulières entre m, h, p et q pourraient être adjointes à ces équations pour exprimer que les points de contact appartinssent à une conjuguée désignée. — Trigonom. La tangente d'un angle A est le rapport de la perpendiculaire abaissée

Fia- 3.

d'un point de l'un des côtés de cet angle, sur l'autre, à la distance du sommet au pied de la perpendiculaire

tangA=-.

Le sinus et le cosinus de l'angle A sont BC AC

AB Êt ÂB'

BC dont le rapport est — — ; il résulte de ce rnp-

AO prochement la formule générale

sin A

tang A =

cos A

La tangente part de zéro en même temps que l'angle et croit d'abord avec lui ; elle devient

infinie lorsque l'angle parvient à la valeur -;

elle change alors de signe, parce que la projection AC du rayon mobile AB change de sens et repart de la valeur — » ; elle croit

de — a> à 0 lorsque l'angle croît de - à ■;

elle redevient positive dans le troisième quadrant, paroe que la projetante CB change de sens; elle croit alors de o à -\- » pendant

Sic que l'angle augmente de n à — ; elle change

alors de nouveau de signe, parce que la projection AC reprend sa direction primitive et croit de — » à 0 pendant que l'angle croît

3ic de — à Sic. Au delà de 2n, la tangente repasse périodiquement par les mêmes valeurs. Au reste, l'analyse précédente montre que la période de la tangente n'est pas 2n, mais seulement «, car si l'angle augmente de it la projetante BC et la projection AC, ou, ce qui revient uu même, le sinus et le cosinus changent de signes sans changer de valeurs, de sorte que la tangente reprend à la fois son signe primitif et sa vuleur primitive.

Des formules •

sin a tang a =

sin' o-J-cos* d= i,

on déduit aisément

cos a = '

± tang a

</l + tang" a

V' 1 + tang1 a' qui servent à exprimer le sinus et le cosinus

TANG

d'un angle en fonction de la tan/fente de cet angle. Le sinus et le cosinus portent le double signe, parce qu'ils changent de signes lorsqiîe l'angle augmente de n, tandis que la tangente n'en change pas, de Sorte qu'à une tangente donnée correspondent deux systèmes de valeurs du sinus et du cosinus.

La tangente de la somme de deux angles ^'exprime aisément au moyen des tangentes de ces angles. Soient a et "o les deux angles donnés

, sin (a + A)

tang (o +• b) = ■ 7- , -A

0 l cos {a -\- b)

sin a cos 6 -f- cos a sin b

— cos a cos 6 — sin a sin b '

en divisant les deux termes de la fraction par cos a cos b, il vient, réductions faites,

, , . M tang « + tang b

tang [a + b) = — — ■ , — , .

D 1 — tang a tang 6

Si dans la formule précédente on suppose b égal à a, iLen résulte

2 tang 0 tang 2a =

tans a

On peut tirer de cette relation entre les tangentes de deux angles, l'un double de l'autre, la tangente de l'angle simple en fonc-

tion de la tangente de l'angle double. Cette relation, en y remplaçant a par ^a, devient

2 tan»

tan" a =

l — tang1 -a et, si on résout l'équation qu'elle traduit par rapport à fang -a, on trouve

. 1 — l±^l +■ tang' a

tang -as - — ! 2 — ,

2 tang a

On trouve, pour l'inconnue tang - a, deux

valeurs, parce que, à la tangente donnée tang a correspondent une infinité d'ares en progression arithmétique ayant pour raison u, et que les moitiés de ces arcs forment, par suite, une autre progression arithmétique ayant pour raison -. De deux en deux,

ils diffèrent de * et ont, par conséquent, même tangente.

La formule de Moivre fournit aisément la valeur de la tangente d'un multiple entier quelconque (l'un arc en fonction de la tangente de cet arc :

sin ma = m cos

cosm — 3a sin* a -\-,

cos i?i a = cos7" a -

11 en résulte

m(m—ï) __, . . . m(m— l)(m — 2) (m — 3) „ , . , ■— eosm ia sin* a-\ ~ - ' cos>m~ *asin*a +

a sin a —

tang ma = m (m

sin ma

cos ma

cosm — 3n s|n ai j

m(m— 1) „, o . , , «itin — i)(m — 2)fm — 3) „ , 1.8 -- 1.2.3.4

ou, en divisant les deux termes de lavfraction par cos™ a, tang ma =

m{m — \)[m — 2) m tang a i- — ^ tang' a + .

1 i — - - tang1 « 4 1 '-± '-± — — ' tan:»1 a — ...

La tangente d'un angle imaginaire (y-)-'Jir/ — tang [<f + J.r/ — 1) =

La tangente de la partie réelle ^ est cornue par ce qui précède ; quant à celle de la partie

imaginaire + </ — 1, elle est définie par le rapport

sin A y — 1

cos 4> \l— 1

Le sinus est 'imaginaire sans partie réelle et le cosinus réel ; ces deux quantités sont les coordonnées du point de l'hyperbole équilatère

y* — x* = — 1 déterminé par la condition que le double du secteur compris entre le rayon mené à ce point et le rayon couché suivant l'axe transverse ait pour mesure de sa surface +. La tangente d'un angle imaginaire $ \/ — 1 varie de 0 \/ — 1 à » / — 1 lorsque ty varie de 0 à <», l'inclinaison variant de 0 à 45<>.

