BD CE

c'est a-dire les cosinus des angles

secteur BDA , — 2 y/-!

secteur CEA , — 2 j-, /-l.

En effet, si l'on prend BC pour axe des x, et pour axe des y la perpendiculaire à BC élevée au point B, les équations des deux hyperboles seront

,/ — x> = —c' et y' — (x — a)' = — b',

en sorte que l'abscisse du point de rencontre, ou BF, sera

et que, par suite,

sera

Zac ' d'un autre côté,

et ainsi

CF ai + b1 — e'

CE ~ 2(io '

le triangle imaginaire cherché est donc bien BAC; les angles B et C sont

et l'angle

secteur BDA , — s 3 /-l

secteur CEA , — 2 T> •->

Quant à l'expression analytique de la surface de ce triangle, elle est ac sin B

atAF/- 1

et, si l'on remplace y — ' Par 1> e^e don116 'a ' surface du même triangle supposé réel.

— Triangles spkériques. Un triangle sphérique sert de base à un trièdre ayant son sommet au centre de la sphère sur laquelle il est tracé. Les côtés du triangle servent de mesure aux faces du trièdre; quant aux angles du triangle, ce sont les dièdres du trièdre. Il résulte immédiatement de cette assimilation que la somme des côtés d'un triangle sphérique est moindre qu'une circonférence de grand cercle, et que la somme des angles est comprise entre deux et six droits. Les cas d'égalité des triangles sphériques sont les mêmes que ceux des /rt'a«gles rectilignes, sauf que, deux triangles tracés sur une même sphère ne pouvant être semblables sans être égaux, deux triangles équiangles sont égaux, et que, d'un autre côté, deux triangles sphériques pouvant être égaux dans toutes leurs parties sans être superposables, l'égalité doit s'étendre a In symétrie.

Un triangle sphérique peut être birectangle et même tnrectangle, c'est-à-dire avoir deux et trois angles droits. Le triangle trireotangle est le huitième de la sphère; il est souvent employé comme terme de comparaison pour toutes les surfaces sphériques. Un triangle sphérique comparé au triangle trirectangle a pour mesure le rapport k un droit de l'excès de la somme de ses angles sur deux angles droits. De même, la mesure d'un polygone sphérique est le rapport à un droit de l'excès de la somme de ses angles sur autant de fois deux angles droits qu il a de côtés moins doux.

— Algèbre. Triangle arithmétique de Pascal. Le tableau qui porte ce nom a été imaginé par Pascal pour fournir d'une manière simple et rapide les coefficients des puissances d'un binôme. Le (n -|- i)1Èms terme du

d'un

„iérae

développement de la puissance m , binôme a pour coefficient

mais cette formule n'était pas connue de Pascal. Avant lui on n'avait, pour former les coefficients des puissances successives du binôme, •d'autre règle que la multiplication directe. C'est en comparant la (m + î)1*"18 puissance à la miêrae que Pascal parvint à la conception de son triangle arithmétique. En désignant par "-

1 m ni — i . r

le développement de {x-\-ï)m et effectuant la muliplication par «+ 1, on trouve immédiatement

,"> + * nn ,.m + 1-i nm ^mj.nm

x +.., +Cm- x+Cm+l

or, ce développement doit être identique à

a*-M+ cm + l X-+G™ + 1 ^"1+ c™ + * .«-»+... + C™ + 1 x + C™ + ;.

Cette identité est exprimée par la formule générale

qui signifie que, pour former le coefficient du terme de rangn dans le développement d'une puissance du uinôine, il faut faire la somme des coefficients du terme de même rang et

du terme précédent dans la puissance immédiatement inférieare. Que l'on imagine donc écrits sur une ligne horizontale les coefficients de la puissance m du binôme. Pour former ceux de la puissance m + 1, que l'on supposera devoir être écrits sur la ligne placée au-dessous, de manière que deux coeffl. cients de même rang se trouvent sur une même colonne verticale, il faudra ajouter

TRIA

chaque terme de la ligne déjà formée avec le précédent de la même ligne et porter le résultat au-dessous du second de ces deux termes. Cette simple remarque suggère immédiatement la construction suivante du triangle arithmétique : on écrit d'abord une colonne de zéros, qui sont censés représenter les valeurs de Ci ce qui s'accorde avec la formule

