r-c — a>0, a + c— 6>0 et
a + 6 — c>0; or le triangle est alors possible.
— Calcul de la surface. On a souvent à calculer la surface d'un triangle défini par l'un des systèmes de données examinés dans les quatre cas précédents. Si du sommet B, par exemple, on abaisse une perpendiculaire BD
Fig. s.
sur le côté opposé -AC, l'expression de la surface S du triangle est
S = - AC x BD = - bh ; 2 2 '
mais le triangle ABD donne
BD = BA sin A ou A = csiaA;
il en résulte
S = - 6c sin A.
Ainsi, la surface d'un triangle s'exprime par la moitié du produit de deux côtés multipliés par le sinus de l'angle qu'ils comprennent. Cette formule s'applique sans modifica-
tion dans les trois premiers cas ; pour le quatrième, on la transforme en multipliant sin A
l cos
par 2 sin - A cos - A, il vient alors
tp(p — a)(p — 6)(p — c)
ou, en réduisant
L'aire du triangle s'obtient donc au moyen des logarithmes qui ont déjà été employés dans le calcul des angles.
— Calcul des rayons des cercles inscrit et circonscrit. Les rayons r et R des Cercles inscrit et circonscrit à un triangle sont donnés par les formules •
a + 6 + c p et
R-ls'
on peut substituer à S, dans ces formules, sa valeur exprimée par la formule précédente.
— Applications directes de la trigonométrie rectiligne. Les questions pratiques que l'on peut avoir à résoudre à l'aide de la trigonométrie peuvent toutes se ramener aux trois suivantes : déterminer la distance d'un point accessible à un point inaccessible, déterminer la distance de deux points inaccessibles, enfin déterminer l'angle sous lequel d'un point inaccessible on verrait la distance de deux points accessibles, d'un point accessible et d'un point inaccessible, ou de deux
Ïioints inaccessibles ; ce sont, en effet, tous es cas où l'on puisse avoir à déterminer soit une distance, soit un angle, lorsqu'on ■ ne peut pas les mesurer directement.
— Distance d'un point accessible à un point
Fig. a.
i'noccesst'6^. Soient A le point accessible et
■TRIG
B le point inaccessible ; pour déterminer la distance AB, on mesurera directement une base AC, et, en se plaçant successivement en A et C, on déterminera à l'aide du graphomètre les angles BAC et BCA ; le triangle BAC étant alors déterminé par un côté AC et les deux angles adjacents, on pourra le résoudre et calculer le côté AB.
— Distance de deux points inaccessibles. Soient A et B les deux points en question ; pour déterminer la distance AB, on mesurera directement une base CD, et, par la méthode indiquée dans la question précédente, oc calculera les distances CA et CB du point accessible C aux points inaccessibles A etB;
ondétermineraensuiteàl'aide du graphomètre l'angle ACB, et le triangle ABC étant défini par deux de ses côtés et l'angle com-
fins, on pourra le résoudre et calculer ainsi a distance AB.
— Angle de visée d'un point inaccessible à deux points accessibles. Soient A le point inaccessible, B et C les deux points accessibles; en se portant successivement en Bet
en C? on pourra, à l'aide du giaphomètre, déterminer les angles ABC et ACB ; en retranchant 3e deux droits la somme de ces deux angles, on aura l'angle A.
— Angle de visée d'un point inaccessible à deux points, l'un accessible, l'autre inaccessible. Soient A le sommet de l'angle, B et C les
Fig. 9.
deux points accessible et inaccessible ; on déterminera par la méthode indiquée dans l'une des questions précédentes les distances BA et BC du point accessible B aux points inaccessibles A et C, et l'on mesurera a l'aide du graphomètre l'angle ABC ; le triangle ABC étant ainsi défini par deux côtés et l'angle qu'ils comprennent, on pourra le résoudre et calculer l'angle A.
— Angle de visée d'un point inaccessible à deux points inaccessibles. On déterminera par la méthode indiquée dans l'un des cas précédents les distances des trois points, deux à deux, et on n'aura plus qu'à résoudre un triangle dont on connaîtra les trois côtés.