TANGENTIEI,, ELLE adj. (tan-jan-si-èl, è-!e — rad. tangent). Géom. Qui est tangent; qui a rapport à la tangence ou aux tangentes : Ligne tangkntielle. Point tangentiel. Théorie tangkntiellk, || Coordonnées tanguntielles, Paramètres variables qui déterminent, dans un système particulier d'analyse, la position des tangentes et des plans tangents par lesquels on définit les courbes et les surfaces.

— Mécan. Force tangentielle, Force exercée dans le sens de la tangente à une courbe.

— Teohn. Frottement tangentiel, Rodage.

TANGENT1ELLEMENT adj. (tan-jan-si-èle-man — rad. tangentiel). D'une façon tangentielle : Tangentiellement à ce tambour sont placés tes six cylindres imprimeurs, gui tournent également. (L. Figuier.)

TANGER, et plus correctement TANGÉH.

anciennement Tingis, ville et port de l'empire de Maroc, dans le royaume et à 192 kilom. de Feî, à 94 kilom. de Cadix, à 475 kilom. d'Oran, près d'unebaie de son nom, à l'extrémité O. du détroit de Gibrultar, par 35» 46' 56" de latit. N. et 8° 9' 5" de iongit. O. ; 20,000 hab. Le port est petit, peu profond et exposé au vent du N.-E., mais la rade est très-vaste et la meilleure de tout le Maroc. C'est la seule où une flotte de vaisseaux de guerre puisse mouiller. On a remarqué que cette rade s ensable chaque année. Tanger fait un commerce très-actif avec Gibraltar, qui en tire les principaux articles de sa consommation, ainsi qu'avec Tarifa, situé en face. Les principaux articles, d'exportation sont les.bœufs et leurs cuirs, les peaux de mouton et de chèvre, les laines, la cire, les dattes, etc. Le commerce d'importation a surtout pour objet les tissus de coton et de laine, le café, le sucre, le thé, le fer, le cuivre, la soie, les épices et la droguerie. Nous empruntons à M. Germond de Lavigne l'intéressante description qui suit: «Lesmai-

T) est

tang y + tang ■l/V — 1

1 — tang y tang ijV — 1

sons de Tanger n'ont généralement sur la rue d'autre ouverture que la porte; mais elles offrent, en revanche, à la curiosité, les ressources de Yazotea, c'est-à-dire de la terrasse entourée de murs qui couronne l'édifice. Si le hasard vous permet de pénétrer dans une maison plus élevée que ses voisines , vous pouvez de là, par-dessus la clôture de cette cour d'en haut, apercevoir quelquefois une Mauresque traversant son patio, sans voile, parce qu'elle se croit à l'abri des regards, ou une juive étendant son linge au soleil, ou les hommes assis à l'ombre, causant gravement en fumant leur pipa, ou bien se promenant lentement le soir en respirant la brise de l'Océan. On monte sur l'azoteà, le soir, pour répondre à l'invitation du muezzin, qui invite les croyants à la prière.

• Tanger explique Cordoue, Tolède , Grenade, Mtircie et toutes les villes arabes de l'Espagne, et c'est à ce point de vue qu'une excursion à Tanger est l'utile complément d'un voyage dans la Péninsule.

» Les rues de Tanger sont très-accidentées, étroites, tortueuses, nullement pavées et, en revanche, couvertes de branches qui dissimulent mal des trous énonnes. On n'y rencontre jamais une voiture, rarement un cheval; mais, le soir, il y circule des troupes d'ânes qu'on laisse aller par la ville eu toute liberté. Tout y est à faire au point de vue de la salubrité publique. Deux de ces rues seulement portent un nom: c'est la calte de! Teatro et. Washington street.

• Le Zocco est la place du marché. Cette place présente, le dimanche et le jeudi, une curieuse animation. Le jeudi soir vient défiler au Zocco le cortège des noces arabes; la. femme, enveloppée de voiles, est promenée dans un palanquin.

> Les femmes de Tanger sont invisibles. Celles qui se respectent ne quittent jamais l'habitation, où elles n'échappent pas toujours aux indiscrétions de l'azotéa. Celles que les nécessités de la vie forcent à sortir sont complètement enveloppées d'un drap blanc dont les replis sont dirigés à hauteur de la ligure, de manière à permettre à la femme de voir et de se conduire sans être vue. La rencontre de ces fantômes pique la curiosité du voyageur, mais il serait dangereux pour lui de «"'arrêter et de regarder avec trop d'affectation. Les femmes du peuple portent derrière le dos, leurs enfants et leurs provisions.

• Les femmes arabes ont la taille épaisse ; leur teint, très-blanc, est un peu animé par quelques tatouages, dont le nombre sur la lèvre inférieure indique, assure-t-on, le nombre de maris qu'elles ont eus. Elles se peignent les mains avec une solution de henné et à l'aide de patrons découpés qui figurent des arabesques.

TANG

» On doit voir à Tanger la Kasbah, qui se trouve à droite du Zocco, en venant de la mer. Le palais du gouverneur est protégé par un corps de garde, où quelques soldats, beaux hommes, magnifiquement habillés, veillent sur la sûreté du pacha. A. côté du palais se trouvent la salle de justice et la prison, dont la porte grillée ouvre Sur la place. Le regard, pénétrant par cette grille, plonge dans une salle basse, humide, étroite et obscure, où quelques malheureux vivent.dans la saleté. »

Des fortifications , peu intéressantes par elles-mêmes, on découvre un magnifique point de vue. Signalons aussi les ruines du vieux Tanger, au fond de la baie, les jardins du consul de Suède et l'abattoir.

