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Fia. n.

coin, qui n'est autre chose qu'une portion de voûte sphérique.

Les voûtes sphéroïdes ou en cul-de-four sont formées par une ellipse ou une imitation

Fig. 1».

d'ellipse; la disposition d'appareil qui leur convient le mieux, tant pour la solidité que pour la précision et la facilité de l'exécution, est aussi la disposition par rangs horizontaux en forme de couronne. La figure 18 représente une voûte sphéroïde sur plan circulaire. Les pendentifs, qui, comme oa l'a vu plus

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haut, servent à établir un plan circulaire ôil elliptique sur uni plan carré ou polygonal quelconque, sout des triangles sphériques, qui paraissent ne porter que sur une pointe. Pour corriger ce mauvais effet et «grandir en même temps le diamètre de la voûte sphérique qu'ils continuent, on a adopté, dans certains cas, une disposition en pan coupé en ligne droite, qui transforme la face des pendentifs en une surface irrégulière, a laquelle on a donné le nom de sphérico-cylindrique, et qui est terminée par trois arcs de cercle et une ligne droite, a sa base. Les voûtes en pendentifs s'appareillent par rangs de voussoirs horizontaux, ou par voussoirs disposés en forme de panache ; ce mode d'appareil leur a fait donner le nom de panaches. La surface de ces derniers est supposée formée par des arcs de cercle, qui, au lieu d'être compris dans des plans qui tendent à l'axe du dôme, la sont dans des plans qui se réunissent dans l'intérieur de chaque pilier.

Dans les voûtes composées, formées de la réunion de plusieurs parties de voûtes simples, les rangs des voussoirs sont disposés comme ils le seraient dans les voûtes dont ils proviennent. Ainsi, dans les voûtes d'arête et celle d'arcs de cloître, composées de parties de voûtes cylindriques dont les axes se croisent au centre, les rangs des voussoirs sont parallèles à ces axes. Les voûtes d'arête , telles

Fig. 13.

que celle que représente la figure 13, sont composées de parties triangulaires qui ont des angles pour appui; de plus, les rang3 de voussoirs forment dans ces voûtes des angles saillants, qui sout d'autant plus aigus que le nombre des côiés du polygone sur lequel elles sont projetées est plus grand ; il en résulte que les voûtes d'arête sur un plan

fiolygonul ont d'uutant moins de solidité que a nombre des côtés est plus grand.

Les voûtes d'arête établies avec des ogives prennent le nom de voûtes d'arête gothiques *, elles sont à une seule, à double ou à triple arête; les figures 13, U et 15 font voir la forme qu'adopte chacune d'elles. Ces sortes de voûies ne sont composées que d'une combinaison d'arcs droits ou segments de cercle, qui se réunissent pour former différents compartiments; l'endroit où tous ces aies se rencontrent est la clef de lu voûte, que l'on taille en pyramide tronquée et renversée. Dans tes voûtes à double arête {figure m) , au lieu d'un seul plan coupant les parties de berceau eu lunettes, on suppose deux sections au droit de chaque pénétration, formant ensemble un anjrle plus ou 'moins ouvert, et l'intervalle qu'elles laissent entre elles est rempli par une troisième partie de berceau qui se raccorde avec les deux autres. Les voûtes gothiques à triple arête (figure 15) ne sont qu'une combinaison d'arcs droits qui su réunissent à une clef centrale ou à plusieurs autres clefs particulières, en raison des compartiments que ces arcs forment entre eux. Ces voûtes sont encore dites à nervures, lorsque les arêtes sont appareillées en matériaux de grosse dimension, et que le remplissage est effectué avec des pierres de petit échantillon. Ces nervures, qui font saillie sur l'ensemble de la voûte , ont reçu différents noms, suivant leur place, leur but et les efforts qu elles' supportent ou qu'elles it'Miiaineuent.