C'est par les procédés indiqués dans les différentes questions qu'on vient de traiter que l'on détermine les distances des astres au centre de la terre ou entre eux, leurs parallaxes, etc.
— Problème de la carte. Les ingénieur^ hydrographes, pour fixer la position sur la carte d'un point où ils ont fait un sondage, visent de ce point trois points remarquables situés en terre ferme et, pour rapporter ce point sur le dessin, ils ont à résoudre ce problème : retrouver un point M, d'où l'on a vu, sous des angles connus a et p, deux
distances AB etBC. Pour trouver le point M, on peut calculer les angles BAM et BCM, que nous désignerons par a; et y : la demisomme de ces angles est
Pour en obtenir la demi-différence, on sa sert de l'équation des valeurs de MB exprimées séparément dans les deux triangles M AB
TRIG
et MCB ; en désignant par a et 4 les distances AB et BC, on a
b. sin y
TRIG
MB = £4iHfetMB =
sra a
sin ji
il en résulte
6 sin j/ sin£ '
d'où
sin a:
sin y
i sin a
a sin ?
cette dernière équation donne
sin a? — sin# sinar-1- siny
b sin a — a sin fr 4 sin « + a sin J .
6 sin n — a sin ft
a sin (S b sin a
tang - (a: - y) = fcsin e + a sin ? = ' a sinj
6 sin a
En oosant a S1" = tang ç, l'équation précédente se trouve transformée en v b sin a
.tang 1 (as — y).= tang^(ar-|-y)tang(45°-H). et, en remplaçant - {x + y) par sa valeur,
= — tang /l+I±5\ tang («o-9).
tang- (x — y)
tang- (i4 ïî.
Il est a remarquer que l'on pourrait aussi bien construire le point M en décrivant sur AB et BC des segments respectivement ca- ' pables des angles a et ji ; le point de rencontre des arcs de cercle limitant ces deux segments serait le point cherché. Le problème présenterait évidemment un cas d'indétermination si ie quadrilatère MABC se trouvait inscriptible, parce que les deux circonférences dont le point de rencontre devrait fournir le point M se confondraient Cette indétermination se retrouve dans la formule; en effet, dans le cas où elle se présente
par conséquent
d'un autre côté,
bsin a = asinp,
et l'angle de OQ avec OB étant C, on aura donc
cos a = cos 4 cos c + sin b eos (Q.OBC). D'un autre côté, PC étant perpendiculaire h 013, la projection de cette droite surOB sera nulle ; !a somme des projections de PQ et de
ou
sin a'
en effet, chacun de ces rapports est 1 expression du diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère.
— Trigonométrie sphérique. La formule fondamentale de la trigonométrie sphérique traduit la relation qui existe entre un angle du triangle et les trois côtés, ou entre un dièdre du trièdre correspondant et les trois faces. Soient ABC un triangle sphérique, dont nous désignerons les angles par A, B et C et les côtés opposés par a, b, c; O e centre de la sphère, dont nous supposerons le rayon égal à l ; si du sommet C on abaisse CP perpendiculaire au plan AOB et c^ue du point P on mène PQ perpendiculaire a OA, la projection cos a, de OC sur OB, sera égale à la somme des projections sur la même droite OB de OQ et de QC ; OQ et QC avant respectivement pour valeurs cos b et sin b,
Fig. n- .
QC devra donc l'être aussi, c'est-a-dire que les projections de QC et de QP seront égales: mais-QP a pour valeur sin b cos A, et l'an-le de QP avec OB est le complément de c; la projection de QP sur OB est donc
sin b -cos A sine; par suite,
cos a ■= cos 6 cos e + sin 4 sin c cos A.
On trouverait de même
cos 4 = cos e cos a + sin csin a cos B
et
cosc = cos a cos 6+ sin a sin 4 cos C.