Tanger est une ville très-ancienne ; les Romains l'appelaient Tingis. Au temps d'Auguste, c'était ilne ville libre. Elle devint, plus tard, colonie romaine. Elle fut prise successivement par les Vandales, les Arabes, les Byzantins et les Maures. En 1475, elle tomba au pouvoir des Portugais. Elle fut donnée en dot à l'infante lors deson mariageavecCharlesIt, roi d'Angleterre. Les Maures la reprirent encore plus tard. En 1790, elle fut bombardée par une flotte espagnole. Le 6 août 1844, une flotte française, commandée par le prince de Joiuville, lui fit subir un nouveau bombardement, à la suite duquel la paix fut rétablie, le 16 novembre, entre la France et le Maroc.

Tanger (BOMBARDEMENT DE). Déjà bombardés en 1790 par une flotte espagnole, Tanger fut, en 1844, à l'occasion des affaires du Maroc (v. MoC'Ador), l'objet d'un bombardement plus terrible et dont la ville garde encore ia souvenir. Devant le mauvais vouloir du gouvernement marocain, qui refusait de désarmer et menaçait notre colonie d'Alger par des armements continuels, ordre fut don né au prince de Joinville de commencer les hostilités sur les côtes. Le 5 août 1844, la résolution ayant été formée d'attaquer Tanger, toutes les dispositions furent prises. Le 6, à la pointe du jour, les bateaux à vapeur le Véloce, le Pluton, le Gassendi, le Phare, le Jiubis et le revinrent, par un temps de calme plat, s'amarrer le long du bord du Jemmapes, du Suffren, du Triton, de la Belle-Poule et des bricks le Canard et VArgus, a.fin de les conduire au poste d'embossage qui leur avait été désigné. Tous les mouvements de la flotte s'étant heureusement effectués, sans que l'eijnemi y mit opposition, le feu fut ouvert vers huit heures et demie. L'ennemi y répondit d'abord vigoureusement. Néanmoins, au bout d'un quart d'heure, les canonnières arabes avaient déserté leurs batteries, dont les parapets étaient renversés par un tir d'une justesse remarquable. Deux batteries seulement prolongèrent la défense de la place : une, casematée, située à la partie supérieure du fort de la Marine, et celle de la Casbah. Le Su/fren dirigea aussitôt son feu sur la batterie casmatée; le Jemmapes en fit autant contre la Casbah, et, à dix heures du matin, tout était fini. Le feu avait été mis, en outre, k plusieurs endroits par les fusées de guerre lancées pur le vapeur le Jiubis, mais le quartier habité par les Européens avait été scrupuleusement respecté. Les pertes des Français ne dépassèrent pas 3 morts et 17 blessés; les navires ne reçurent que des avaries sans gravilé. On porta à 150 tués et 300 blessés les pertes de l'ennemi. L'affaire terminée, les bateaux à vapeur remorquèrent les navires à voiles et, le 11 août, l'escadre était rassemblée devant Mogador.

TANGERMUNDE, ville de Prusse, province de Saxe, régence et à 47 kilom. de Magdebourg, près du confluent de l'Elbe et de la petite rivière de Tanger ; 4,500 hab. Fabriques Je draps et de toiles, brasseries, distilleries, corderies; navigation et commerce de blé. Elle est ceinte de murailles percées de trois portes et entourées de faubourgs. On y remarque l'église paroissiale luthérienne , deux hôpitaux et un vieux château, ancienne résidence des margraves de Brandebourg.

TANGHEN s. m. V. tanghin.

TANGHIN, TANGHUIN OU TANGHEN s.

m. (tan-gain). Bot. Syn. de tanghinie. ti Fruit de la tanghinie.

TANGHINE ou THANGUINE (tan-ghi-ne — rad. tanghin). Chim. Principe vénéneux extrait du tanghin ou fruit de la tanghinie.

TANGHINIE OU TANGHUINIE s. f. (tanghi-nî — de uoa tanghiitg, nom madécasse du végétal). Cot. Genre d'arbres, de la famille des apocynées, tribu des ophiuxylées, dont l'espèce tjpe croît à Madagascar : La takghiniu vénéneuse est un grand arbre fort élégant. (Th. de Berneaud.)

— Encycl. L'espèce unique de ce genre se trouve à Madagascar : c'est la tanghinie vénéneuse (tanghina venenifera de Poiret et de Du Petit-Thouars). Cet arbre est grand, fort élégant et aussi dangereux qu'il plaît à l'œil par son port gracieux et ses rameaux redressés. Les feuilles sont touffueset d'un très-beau vert ; ses fleurs, terminales et disposées en panicules, laissent voir le long godet de leurs corolles, que remplacent plus tard deux drupes pyriformes acuminés qui renferment une amande formée de deux lobes distincts, d'une couleur blanchâtre ou rosée et d'une saveur auière. Cette amande est très-vénéneuse.