Les voûtes en éventail, dont l'origine peut

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être assignée au commencement du xve siècle, furent substituées aux voûtes primitives, pour obvier aux difficultés de construction qui résultaient pour ces dernières de l'em-

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plot immodéré des nervures. Ces voûte$} engendrées par la révolution d'arcs de cercle autour de leur naissance, présentent une fa- I cilité d'exécution qu'on ne peut atteindre

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Fig. H.

avec les précédentes, les nervures étant différentes les unes des autres. Dans beaucoup de ces voûtes, le plan de chaque travée est un carré; alors chaque partie .en éventail occupe en plan un quart de cercle, et l'espace au sommet de la voûte est couvert d'une décoration formée de plusieurs cercles. Dans les grands espaces, la travée carrée augmentant outre mesure l'étendue des parties en éventail, on a adopté le parallélogramme. La construction de ces voûtes est très-variée ; on en trouve des exemples fréquents en Angleterre, où elles ont, pour ainsi dire, pris naissance.

Les voûtes en arc de cloître sont composées de parties triangulaires; chacune d'elles a pour base le mur auquel elle correspond. On peut observer que chaque partie de voûte en arc de cloître se trouve formée par celles qu'on a retranchées des deux berceaux qui so croisent pour engendrer \a.voûte d'arête cor-

Flg. 16.

respondante, c'est-à-dire faite sur un plan de même figure et de même grandeur. Ces sortes de voûtes présentent une grande solidité et, en raison de leur forme, ont beaucoup moins de c-iussée que celles d'arête. Les rangs de voussoirs qui se recoupent forment des angles rentrants, qui deviennent d'autant plus ouverts que le polygone a plus de côtés;

Flg. 16.

"Cette condition, inhérente à la construction

Fig. n.

le ces voûtes, les rend beaucoup plus solides;

dérer comme des voûtes d'arc de cloître d'une infinité de côtés, sont les plus solides et celles qui poussent le moins. Les voûtes de ce genre établies sur des plans irréguliers ont une forme désagréable et présentent peu de solidité; c'est pourquoi on les évite autant qu'il est possible. La figure 16 montre la disposition des voussoirs et des lignes de joints pour une voûte en arc de cloître sur un plan carré.

Les voûtes coniques, dont la définition a été donnée plus haut, peuvent être représentées ici par les trompes droites dans l'angle rachetant un angle saillant et dans un angje rentrant. Comme le montre l'appareil des ligures 17, 1S et 19, tous les joints de l'arc de

Fig. 18.

d'où il suit qu'à diamètre et à cintre égaux, les voûtes sphériques, que l'on peut cousi-

ffig. 19.

face tendent à l'angle qui forme le sommet du cône , et les voussoirs vont en diminuant de largeur jusqu'à la pierre centrale, appelée trompillon.

— Construction des voûtes. Les matériaux employés le plus communément pour construire les voûtes en maçonnerie sont : les pierres de taille, les moellons de toute espèce, les briques et le béton. Les formes et les dispositions que l'on donne à ces matériaux sont soumises à des règles générales, que nous allons énumérer rapidement. L'analyse suivante de Monge, des voûtes en pierre de taille, résume ces règles d'une manière à la fois simple et pratique : « Les voûtes en pierre de taille sont composées de pièces distinctes, auxquelles on donne le nom générique de voussoirs. Chaque voussoir a plusieurs faces, qui exigent la plus grande attention dans l'exécution : 1° la lace qui doit faire parement, et qui, devant être une partie de la surface visible de la voûte, doit être exécutée avec la plus grande précision ; 2° les faces par lesquelles les voussoirs consécutifs s'appliquent les uns contre les autres, et qu'on nomme généralement joints. Ceux-ci exigent aussi la plus grande exactitude dans leur exécution, car, la pression se transmettant d'un voussoir à l'autre, perpendiculairement à la surface des joints, il est nécessaire que les deux pierres se touchent par le plus grand nombre possible de points, afin que, pour chaque point de contact, la pression soit la moindre, et que, pour tous, elle approche le plus de l'égalité, [f faut donc que dans chaque voussoir les joints approchent le plus de la véritable surface dont ils doivent faire partie, et, pour que cet objet soit plus facile à remplir, il faut que la surface des joints soit de la nature la plus simple et de 1 exécution la plus susceptible de précision. C'est pour cela que l'on fait ordinairement les joints plans. Mais les surfaces de toutes les voûtes ne comportent pas cette disposition; dans quelques-unes, on blesserait trop les convenances si l'on ne taillait pas les joints suivant une surface courbe. On choisit, autant qu'il est possible, pour celle-ci, celles d'entre les surfaces courbes qu'il est le plus facile d'exécuter, soit celles qui sont engendrées par le mouvement d'une ligne droite et qui sont développables.... Une des principales conditions auxquelles la forme des joints des voussoirs doit satisfaire, c'est d'être partout perpendiculaires à la surface de la voûte que ces voussoirs composent; car si les deux angles qu'un même joint fait avec la surface de la voûte étaient sensiblement inégaux,, celui de ces angles qui excéderait l'angle droit serait capable d'une plus grande „ résistance que l'autre , et, dans l'action que * deux voussoirs consécutifs exercent l'un sur l'autre, l'angle plus petit que l'angle droit serait exposé à éclater, ce qui, au moins, déformerait la voûte et pourrait même altérer sa solidité et diminuer lu durée de l'édifice,