L'équation
cos a = cos 6 eos e + sin b sin c cos A
donne
cos A =
cos a — cos 4 cos e sin 4 sin c
d'où
sin'A ■= 1 — cos 'A
sin '4 sin 'c— cos 'a — cos '4 cos '6+ 2 cos a cos 6 cosc
sin '4 sin 'c
Il en résulte
(1 — cos '4Wi — cos Jc)— cos 'a — cos'Acos'c + 2cosacos4coso = siu'isiri'c
l — cos *a — cos'fr — cos'e-f- 2 cos a cos 4 cosc. "" sin'isin'c
sin'A 1 — cos'a — cos'4 — cos'c + 2 cos a cos 4 cosc
sin1 a
• 1 . 1...I sin -a sin - 4 sin - c 2 2 2
La formule de '
sin1 A sin1 a
contenant symétriquement les trois côtés a, b, c, os en conclut que les valeurs de
sin1 B sin* 4
sin'C
sin1 c
seraient les mêmes, c'est-à-dire que sin'A sin'B sin' C sin1 a ~ sin* 6 — sin* c
TRIO
Cette formule générale en comprend six :
cotangasin 4 = cotang A sin C + cos b cos C
cotang4sina = cotang Bsin C + cos a cos C
cotang a sin e = cotang A sin B-f cosc cos B
cotang c sin a = cotang C sin B -)- cos a cos B
cotang 6 sin e = cotang B sin A -f- cos c cos A
cotang c sin A = cotang C sin A ■+- eos 4 cos A
Il ne reste plus à trouver que la relation entre les trois angles et un côté; pour cela, il
On en tire
cos A =
TRIG 50
cos a — cos 6 cos e ,
sin osir. c
d'où, en se servant des relations
■os A
et
— cos A
sin - A =
cos a — cos 4 cos e mu b sin c
b sin c + cos 4 cos c — cos a
2 sin 4 sin e
suffit d'appliquer l'une des formules fondamentales au triangle supplémentaire du proposé; soient ar, b', c' les trois côtés de ce triangle supplémentaire et A' un de ses angles, on aura
cosa' = cos 4' cos c' + sin 4' sine' eos A'; mais, comme a',b', c' A' sont respectivement les supplémentsde A, B,C,n, il en résultera j et
cosA = — cos B cos C -1- sin B sin C cos a; I
on trouverait de même
cosB =— cos A cos C + sîn A sin C cos 4
et
cosC = — cos B cos C + sin Bsin C cosc.
Telles sont les diverses relations caractéristiques entre quatre éléments d'un triangle sphérique, combinés successivement des quatre manières possibles. Ces formules seraient peu propres par elles-mêmes au calcul effectif de l'élément inconnu, mais on les transforme' de manière à pouvoir appliquer la méthode de calcul par logarithmes.
Reprenons d'abord la relation entre les trois côtés et un, angle
cos a = cos 4 cosc -J- stu "isinccosA.
, /cos (4 — c) — cos« — y 2 sin 4 sin c
sin - (a + 4 — c)sin - (a + c-4)
sin 4 sin c
cos - A =
cos a — cos b cos c sin b sin c
. /sin 4 sin e — cos b cos e -j- cos a = y 2 sin 4 sin c
. /cos a — cos (4 + c) ~ y 2 sin 4 sin c
+ 4 + c) sin-(4 + c— a)
sin 4 sin c
En divisant ces deux dernières formules membre à membre, on en tire
ou, si l'on désigne le périmètre a + 4 + c
par 2p,
l , i /sin (p — c) sintp — 4), tang ; A = y sinpSin(p-a) '
cette formule et les deun autres analogues,
1 t /sin {p — a) sin (p — c)
tang -B-y sin p si0 (p b)
et ___„
l . /sin(p — a)sin(c — 4)
tang ■ - y sin p Sin [p c)
servent à résoudre très-commodément un triangle dont on donne les trois côtés.
On en déduit immédiatement eelles qui se rapportent au cas où l'on donne les trois angles. Si, dans la formule