Elle renferme un principe (glucoside ?) auquel Ollivier et Henry fils ont donné le nom de

TANG

taniihine, eristallisable , verdissant par les acides. C'est à cette substance que le fruit doit son action toxique; une seule de ces amandes suffirait pour faire périr plusieurs personnes. Ce poison a longtemps servi, à Madagascar, dans les épreuves judiciaires, et constituait le principal, on pourrait dire l'unique moyen de gouvernement. Il suffisait d'être suspect au prince ou à ses agents pour être accusé des plus grands crimes et être soumis à l'épreuve du tang/nn. L'accusé buvait le fatal breuvage; s'il lu rejetait, il était réputé innocent; dans le cas contraire, il expirait dans d'horribles convulsions ; mais comme il est avec la justice madécasse des accommodements, on s'arrangeait de manière a subsituer, quand l'accusé était riche et puissant, une substance inorfensive au redoutable tanghin. il n'est pas bien sûr que cette monstrueuse épreuve soit abolis aujourd'hui.

Le bois de la tanghinie est dur, veiné, propre aux ouvrages de menuiserie et de marqueterie. Cet arbre est le cerbère mttnghas de Linné. Jussieu l'avait réuni au genre oclirosie.

TANGHDIN s. m. V. TANGHIN.

TANGHUINE S. f. V. TANGHVKK.

TANGHUINIE S. f. V. TANGHLMB.

TAKGIBIL1TÉ S. f. (tan-ji-bi-li-té — rad. tangible). Qualité de ce qui est tangible.

TANGIBLE adj. (tan-ji-ble — latin tangibilis ; de tangere, toucher). Qui peut être touché, qui impressionne le sens du tact : Lorsque nous voulons étudier tes principes impondérables, nous trouvons moyen de les faire agir sur des corps tangibles, (Biot.)

— Fig. Sensible, physique, matériel : Il y a toujours dans l'homme une réalité tangible, suffisante pour piquer ma curiosité, tandis que la réalité tangible d'un mauvais Hure n'est Que du papier noirci, (H. Castille.) La propriété est le signe tangible de notre domination sur te monde matériel. (Mich. -Cbev.)

TANG1ER-ÏSLAND, groupe d'îles des Etats- Unis (Maryland), situé dans la Chesapeake, vis-à-vis de l'embouchure du Potomac, par 38° 12' de latit. N. et 76" 12' de Iongit. O.

TANG1PAO, rivière des Etats-Unis {Louisiane). Elle se jette dans le lac de Pontchartrain, à 16 ki>om. S.-O. de Madisonville, après un cours de 160 kilom.

TANGNOU, chaîne de montagnes de la Chine. Elle s'élève dans la partie N.-Ô de la Mongolie, se détache de l'Altaï, se dirige du N.-O. au S.-E. et se réunit aux monts Ourghan-Dagh, près des sources de l'Ongouin. Sa longueur est d'environ 1,000 kilom. Une partie porte le nom de Orbeghircola.

TANGON s. m. (tan-gon). Mar. Nom donné à des espars placés en dehors d'un bâtiment, par le travers du mât de misaine, et servant à amarrer les bosses d'embarcations à l'eau, à établir une bonnette basse ou une voile de fortune.

TANGOCERRA, rivière de la capitainerie générale du Mozambique. Elle descend des montagnes Noires, coule à l'E. et se jette dans le canal de Mozambique, vis-à-vis d'Oibo, après un cours d'environ 150 kilom.

TAISCOUT ou TANGUTU, en chinois Bo-si, ancien empire de l'Asie orientale, partie N.-O. de la Chine et portion du Thibet, c'est-à-dire des pays situés entre le Koukhou-Noor et les sources du Gange; capitale Sé-tchéou. Cette contrée est couverte de bons pâturages qui nourrissent de nombreux troupeaux. Ses habitants, la plupart kalmouks, ont ieurs propres kans, vassaux des Chinois qui ont fondé dans le Tangout plusieurs villes et forts où ils tiennent garnison. Quelques ethnographes pi étendent retrouver le berceau desTurtares dans le Tangout du moyen âge,qui était beaucoup plus étendu que le Tangout actuel.

TANGU s. m. (tan-gu). Syn. de tangue.

TANGUE s. f. (tan-ghe. — On a fait venir ce mot de l'augl. dring, fumier; mais cetto dérivation est peu probable). Agric. Dépôts terreux, qu'on ramasse à l'embouchure des fleuves, pour les employer comme engrais : Les laboureurs des cotes de la mer distinguent quatre espèces de tangue. (V. de Bomare.)

— Encycl. La tangue est un dépôt que l'on rencontre ordinairement aus embouchures des cours d'eau dans des anses peu profondes. Les principales matières qui entrent dans la composition de ce corps sont le carbonate de chaux, le quartz, le mica, le feldspath et l'argile. Toutes ces substances sont dans un état de grande division et mélangées intimement. Pendant longtemps on a cru que la tangue était un dépôt fluviatile; mais des études plus précises n'ont pas permis de maintenir cette opinion. La partie du dépôt qui est amenée par les courants d'eau douce u été reconnue très-faible. Presque tous les corps qui entrent dans la composition de la tangue sont tenus en suspension dans les eaux de la mer et déposés dans les anses qui sont aux embouchures. Il résulte de là qu'il faut des courants marins à proximité des côtes, pour que le dépôt dont nous nous occupons soit possible, et, en effet, lorsqu'on étudie la disposition des lieux dont on extrait les tangues, on ne tarde pas k constater l'existence de ces courants, et par suite à justifier l'origine maritime de ces dépôts. La tangue se trouve an