Les termes de la troisième colonne s'appellent les nombres naturels ; ceux do la quatrième colonne sont les nombres figurés du premier ordre; ceux de la cinquième, les nombres figurés du second ordre, etc. Ce triangle donne lieu a plusieurs remarques qui n'offrent plus aujourd'hui que fort peu d'intérêt. Nous noterons cependant ce fait qu'un terme quelconque est égal k la somme de tous ceux de la colonne précédente qui sont au-dessus de lui; ainsi, par exemple, le terme 84 de la cinquième colonne est égal à

En effet, d'après la loi même de formation

des termes successifs, 84 = 28+ 56; mais

par conséquent

— Mus. Pour que les vibrations du triangle ne soient pas interceptées, l'un des angles du bas du triangle est un peu ouvert et l'instrumentiste a soin de le tenir suspendu à un cordon ou à un fil. La sonorité du triangleemt uniforme et, au point de vue de la gravité ou de Vacuité du son, à peu près inappréciable à l'oreille, comme celle des cymbales ou du tambour. Un l'écrit à volonté soit sur la clef de sol, soit sur la clef de fa, sans accident à la clef,. et on ne note que des ut.

Le'triangle fait partie de tous le< orchestres complets, mais il est particulièrement employé dans la musique militaire, où sa sonorité argentine et naturellement métallique trouve un excellent emploi. Il est compris dans ce qu'on appelle la batterie.

TRIANGULAIRE adj. (tri-an-gu-lè-re — îat. triangularis ; de triangulus, triangle). Géom. Qui a trois angles ; Figure triangulaire, h Prisme triangulaire, Prisme dont les bases sont des triangles. Il Dodécaèdre-triangulaire, Solide composé de douze triangles parallèles deux à deux et se réunissant six par six en un point du même axe.

— Qui a la forme d'un triangle ; Qui n'a observé les évolutions savantes des grues, reunies en phalanges triangulaires! (A.Mart.)

— Arith. Nombres triangulaires, Série de nombres figurés, formée en additionnantsuccessivement les deux premiers nombres figurés du premier ordre, puis les trois premiers, les quatre premiers, etc.

— Diplomatiq. Lettres triangulaires, Caractères dont toutes les formes étaient réduites, autant o^ue possible, au triangle,

— Anut. Muscle triangulaire ou substuntiv. Triangulaire, Nom de divers muscles qui présentent lu forme d'un triangle : Le muscle

TRIANGULAIRE lia liez. Le TRIANGULAIRE du

sternum. Le triangulaire du coccyx.

— s. m. Erpét. Espèce de lézard d'Egypte.

— Ichthyol. Nom vulgaire de l'ostrucion trigone, poisson des mers de l'Inde, appelé

aussi COCHON DB MKR.

TRIA

On place à côté de cette première colonne une colonne d'unités qui représentent les

valeurs de C ; dans cette colonne, chaque

terme est bien la somme de celui qui est immédiatement au-dessus de lui et de celui qui est au-dessus à gauche; enfin, on écrit dans la seconde ligne horizontale le second coefficient 1 de la première puissance du binôme. On n'a plus ensuite qu'à appliquer la règle pour prolonger autant qu'on veut le tableau.

— -s. m. pi. Crust. Groupe de crustacés décapodes brachyures, qui correspond à peu près a la famille des oxyrhynques.

— Encycl. Anat. Trois muscles portent le nom de triangulaire en raison de leur forme : le triangulaire des lèvres, celui du sternum et celui du coccyx.

Le triangulaire des lèvres est un petit muscle qui s'attache, d'une part, au corps du maxillaire supérieur en s'entre-croisant avec le peaucier; d'autre part, à la commissure des lèvres, en confondant ses fibres avec celles du canin et du grand zygomatique. Ce muscle est abaisseur de la commissure.

Le triangulaire du sternum est un muscle situé à la face postérieure du sternum et des côtes. Il s'insère, d'une part, au bord latéral de l'appendice xyphoïde du sternum et a la partie inférieure du même os; d'autre part, par des digitations nombreuses, aux cai tilage^ des troisième, quatrième, cinquième et sixième côtes. C est un muscle expirateur, dont l'action est d'abaisser les cartilages costaux.

