Sun

TRIS

II est facile de voir que les trois racines de cette équation sont réelles; en effet

ip' + 27q* s'y réduit à

27 27 sin' a

~Ï6+ 16 ' quantité évidemment négative quand a est réel, puisque sin* a est alors moindre que 1. La dérivée Ju premier membre, par rapport à l'inconnue

sin -a, est

3 Sin' 1/3 a — ,

dont l'équation Jt zéro donne

sin - a = ±-.

Les trois racines de l'équation étant réelles, il doit s'en trouver une entre les deux racines de la dérivée, tandis que les deux autres doivent être en dehors de ces racines ; d'ailleurs, ces racines doivent aussi être comprises entre — l et + 1 ; on en conclut que les trois racines doivent être comprises respectivement dans les intervalles de — 1 à ,

de à +-, enfin de + - à + 1.

La substitution successive des quatre limites à la place de

justifie pleinement ces prévisions; en effet, les résultats auxquels elle conduit sont

— 1 + sin a, l + sin a, — l -f sin a

et 1 + sin a,

et ont, par conséquent, alternativement le signe — et le signe +.

Les trois valeurs de sin - a étant réelles, 3 '

on ne peut pas se servir de la formule de Cardan pour les calculer; mais l'examen de la question concrète fournit aisément l'expression trigonornétrique de ces valeurs, et c'est la solution ainsi obtenue qui fournit en sens contraire les formules de résolution de l'équation du troisième degré lorsqu'elle peut se ramener au type

, 3 . sin a x' x -\

Les arcs qui répondent à, un sinus donné sont compris dans les formules

2/cs-f i et (2/<r-f-l)Tt — o, a désignant l'un d'eux et k représentant un nombre entier quelconque; les tiers de ces arcs sont compris dans les formules

2/ra + a (2À -(- l)n — o

. — - (jt .

et forment ainsi deux progressions par différence, dans chacune desquelles la raison est

- 2it ,

de sorte que, de trois en trois, ils ont mêmes extrémités et, par conséquent, même sinus. Chaque progression ne fournit donc que trois arcs essentiellement distincts, que l'on obtient, par exemple, en donnant successivement a k les trois valeurs 0, 1 et 2.

Mais, aux six arcs ainsi obtenus

« it a 2na « 4 k a 5iu a

il ne correspond effectivement que trois sinus différents; en effet

. - et «

sont supplémentaires, ainsi que

et — h-,

et quant aux deux derniers,

H — et ,

leur somme étant 3n, ils ont encore même sinus.

Les racines de l'équation