TAN

abondance sur divers points du littoral de la Bretagne et de la Normandie ; elle s'accumule sur les plages et surtout dans les anses, et y forme des amas de sables calcaires et siliceux, d'une ténuité extrême, et mélangés de très-petits débris de coquilles. Prise dans le lit du fleuve, elle présente l'aspect d'une poussière si ténue qu on y reconnaît la partie la plus persistante d'une vase lessivéa et desséchée. Un peu plus loin vers la mer, on commence à y trouver du sable marin, dont la proportion augmente peu à peu à mesure qu on s'éloigne de l'embouchure, jusqu'à ce qu'enfin il constitue a lui seul l'amas de tangue. Les amas déposés par les ruisseaux, dont le cours est plus lent, sont généralement plus riches, surtout en matières organiques, que ceux des rivières.

Les propriétés de la tangue varient aussi suivant l'endroit où on la récolte. Là où elle renferme beaucoup de parties argileuses ou organiques, ello est moins friable et plus fertilisante, et convient davantage pour les terres légères. Celle qui contient beaucoup de sel, de sable marin et de débris de coquilles est destinée aux terrains froids et argileux, qu'elle rend plus meubles et plus aptes à s'échauffer. Quelle est la cause de l'action fertilisante de la tangue? Pendant longtemps on l'a attribuée à la faible quantité de sel que ce corps contient. Or, si l'on remarque que les tangues ne sont employées comme engrais qu'à une petite distance du rivage de la mer, et que, par suite des vents, des brames de mer et des eaux pluviales, le sol sur lequel on les répand contient de notables proportions de chlorure de sodium, on est obligé de convenir que le sel que les tangues contiennent ne saurait exercer une action notable, puisqu'il ne fait qu'augmenter dans de faibles proportions la quantité ùe sel contenue dans le terrain sur lequel t>n les emploie. D'ailleurs, l'expérience a maintes fois prouvé que, pour obtenir un bon effet de l'emploi de la tangue, on doit lui faire subir un lavage préalable toutes les fois qu'elle contient de notables proportions de sel. La véritable cause de l'action fertilisante du dépôt marin dont nous nous occupons doit être recherchée dans les phosphates et les matières organiques azotées qu'il contient. L'analyse de ce corps montre que les substances reconnues comme fertilisantes dans les engrais s'y trouvent dans de notables proportions, et c'est à leur action quo l'on doit attribuer les bons résultats que l'on obtient en employant les tangues. Le sel ne saurait ici jouer aucun rôle, et il est évident que l'engrais de mer ne saurait avoir un mode d'action différent de celui que possèdent les ■engrais ordinaires.

On récolte la tangue de troi$ manières, par le béc/iage, par le dragage et par le tiovelage, La première opération consiste à enlever la tangue avec une bêche, à murée basse ; c'est le procédé qu'on emploie sur les côtes de la Manche, partout où les amas arénacés se trouvent en couches épaisses. Le clraguage est usité pour les endroits inaccessibles aux voitures; on se sert alors de gabares, qui vont s'échouer à marée basse sur les tanguières, où on les remplit, pour en revenir à marée haute. Quant ou ha vêlage, voici ce que M. G. Heuzê dit à ce sujet.

« Lorsque la tangue forme sur les plages une couche peu épaisse, on la ramasse & l'aide d'une racloire en bois ou au moyen d'un instrument que l'on appelle en Normandie havel, Itavet. Ce râteau à cheval se compose d'une planche placée sur champ et un peu inclinée en arrière, d'un ou deux mancherons et d'une limonière. Lorsque cet instrument est traîné par un cheval et dirigé par un homme, il rase la surface de la tanguière et ramasse plus ou moins de tangue, selon que la pression exercée par le conducteur sur les mancherons est plus ou moins forte. Pour former des tas, le conducteur fait décrire au cheval un mouvement spiraloîde. Un tour ou deux suffisent ordinairement pour former un monticule ou mondrin. Au fur et à mesure que la tangue est raclée ou /tavelée, on l'enlève et on la dépose sur la grève, hors de l'action des marées, et on la conduit au lieu de sa destination. La tangue ha celée est toujours très-meuble.»

■ La tangue est d'nne ténuité telle que tout le sable, jaunâtre ou gris, dont elle se compose et qui contient du calcaire, de la silice, au sel marin, des débris de coquillages et des restes de matières organiques, traverse presque complètement un tamis de soie ordinaire. Bêchée ou havelée, elle est plus riche et plus fertilisante que si elle a été draguée loin du rivage. Longtemps exposée.à l'action de l'air, du soleil et de la pluie, elle perd peu à peu du calcaire, du sel marin et des matières organiques ; en mente temps elle s'égoutte, se dessèche et augmente de volume, elle foisonne, soit par le déiitement des coquilles qu'elle renterme, soit par les pelletages qu'on lui fait subir de temps en temps. Quelquefois même on la soumet a un lavage, pour lui enlever la plus grande partie du sel marin dont elle est imprégnée. Ainsi modifiée, elle prend le nom de tangue morte ou troz mort.