Le triangulaire du coccyx ou ischio-coceygien est un muscle de la région ano-coccygienne, s'insérant à l'épine sciatique, à la face antérieure du petit ligament sacro-sciatique, d'une part; de l'autre, au bord et à la face antérieure du coccyx. Il concourt à former le plancher du bassin; il sert a maintenir le coccyx dans sa position.

TRIANGULAIREMENT adv. (tri-an-gu-Iàre-man — rad. triangulaire). En forme de triangle : Elle avait un fichu rouge qui tombait triangulairembist entre les épaules et gui se croisait sur le sein, (Lamart.)

TRIANGCLATEUR adj. m. (tri-an-gu-lateur — du lat. triangulus, triangle). Se dit d'un géomètre chargé de faire des triangulations.

TRIANGULATION s. f. (tri-an-gu-la-si-on — du lat. triangulus, triangle). Division d'une portion de la surface du globe en triangles tonnant un canevas, au moyen duquel on peut soit dresser la carie du pays, soit mesurer une grande ligne géodésique tracée ou imaginée à travers ce canevas.

— Encycl. La mesure directe des grandes longueurs, au moyen de règles, offre des difficultés considérables, exige des soins énormes et demande beaucoup de temps, La mesure des angles, au contraire, se fait aisément et rapidement. On a donc du substituer, dans les opérations géodésiques, la mesure des angles à celle des lignes. La détermination des côtés des triangles se fait, en effet, par le calcul; on n'en mesure directement que deux, l'un qui prend le nom de base de la triangulation et au moyen duquel on calcule les côtés suivants de" tous les triangles après en avoir déterminé les angles utiles, l'autre qui n est que le dernier côté du dernier triangle calculé et dont la mesure prise à la règle d°oit s accorder avec celle qu'a donnée le calcul

Pig. i.

Soient AB la base et C, D, E, P, G, etc., les sommets d'une série de triangles consécutifs ayant chacun un côté commun avec celui qui le précède et un autre avec celui am le suit; en mesurant les angles CAB et OBA, on pourra résoudre le triangle ABC et calculer BC ; en mesurant de même les angles DCA et DBC, on pourra résoudre le triangle BCB et calculer CD; en continuant, on pourra calculer tous les côtés de tous les tnangles.

Le but qu'on se propose dans- une triangulation est ordinairement de déterminer la lon-

gueur d'une grande ligne tracée ou imaginée a la surface de la terre; mais la méthode ne peut s'appliquer qu'à une ligne définie par une propriété qui puisse permettre d'en avoir la direction en chacun de ses points. Or, les méridiens et les parallèles sont les seules lignes géodésiques dont les grands arcs remplissent cette condition dans toute leur étendue; aussi est-ce exclusivement à la mesure d'arcs de méridiens ou de parallèles qu'on applique la méthode des grandes triangulations. Pour mesurer les autres lignes, on les jalonne dans toute leur étendue, ou, si elles

TRIA

offrent un trop grand développement, on en calcule la longueur au moyen des coordonnées géographiques de leurs extrémités.

Soit AX l'arc à mesurer sur un méridien ou un parallèle ; les stations extrêmes de la triangulation seront A et X; quant aux stations intermédiaires B, C, Û, E, F, G, on les prendra alternativement d'un côté et de l'autre de AX, et la longueur totale de cette ligne AX s'obtiendra en additionnant les longueurs des parties Axt, xtx„ a^c,, etc., interceptées par les triangles successifs. U s'agit donc d'obtenir successivement ces parties. Pour cela, outre les triangles ABC, BCD, CDE, etc., dont il a été parlé plus haut, on résoudra aussi les triangles ABx„ a^Cx,, œ,Da:„ etc., au moyen des angles de leurs côtés avec la ligne AX, dont la direction est connue, et des longueurs AB, xtC , x,D, ijE, etc., obtenues de proche en proche, la première directement, les suivantes en retranchant simplement Bxl de BC, Cx, de CD, Dx, de DE, etc.

