d,4-as4-c»4 p

4éPz' + 4{"X + «)•

— 4{ax J- cz)(d* + R' 4- o1 4- c* — p")

ou encore

R' — 2R'(d' 4 p» — a' — c*) 4- (d1 -t- a1 4- c» — ?')■ — R' — gR'(d' 4- a1 4- c' — p') — (d1 4- a' 4- c1 — p')' __ g + 4 ,

c'est-à-dire

ax 4 et •

la section est représentée par l'ensemble de cette équation et.de celle de la sphère

(j?-a)'4-y'4-(i-c), = f*- Cherchons à quelles conditions cette section se composerait de deux courbes planes, c'està-dire de cercles. Il faudra pour cela qu'une combinaison

Xd'z' +Xlax + cz — ■*- J

4- (x — a)' 4- V* 4- (* — «)* — Mt** — î" - « des deux équations puisse représenter deux plans, c'est-à-dire donne pour l'une des variables une valeur entière en fonction des deux autres. Cette équation ne contenant

que le carré de y, la condition est facile à

obtenir; elle se réduit évidemment à ce que

— Id'a1

-ila« + « 1 ■ J

— (x - «)' — (* — c)1 4 VR*d> + p" soit un carré, c'est-à-dire que l'équation que l'on obtiendrait en égalant cette quantité à zéro représente deux droites confondues en une seule, ou encore que le centre de ce lieu soit indéterminé et lui appartienne. Or, les équations du centre seraient — Id's — (z — c)

— Xclax-rcz ^-r— ' £-1 = 0

— \al ax-i-cz — — '- S-l =0;

l'identification de ces équations donne

— \d1—\—\c? —lac — \ae ~ — l — Xa*

le dernier rapport se réduirait en apparence

à -: mai:

sulterait

à - : mais si on le faisait égal à -, il en réa a

Xac e 14-Xa' = â' c'est-à-dire

Xa* = 1 + ta',

ce qui donnerait pour * une valeur infinie.

TORE

II faut donc faire ce dernier rapport égal

à - en posant

quant à l'autre condition

l(d* 4- e') + 1 Xac

Xac ~ 1 + \a''

elle donne

X'a'd' + X(as 4- d1 + c') + 1 = 0, et en Remplaçant î- par sa valeur 4a,d>— ild'+a1 + c')(d' + R' + a' -i-c' — e')

+ (d1 4-B' + a' + c' - p')5 = o, d'où

= d» 4- a1 + C ± Vld' + a' + c")' — ia'd1, c'est-à-dire -,

(1) {R1-?')' = (di+a1 + ci)'-4a'd'i

en remplaçant i par sa valeur dans l'équation

— (x — a) , t . <P + Ra -r a' -i- c5 — ç"

on la réduit à

et comme le carré du premier membre de cette équation doit reproduire à. un facteur constant près l'expression

, / , d' + R' + a' + c' — p'V — X [ ax } cz ' ! — - — I L I

on en conclut que, dans cette dernière, le terme constant doit manquer, ce qui donne en remplaçant 1 par sa valeur

ïR'd1

TORE

+ p c est-à-dire

' d' + R'+a'+c1 — ei'

(tf — R*)' = {«'-*- «' — ?')% c'est-à-dire

d' — R^rfcfo'-l-c1 — p');

cette dernière donne

(f' + â' + c' = R1+e') ou

d'— a' — c» = RS — e\

Si l'on prenait

R' — p1 = d» — a1 — c", la condition (l) donnerait

(d* — a' — c')1 = (d1 -L a' + c')' — ia'd1, ou

— 4(aJ + c'Jd» = — 4a'd'; d'où e = 0,

condition inadmissible , parce qu'alors les équations du centre donneraient seulement

a>=0 et * = oil faut donc s'en tenir à (2) d' + a'+c^R' + p',

alors la condition (l) donne

(R'-p')" = {R* + »»)» ia?d*

d'ailleurs, X se réduit alors à ■

ainsi, les conditions sont

(1) Rp = ±ad et

(2) R1 + p' = d* + a* + c' ; d'où, en ajoutant et retranchant,

Telles sont les conditions auxquelles sont assujetties a, c et p pour que la sphère (x — a)' + y» + (* — e)» = p»

coupe le tore suivant deux cercles. Moyennant ces conditions, l'équation qui représente les plans des deux sections circulaires est celle de y à plus ou à moins le premier membre de l'une des équations du centre multiplié par une constante convenable, par exemple

ou, en profitant de l'équation

c'est-à-dire

y =±a (- X + S(ax + c*)\

la constante a se déterminera par la condition que la valeur de y1 reproduise la fonction

— Xd'z*

qui se réduit maintenant à

gî * + r. (ax + c')' - ** - *' ou

ou enfin

d' — R'-t- c' 2 ac , a' — R'

Ri * + R' ** + -RÎ- *'■>

la valiiur de y* donnée par l'équation

y = ±«(-x + ~(ax + cz)') est .

— [a'c V + 2ac (a« — R1) « -f (R1 — a'^x'] .

La valeur de «' peut donc s'exprimer indiffé-

remment par

ou par

expression équivalente en effet, car la condition

a'c' = (d* — R + c')(a' — R») revient à

cfà* — a'R1 — R'da 4- R' — RV , ou, en remplaçant

a'd' = RV h

R'-i-p* — a' — d' — c* = 0, ce qui est précisément l'une des conditions établies plus haut.

Ainsi, les plans des sections circulaires déterminées dans le tore par les sphères convenablement choisies sont représentés par

y = ■ . ■ 1 — œ + s-, (ax + cz) \/à> — R1 V R

±. R /a1 — R1 , ac Y V R R/a>— R" /

et les équations des sphères sécantes sont (a— a)»+î,«-t-(a c)' = p»,

avec les deux conditions

RV = a'd* et

le cosinus de l'angle que fait l'un des planscyclique» avec le plan des xy est

cos % =

RtV — c'

V ^ R, +Ra(a'-R'j

v'R'ta1 — R") + (aJ— R»J' + a'c1

ou comme

«V = (d* — R' + c')(a' — R»), ac