On appelle tangue vive celle qui est récemment extruite des lieux de formation. « Les laboureurs bordiers des côtes de la mer, dit V. de Bomare, distinguent quatre espèces de tangue. La première est d un gris blanc ou cendré clair, et ne forme guère quo deux lignes d'épaisseur sur le rivage. La deuxième

TANG

se nomme tangue forte; elle est pesante, d'une couleur d'ardoise, et forme une couche de 15 à 18 pieds d'épaisseur, La troisième est la tangue légère, dont on a retiré le sel : on la transporte pendant les chaleurs sur le fond des marais salants qu'on laboure et qu'on herse pour unir ces deux terres ensemble. La quatrième est la tangue usée, celle dont on a retiré deux fois le sel : il reste à cette dernière assez de qualité pour l'usage des labours. »

Pendant quelque temps ou a beaucoup recherché les tangues cuites et ayant servi à la eonstruction de fourneaux. Les essais ont été assez concluants ; cependant, pour une raison qui nous est inconnue, on a abandonné peu a peu ce produit pour revenir aux tangues naturelles. Les tangues cuites présentent pourtant cet avantage que leurs principes fertilisants sont plus facilement assimilables, et on le comprend sans peine lorsqu'on réfléchit que les phosphates et les substances azotées se présentent, après l'action de la chaleur, dans un état excessivement divisé , ce qui favorise l'absorption des principes utiles par les racines des plantes.

On transporte la tangue, suivant qu'elle est sèche ou humide, dans des sacs de toile ou dans des tombereaux h planches bien jointes, afin qu'elle ne s'écoule pas à travers les fentes par suite des secousses.

Cet engrais convient surtout aux terres fortes, argileuses et froides. Le plus souvent, on le mélange avec du terreau, des vases, du fumier ou des varechs, en les disposant par couches alternatives, un mois avant dî ^.n servir. Quinze jours après, on recoupe toute la masse, pour en bien mélanger les diverses parties, et en faire un compost. Quand la tangue est employée seule, on la répand à la main ou à la pelle. L'action de cet engrais dure de deuxàcinq ans,enmoyennetroisans, au bout desquels on a recours à une nouvelle application. S'il était trop imprégné d'eau de mer, on s'exposerait à brûler les plantes. La tangue exerce une action puissante sur les céréales et les légumineuses, lorsqu'elle est appliquée avec des engrais animaux ou végétaux. On l'emploie encore pour activer la végétation des prairies naturelles. Enfin, elle convient à la culture des plantes potagères, ainsi que le prouve l'emploi qu'on en fait à Roscoff, pays renommé pour cette culture.

L'usage de la tangue, d'après M. Heuzé, est très-ancien. On le trouve mentionné dans plusieurs cartulaires normands du moyen âge et dans les rôles de l'échiquier de Rouen, de la fin du xiie siècle. Les tanguières appartenaient alors aux seigneurs, et les chemins conduisant à la mer étaient désignés sous les noms de chemins tangours ou sablonows. En 1534, les seigneurs de Graignes obtinrent do prélever, comme redevance, un droit de congé sur les individus qui se livraient à l'extraction et au transport de la langue. Ce droit devint si onéreux pour les cultivateurs, que la ville de Saint-Lô adressa en 1718 une requête au roi contre un nouvel impôt que plusieurs propriétaires voulaient établir sur cet engrais. A l'époque de la Révolution, on se plaignait encore des désagréments causés aux cultivateurs. Aujourd'hui la tangue est exempte de tous droits. On en extrait annuellement, en Normandie, 2,000,000 de mètres cubes.

TANGUER v. i). ou intr. (tan-ghé. — L'étymologie de ce mot, qui est isolé dans les langues maritimes, est tout à fait incertaine. Jal propose de le rattacher, soit à l'anglosaxon txngan, tengau, se jeter, se précipiter, s'élancer, soit à l'anglo-saxon tkapeian, anglais to thante, remercier, rendre des actions de grâce, l'acte de remercier supposant ordinairement celui de s'incliner devant la personne qu'on remercie et de la saluer. Le mouvement que fait le navire obéissant au tangage peut si bien être comparé à une salutation que nos marins disent familièrement d'un homme qui pousse loin la politesse : Quand un tel vous rencontre, il tangue une heure devant vous). Faire un mouvement dâ tangage, se balancer dans la sens longitudinal. Il Plonger de l'avant : Je dirigeai mon télescope sur ce point noir et je vis distinctement que c'était un vaisseau anglais de quatre-vingt-quatorze canons, tanguant lourdement dans la mer. (Baudelaire.) Le bateau, très-chargé sur le pont et nullement lesté dans la cale, tanguait horriblement. (Th. Gaut.)

— fr'am. Dans le langage des marins, Saluer profondément. Il Etre contrarié, confus, embarrassé.

TANGUEUR, EUSE adj. (tan-gheur, eu-ze — rad. tanguer). Mar. Qui tangue beaucoup ; Navire tangueur. Frégate tangueusb.

— s. m. Mar. Syn. de tangeux.

TANGUEtJX s. m. (tan-gheu — rad. tanguer). Mar. Homme qui décharge les embarcations sur la côte.

— Ornith. Ancien nom du pingouin commun.

TANGUEY, TONGBEY ou TONGOT, baie de l'Amérique du Sud, république du Chili, par 30» 15' de latit. S. et 74» 8' de longit. O. Elle a 32 kilom. de largeur à son outrée et 17 kilom. de profondeur.