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Lors donc que la surface d'un joint doit être courbe, il convient de l'engendrer par une droite qui soit partout perpendiculaire à la surface de la voile, et si l'on veut de plus que Ja surface soit ùéveloppable, il faut que toutes les normales à la surface de la voûte, et qui composent, pour ainsi dire, le joint, soient consécutivement deux à deux, dans un même plan. Cette condition ne pouvant être remplie, a moins que toutes les normales ne passent par une même ligne de courbure de la surface de la voûte, il faut, si les surfaces des joints des voussoirs doivent être développables, que ces surfaces rencontrent celle de la voûte dans ses lignes de courbure. D'ailleurs, avec quelque précision que les voussoirs d'une voûte soient exécutés, leur division est toujours apparente sur la surface; elle y trace des ligues très-sensibles, et ces lignes doivent être soumises à des lois générales et satisfaire à des convenances particulières, selon la nature de la surface de la voûte. Parmi ces lois générales, les unes sont relatives à la stabilité, les autres à la durée de l'édifice ; de ce nombre est la règle qui prescrit que les joints d'un même voussoir soient rectangulaires entre eux, par la même raison qu'ils doivent être eux-mêmes perpendiculaires à la surface de la voûte. Aussi les lignes de division des voussoirs doivent être telles, que celles qui divisent la voûte en assises soient toutes perpendiculaires à celles qui divisent une même assise en voussoirs. Quant aux convenances, il y en a de plusieurs sortes; mais il en est une principale : c'est que les lignes de division des voussoirs, qui, comme on vient de le voir, sont de deux espèces, et qui doivent se rencontrer toutes perpendiculairement, doivent aussi porter le caractère de la surface à laquelle elles appartiennent. Or, il n'existe pas de lignes sur la surface courbe qui puissent remplir en même temps toutes ces conditions , que les deux suites de lignes de courbure, et elles les remplissent complètement. Ainsi, la division d'une voûte en voussoirs doit donc toujours être faite par des lignes de courbure de la surface de la voûte, et les joints doivent être des portions de surfaces développables formées par la suite des normales à la surface, et qui, considérées consécutivement, sont deux à deux dans un même plan, en sorte que, pour chaque voussoir, les surfaces des quatre joints et celle de la voûte soient toutes rectangulaires. » A cette analysa de Monge, il faut ajouter les considérations suivantes : une condition qui doit être généralement observée dans la construction des voûtes, c'est que les voussoirs soient en nombre impair et placés symétriquement de chaque côté de celui qui doit se trouver au milieu de la voûte, pour la fermer, et que, pour cette raison, on nomme clef. Les dimensions des voussoirs dépendent des pierres que l'on a k sa disposition. Cependant, il ne faut pas que leur longueur soit trop grande par rapport k leur épaisseur, parce qu'ils se rompraient; il faudrait, dans ce cas, les composer de plusieurs morceaux.