Les angles des côtés des triangles successifs avec la ligne AX pourraient être déterminés directement, cette ligne AX ayant une direction facile à retrouver à chaque station ; mais la série des opérations ainsi conduites deviendrait trop longue et trop délicate. D'un autre côté, on ne peut pas, pour obtenir ces angles, opérer comme si tout le réseau était dans un même plan et que tous les triangles fussent rectilignes. On résout bien chacun de ces triangles comme s'il était rectiligne, mais il en résulte une petite erreur, qu'il ne faut pas laisser subsister dans les résultats obtenus qui devront être pris pour données relativement au triangle suivant.

Les angles étant mesurés comme on le fait maintenant, au théodolite^ sont les angles des plans verticaux menés aux diverses stations par les premiers éléments des côtés. La somme des angles de l'un quelconque des triangles, obtenue par mesure directe, serait trouvée plus grande que deux droits ; on commettrait donc une petite erreur pour chaque triangle si l'on en prenait le troisième angle égal au supplément de la somme des deux autres ; d'ailleurs, le troisième angle de chaque triangle devant servir au calcul du triangle suivant, on conçoit que les erreurs successives s'ajoutant en produiraient, au bout de peu de temps, une très-sensible.

Voici comment on s'y prend pour éviter toute erreur appréciable, sans cependant recourir à la mesure directe des angles des côtés des triangles successifs avec la direction AX, si ce n'est de loin en loin, pour obtenir des vérifications. La méthode est due à Legendre; elle suppose -que tous les triangles du réseau soient à peu près équilatéraux ; mais beaucoup d'autres motifs aisés à com-

TRIA

prendre eussent imposé, d'ailleurs, cette condition, qu'on cherche en effet toujours à remplir autant que possible.

Dans cette hypothèse, l'excès sphérique se répartit également sur les trois angles du triangle ; c'est-à-dire que si A,B,C désignent les trois angles du triangle sphérique, A',B' ,C ceux du triangle rectiligne qui aurait les mêmes côtés en longueur, et S l'excès de A + B + C

B = B'+- et C = C' + :

sur Ï80°, A-A' + ï,

D'un autre côté, l'excès sphérique S est ex-

primé par -, S désignant l'aire du triangle

sphérique et r le rayon de la sphère. Enfin, on démontre aisément que les aires d'un triangle tracé a la surface de la terre et du triangle rectiligne de mêmes côtés ne diffèrent que d'une quantité insignifiante lorsque ces cotés n'ont que quelques kilomètres. Il en résulte que, si T est la surface du triangle rectiligne,

Cela posé, la série des opérations est facile à comprendre. On calcule la surface de chaque triangle du réseau comme s'il était rectiligne. En se servant des deux angles observés, on a cette surface avec une approximation suffisante pour pouvoir faire les corrections des deux angles dont on s'était servi. Ces corrections faites, on résout complètement le même triangle. En désignant par <i le côté connu du triangle, par B et C les deux angles non corrigés, on a, avec une approximation suffisante,

m l i • r, l- , sin C sin B T «= - ai sin G = - a» - — ^—t-t^ ; 2 Z sin (B + C) '

d'où l'on tire, pour l'excès calculé en parties du rayon,

T 1 /oV sin B sin C

""r*2\r/ sin(B + C)'

Si l'on veut l'avoir en secondes, on n'a qu'à diviser la formule précédente par sin 1".

Il est très-rare que l'on puisse placer l'instrument, quel qu'il soit, dont on se sert pour mesurer les angles, de manière que l'axe vertical autour duquel tourne la lunette qui sert à pointer passe justement par le centre de la station, c'est-à-dire pur la projection horizontale du signal. Il vaut mieux ne pas s'astreindra absolument à cette condition, mais disposer l'instrument de la manière la plus convenable aux observations, sauf à faire h. l'angle obtenu la correction nécessaire.

Soient M et N les deux signaux dont on veut avoir la distance apparente, O le centre de la station, O' la projection horizontale de l'axe autour duquel tourne le plan vertical dans lequel peut se mouvoir la lunette, d la distance OO', O l'angle cherché MON, O l'angle observé MO'N, a et £ les angles inconnus OMO' et ONO', H l'angle OO'M, que l'on observera directement, enfin I l'angle formé à leur point de rencontre par les rayons ON et O'M ; on aura

O' = I — p et O = I — a, d'où

d'ailleurs, les triangles OO'M et OO'N donneront