TANGUIER v. a. ou tr. (tan-ghi-é — rad. tangue). Agric. Amender avec de la tangue : ïanquieb des terres.

TANI

TANGUIÈRE s. f. (tan-ghiè-re — rad. tangue). Endroit où l'on recueille la tangue.

TANIBOUCA s. m. ( ta-ni-bou-ka). Bot.

Genre d'arbres, de la famille des eombrétacées, réuni par plusieurs auteurs aux badaîniers.

TANIE s. f. (ta-nl). Moll. Genre de mollusques gastéropodes pectinibranches , du groupe des troques.

TANIÈRE s. f. (ta-niè-re. — Au premier aspect, on serait tenté de rapporter ce mot à l'italien tana, caverne, tanière ; mais en réalité, tanière vient du vieux français iaisnière, tesnière, contraction de taissonnière, proprement le trou où se retire le taisson, le blaireau). Retraite souterraine d'un ou plusieurs animaux sauvages : Un serpent gui se glisse entre les fleurs est plus à craindre qu'un animal saunage qui s'enfuit vers sa tanière dès qu'il nous aperçoit. (Fén.)

— Habitation sombre et inisérable : Quand on le complimentait sur son appartement, il l'appelait sa tanière. (Balz.) La tanière où l'un vous a parqués est si malsaine que vous y avez contracté des fièvres incurables. (E. Sue.)

— Lieu solitaire où l'on vit loin de la société : Il ne quitte jamais sa tanière.

Vivre seule dans sa tanière Est un assez méchant parti, Et ce n'est qu'aveo un ami Que la solitude doit plaire.

Voltairb.

— Syn. Tanière, autre, ea»erne, etc. V. ANTRE.

TANIN s. m. (ta-nain — rad. (an). Chim. Substance qui existe dans divers produits végétaux et qui est le principe actif du tan. Il On écrit aussi tannin, et on l'appelle encore

ACIDE TANNIQUK.

— Encycl. Chim. Plusieurs substances végétales et principalement la noix de galle, 1 écorce de chêne, de marronnier d'Inde, d'orme, de saule, les feuilles des arbres, l'en-, veloppe de plusieurs fruits charnus, les pépins de raisin, le sumac, le cachou, certaines sèves, etc., renferment des substances qui précipitent l'albumine, la gélatine et les alcaloïdes végétaux, ou foiment des combinaisons insolubles avec l'épiderme et la peau des animaux, la fibrine, etc. On a donné à toutes ces substances le nom générique de tanins ou d'acides tanniques, quoiqu'elles diffèrent beaucoup entre elles.

Le tanin de la noix de galle est celui qui a été le mieux étudié. Voici d'abord comment on l'extrait. On tasse la noix de galle grossièrement pulvérisée dans une allonge dont le col est bouché par un tampon de coton terminé par une mèche ; on introduit cette allonge dans le goulot d'une carafe, on la remplit d'èther aqueux et on bouche ; l'éther filtre à travers la noix de galle et dissout , par sa partie aqueuse, le tanin qu'il rencontre. Le liquide qui se réunit dans la carafe se divise en deux couches : l'une lourde, sirupeuse, ambrée et formée d'une dissolution sirupeuse de tanin; l'autre légère, verdâtre ot formée d'une dissolution èthérée de quelques matières organiques. On enlève cette dernière, on lave plusieurs fois avec de l'éther la partie pesante, puis on la transporte dans le vide de la machine pneumatique. On obtient aiiisi le farct'n très-pur, sous forme d'une masse spongieuse, légère, brillante, sans apparence de cristallisation, rarement blanche, le plus souvent jaunâtre.

Le tanin se dissout dans l'eau et mieux dans l'alcool que dans l'éther; il a des propriétés acides; il fait la double décomposition avec les bases. Toutefois, ses sels alcalins sont difficiles à obtenir, parce que, au contact des alcalis et de l'air, il s'oxyde et se transforme en une substance rouge foncé, identique à celle qui prend naissance lorsqu'on soumet l'acide gallique à la môme réaction. Le chlore humide agit sur le tanin et le décompose complètement. Les solutions aqueuses du tanin sont précipitées par beaucoup d'acides et de sels minéraux qui agissent en diminuant sa solubilité. Elles précipitent par la gélatine ; un morceau de peau fraîche leur enlève peu k peu le tanin. L'émôtique donne un précipité blanc; les sels ferriques précipitent en bleu très-foncé. Le tanin précipite encore en blanc l'acétate de plomb, les alcaloïdes de la strychnine, par exemple; les sels d'urgent précipitetiten brun. Les solutions alcalines brunissent assez rapidement à l'air.

Le tanin en dissolution dans l'eau est entièrement absorbé par une peau animale. 11 se forme une combinaison insoluble; l'eau ne retient plus de matière astringente, et l'on peut faire ainsi l'analysa d'une dissolution de tanin en pesant la peau avant et après l'absorption. La peau qui s'est combinée avec le tanin porte ie nom de cuir; elle est devenue presque imputrescible et imperméable.