La construction des voûtes comprend quatre phases distinctes : 1° l'établissement et le levage des cintres, pour l'explication desquels nous renvoyons au mot cintrk ; 2» l'exécution de la maçonnerie sur cintres; 3° le décintrement (v. ce mot) ; 4° les travaux complémentaires qui ne peuvent être faits qu'après le décintrement.

— Exécution des voûtes. 1° En pierre de taille. Après avoir taillé et disposé les voussoirs d'après les règles précédentes, on procède à leur pose. Pour faire cette opération, on commence d'abord par établir la division des voussoirs, à chacune des extrémités du cintre, en marquant les points de division sur les couchis, soit par des encoches, soit en implantant des pointes; puis, lors de la pose de chaque rang de voussoirs, ou trace au moyen de règles, sur les couchis, la ligne d'arasa du lit supérieur de ce rang, en tendant un cordeau entre les points marqués. Afin de diriger tous les plans de joints normalement à l'intrados, on se sert de fausses équerres, dont l'un des côtés est une certaine longueur de l'arc d'intrados, et l'autre côté une normale à cet arc. Pour la pose des voussoirs, on interpose dans chacun des joints un lit de mortier d'une épaisseur uniforme de 0^,015 pour les voûtesde grande dimension, et d'au moins 0m,008 pour les petites ; puis on les affermit, au fur et à mesure de leur pose, au moyen d'un maillet eu bois, alin de ne

Îias faire d'écoruures, et l'on veille à ce que es vides qui peuvent exister entre les lits et les joints, par suite de défauts dans les pierres , soient remplis avec des éclats enfoncés k bain de mortier. Les deux côtés de la voûte se montent en même temps, d'abord puur que leurs poussées se fassent équilibre sur le cintre et ne le détruisent pas, et ensuite pour que, les mortiers prenant la même consistance des deux côtes, le tassement qui a lieu après le décintrement soit égal. On Be commence une nouvelle assise de voussoirs que quand la précédente est terminée; cependant, depuis quelques années, on suit une autre méthode , qui a l'avantage de diminuer la charge sur le cintre et de ne la placer que progressivement. A cet effet, oh commence par poser sur cales tous les voussoirs de tête, puis on fiche les joints au ciment de Vassy. Ces deux tètes

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terminées, on procède k la pose des voussoirs intermédiaires, pour lesquels on emploie le même mode de fixation, c'est-à-dire qu'on les pose sur cales et qu'on les fiche au ciment au fur et k mesure, mais de manière k avoir toujours au moins deux assises non fichées, afin de ne pas déranger les voussoirs posés. Ce mode a été appliqué pour la première fois à la reconstruction du pont Notre-Dame, k Paris. La partie la plus délicate de l'exécution d'une voûte est sa fermeture, qui doit être faite de manière a limiter, autant que possible, l'abaissement au sommet lors du décintrement. Cette opération se fait de plusieurs manières différentes; la méthode suivante est celle que l'on préfère aujourd'hui. Elle consiste k poser à sec sur les cintres les contre-clefs et la clef, en les espaçant de manière à réserver l'épaisseur des joints, a remplir ensuite ces derniers en y coulant du mortier de ciment. Ce dernier étant coulé, on ébranle un peu chaque pierre afin de bien le faire pénétrer sur tous les points, ou on l'enfonce en le fichant avec une truelle. La plupart des voûtes fermées de cette manière ont éprouvé des affaissements peu sensibles lors du décintrement.

