sin(C — S)sin(B-i

cotang ; a = y sin , sin (a - .) '

et, en renversant ^___

1 4 / sin c sin (A — e)

tong l °'= V Sin(B-i)sin(C-.)'

formule à laquelle on peut adjoindre les deux analogues

l . / sin i sin (B — i)

tangi4=ys.n(A t)ain(C t)

l , I sin t sin (C — t)

tang - c = y sUl(A__tj si„(B — i)

ie Delambre.

■ /sînTp— t y sin

— Formules de Delambre. On a trouvé plus haut

sin - A

1 — c) sin (p — 4) > b sin c

ou que

sin A sinB sinC

^-^~- = ^^— — sa ■ ■

sin a sin 4 sin c Ainsi les sinus des angles d'un triangle sphérique sont entre eux comme les sinus des côtés opposés.

Pour trouver une relation entre deux côtés a, 4, l'angle compris C et un autre angle A, on peut éliminer e entre les relations cos a = cos b cos e + sin frsinccosA

et , ...

cosc = cos4cosa-f-sni4smacosC

en se servant subsidiairement de la relation

sin a sin C sin c —

sin A

par

enfin ♦

par

sin p sin (p — a)

2 y sin 4 sin c

et l'on'exprimerait d'une manière analogue

sin - B et cos - B.

Si, dans . A:

= sin — cos - ± cos - sin — , 2 2 2 2

on remplace

sm-,

par leurs valeurs, il vient

sin—, cos-,

sin - et cos -

sin

V si

— c) sin(p — b) sin p sia (p — 4)

sin 4 sin c

sin a sine

il vient alors

cos a = cos a cos '6 + sin a sin b cos 6 cos C + sin a sin 4 cotang A sin C cosasin'4 = sinasintcos6cosC-|-siunsin4sinCcotangA;

d'où, en divisant par sin a sin 4, cotangasin4 = cos6cosC + sin C cotangA,

Pour retenir nette formule, il est nécessaire de la traduire en langage ordinaire; pour cela nous remarquerons que les quatre éléments a, C, 4, A sont disposés consécutive-

ment dans le triangle, et que donnant le nom d'extrêmes à a et A, celui de moyens à C et 4, ou peut énoncer la formule en ces termes: Le produit de la cotangenie du côté extrême par le sinus du. côté moyen est égal à la somme des produits de la cotangente de l'angle extrême par le sinus de l'angle moyen et des cosinus des éléments moyens.

sm ■

. /sin(p— a)sin(p — g) sin p sin (p— a) y sin a sin c * sin 4 sin c

sin (p — 4) . /sin p sin (p — c). sin (p — a) . / sinp sin (p — ~ sin c y sin a sin 4 sin c V sin a sin 4

sin (p — i

•4) ± sin (p — a) • /sin p sin (p—e) sin c V flia a s'n *

1 sin (p — 4 ±sin (p — a)

su c

502 TRIG

Cette formule peut aussi s'écrire

2 sin (p — 6) :fc sin (p — a)

cos - C

ou, en décomposant,

sin - (A + B) . . , ,. , . , ,

2 sin (p — o) + sin (p — a)

1 „ — sin c

eos - C

2 si n [p -— I COS —

2 S1I1 -c cos- c 2 2

c'est-à-dire, comme

est identiquement

sin i (A + B)

cos - C

cos z(a — b)

cos - c

<sin - (A — B) . ,

2 sm (p — b) — sm (p — a)

l sin c

cos - C

2 sm cos -

2 sin - cos -

sin - {a — A) 2 '

sin - e

les formules

= cos — cos — rpsin - sm -, 2 2 2 2

traitées de \& même manière, donnent cos - (A*+ B) cos - (a + b)

sin - C

cos - c

cos -(A — B)

sin - (a +4)

sin - C

sm - c

— Analogies de Neper. En divisant membre à membre les formules de Delambre, qui se correspondent, on en tire

tang -(A + B)

cotang- C

. tang - (A - B) cotang - C

tang- (a + A)

tang-c

cos - (a — b)

cos - (a + b

sin - la — b)

sin - (a + b)

cos - (A — B) cosi(A + B)

tang- (a — o) sin -(A — B)

tang -c " 2

sin -(A + B)

ce sont les analogies de Neper.

Les formules de Delambre ou celles de Neper servent à résoudre un triangle, connaissant deux côtés et l'angle compris ou un côté et les deux angles adjacents.

Les deux derniers cas sont ceux où l'on donne deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux, ou deux, angles et le côté opposé; lesformules qui servent alors sont d'abord la

sin « = — cos

Si l'on veut avoir « par son cosinus, on développera

sin :

.A + B C, A + B.C = sm — — .cos - + cos — - — sm - ;

d'un autre côté, on a trouvé plus haut

.A + B CC0S~^ sin = cos - -

cos -

cos = sin —

en substituant, il vient a — b

COS l = cos'-

cos — \- cos* - I cos cos

cos-

cos -cos-- 2 2

sin - sin - I :

2 cos1

sin a sin b

il vient

- a b , cos - cos - + 2 2 '

cos c — cos a cos b

4 cos - cos- 2 3

4 cos' -nos* - + cos c • 2 2

• cos a cos b

abc

4 cos -cos - cos-

4 cos'- cos'-

+ 2 cos1- — 1 — ■ (2 cos'-— 1 j(2 cos1-— 1 \

abc

4 cos - cos - cos —

■ + cos1 - + cos1

abc

2 cos - cos -cos-

TRIG

proportion des sinus des angles aux côtés opposés, ensuite les formules de Delambre et de Neper, au moyen desquelles on obtient le dernier angle et le dernier côté. Ces deux derniers cas comportant deux solutions réelles ou imaginaires, admissibles ou non , la discussion en est un peu longue ; mais, précisément parée qu'ils comportent une indétermination, ils ne se rencontrent pas dans la pratique, ce qui nous permet de renvoyer aux traités spéciaux pour l'examen des difficultés qui s'y rattachent.

— Calcul de l'excès sphérique ou de la surface. L'excès sphérique 2t est défini par l'équation it + 2t = A + B + C ou

si les angles sont donnés, on aura immédiatement l'excès sphérique, mais nous supposerons que ce soient les côtés que l'on connaisse ; la formule précédente donne

TRIG

cos - cos - — sin -sin- + 2 cos' - sin -sin -

a b . a . b cos - cos - + sin - sin - cos C 2 2 2 2

en remplaçant dans cette formule cos C par cos c — cos a ços 6

Cette formule très-simple n'est pas propre au calcul par logarithmes; mais elle va servir a

donner d'abord cos 3, puis sin -, enfin tang-.

a 6 c , , a , tb c

2 cos- cos- cos- + cos' — h cos1 - -r cos' - — 1

2 COS' - « = 1 + COS ï'= r —