Le tanin est employé dans la fabrication des vins blancs, pour coaguler une matière qui a reçu le nom de glaîadine; cette substance peut exciter dans les vins "blancs la fermentation visqueuse et les faire tourner au gras. On emploie le tanin pur du commerce dans quelques procédas do fixation des matières colorantes, surtout des couleurs aniliques. Il sert en photographie, en médecine. Dissous dans l'eau et abandonné à l'air en

TAÎN'L

présence de ferments, le tanin ou l'acide gallotannique donne naissance à de l'aciilo gallique, ot une décomposition semblable so produit lorsque, au lieu de faire fermenter la solution, on la fait bouillir avec des acides ou des alcalis étendus; mais les chimistes ne sont point encore fixés sur la réaction qui se produit dans ce cas. Suivant les uns,' le tanin s'oxyde simplement et produit de l'acide gallique, de l'eau et de 1 anhydride carbonique :

CS1HS20" + 60»

Acide Oxy-

gallotannique. gène.

= 6C08 + 2H20 + 3CWO». Anhydride Eau. Acide

carbonique. galliq'te-

Suivaut d'autres, au nombre desquels il faut placer en première ligne M. Strecker, le tanin serait un glucoside qui se transformerait en glucose et en acide gallique en absorbant les éléments de l'eau. D'après cette dernière manière de voir, l'anhydride carbonique dégagé dans la réaction serait dû à la fepmentation ultérieure de la glucose. Cette hypothèse conduit, pour le dédoublement du tanin, à l'équation suivante :

C17H220" + 511*0 Tanin. Eau.

= 3CII60» f (C6H1206 ■+■ aq).

Acide Glucose,

gallique.

Les dernières expériences de MM. liawalier et Knop tondent toutefois à prouver quo le tanin n'est pas un glucoside, et que ia glucose qui prend naissance pendant sa transformation en acide gallique est due aux impuretés qu'il renferme. Le tanin n'étant pas cristallisable, sa purification est, en effet, très-difficile.

C'est un astringent des plus énergiques, qui entre dans certaines potions, telles que celle de Pradel et celle de Gamba, et qu'on emploie aussi en injections ù. la dosa de 1 gr. dans 150 à 300 grammes d'eau. V. gallique (acide).

TAN1S, nommée Zoan par les Juifs, ancienne ville de la basse Egypte, sur les débris de laquelle s'élèvent les chétives habitations du village de San. Cette ville donnait a une des principales branches du Nil le nom de Tanitique. Moïse y naquit, dit-on, et la ville fut le théâtre des prodiges qu'aurait opérés ce législateur pour délivrer le peuple hébreu de la tyrannie des Egyptiens. Ou y voit encore les débris de quelques anciens monuments. Tunis était la résidence des rois des vingt et unième et trente-troisième dynasties de Mauéthon.

TANITIQUE (branche), nom ancien d'uno des branches du Nil. V. Tanis.

TANJE (Pierre), peintre hollandais, né à Bolsward, en Frise, en 1706, mort à Amsterdam en 1761, Il fut mousse dans son enfance. Les heureuses dispositions artistiques qu'il montra le firent admettre â l'âge de quatorze ans dans l'atelier du graveur Eolkema, puis il suivit les cours de l'académie de dessin. Ses principales productions sont des gravures (5 pièces) d'après les peinture-? sur verre de 1 église Saint-Jean, h Couda. Il a gravé, en outre, deux pièces d'après le Parmesan (1734 et 1737), plusieurs tableaux de la galerie de Dresde et, avec Houbraksn, les portraits de plusieurs stathouders.

TANJORB, TANJAORE ou TAN JAOUR, ville forte de l'Indoustan anglais, sur un des nombreux bras du Cavery, dans la présidence et à 360 kilom. S.-O. de Madras, par 10» 45' de latit. N. et 76" 50' delongit. K., chef-lieu de district; 80,000 hab< Elle a près de 10 kilom, de circonférence. On y remarque le palais du rajah et, entre autres pagodes, la célèbre pagode de Tanjore, vaste temple eu forme de pyramide et magnifiquement orné, la plus beau de l'Inde et construit en pierres de taille ; une maison de missions devenue école, de nombreux établissements de bienfaisanceet plusieurs églises protestantes. Elle était autrefois la capitale d'un royaume qui est l'ancien Koladesa ou Kola-Mandala, d'où, par corruption, on se fait Coromandel. Assiégée en vain par les Anglais en 1749 et par lés Français en 1758, ello fut prise par les premiers en 1773.

TANJORE (disteictdb). Il comprend le delta du Cavery, que la culture a rendu d'une fécondité remarquable, avec une superficie totale de 148 myriamètres carrés et 1 million d'habitants, pour la plupart Indous, parlant le tamouli, et parmi lesquels l'antique brahmanisme existe dans tout son éclat.

TANK.ARVILL1E s. f. (tan-kar-vi-lî — de Tan/carvitte, navig. anglais). Bot. Syn. do blétik, genre d'orchidées.

TANK.1L s. m. (tan-kil). Bot. Nom indigène du gnet gnomon, arbre qui croit aux Iles do la sonde, aux Moluques et dans les autres archipels malais.

TANLAV, bourg de l'Yonne, canton do Ci'uzy, arrond. et à 8 kilom. de Tonnerro, sur la rive droite de l'Armançon; 7go hab. Ce bourg parait remonter a une haute amiquité ; on y a découvert des tombeaux trèsanciens. Taulay doit sa célébrité à son magnifique château, qui présente un des types