20 En petits matériaux. Pour les voûtes en moellon, brique, etc., le mode d'exécution est k peu de chose près le même que pour les voûtes en pierre de taille. Les joints ne doivent pas se correspondre dans deux assises voisines, et quand la voûte est en moellon ou meulière piqués, ou en brique, on trace les joints longitudinaux sur les couchis. Les moellons ou meulières doivent être un peu plus épais à la queue que vers le parement de douelle ; s'il en est autrement, il faut remplir tous les vides résultant des moellons maigres de queue, au moyen d'éclats de pierre dure, qu'on enfonce k bain de mortier. Dans ces dernières années, M. de Lagallisserie, ingénieur des ponts et chaussées, lit l'application du ciment de Vassy. Le pont aux Doubles et le Petit-Pont, à Paris, sont établis avec ce ciment et ont démontré les avantages que l'on peut tirer de son emploi dans ce genre de travaux. La prise du mortier étant presque instantanée, la voûte ne forme alors qu'un seul voussoir après son achèvement, et n'éprouve aucun tassement sensible au décintrement. La pression à la clef se reporte d'une manière plus uniforme sur la totalité de l'épaisseur, et la force de cohésion du mortier dans chaque joint, tendant à diminuer notablement cette pression, permet de réduire sans danger la flèche et 1 épaisseur k la clef. Les mortiers à prise prompte, tels que le plâtre, les ciments, etc., et les matériaux bien gisants permettent d'établir certaines voûtes sans faire usage de cintres. A cet effet, on les construit par zones obliques, que l'on ferme au fur et k mesure, afin que l'équilibre de la voûte ait lieu successivement.

— Théorie des voûtes. Les conditions da l'équilibre mathématique des voûtes ont occupé un grand nombre de géomètres et de savants; Parent et de La Hire, de l'Académie des sciences, passent pour être les premiers mathématiciens qui aient cherché à les déterminer; ils ont d'abord considéré les ootlias comme un assemblage de voussoirs ou pierres taillées en forme de coin, susceptibles de glisser sans obstacle les unes sur les autres comme des corps dout les surfaces seraient infiniment polies. La Hire, dans son Traité de mécanique, imprimé en 1695, a admis, pour évaluer les actions qu'une voûte excerce contre ses culées, l'existence d'un groupe de forces qui, eu égard aux dimensions de la voûte, paraissait conforme k la réalité. Il admet que. toute voûte a la faculté de se rompre, de telle sorte qu'il y a un joint de rupture placé à égale distance de la clef et de la naissance. Il considère les parties supérieure et inférieure de la voûte, y compris la culée, comme deux solides invariables et sans joints, et il calcule la pression au joint de rupture en le regardant comme absolument poli et en attnibuant k la partie supérieure la fonction d'un coin qui exerce une pression normale contre le joint de rupture. Dans les Mémoires de l'Académie des sciences de 1729, Couplet adopte d'abord l'hypothèse des voussoirs polis; puis, en 1730, il considère les matières dont on compose les voûtes comme des corps tellement grenus qu'ils ne peuvent pas glisser. En 1732, Danisy, de l'Académie de Montpellier, fit des expériences publiques pour déterminer, l'épaisseur qu'il est indispensable de donner aux pieds-droits pour les mettre à même de résistera la poussée des voûtes. Le père Dorand et M. Gautier, architecte et ingénieur des ponts et chaussées, ont aussi établi des règles qui ne paraissent malheureusement reposer sur aucun principe.

M. Frezier, dans son Traité théorique et pratique de la coupe des pierres, a rappelé les théories de La Hire, Couplet, Bernouiili et Danisy ; il est le premier qui ait tenté de les appliquer aux voûies sphériques, sphéroïdes, annulaires et composées. Plus tard, Eytel- ■wein perfëctionnala théorie de La Hire sous le nom de théorie du coin; il la fit suivre d'une discussion où il considère le frottement entre les voussoirs et cherche les conditions d'équilibre de glissement, en supposant que les pierres de la voûte ne puissent être en équilibre sans l'intervention d'un frottement.

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Coulomb présenta, en 1773 , k l'Académie des sciences, un mémoire sur l'équilibre des voûtes; il porta son attention, non-seulement sur l'équilibre de glissement, que La Hire prenait pour base unique de sa construction, mais aussi sur les conditions réelles de l'équilibre derotation. Cette théorie, qui estencore adoptée aujourd'hui, a été successivement développée et perfectionnée par MM. Audry, Navier, Persy, Petit et Poncelet. En 1774 et 1776, Bossut fit imprimer deux mémoires sur la théorie des voûtes en berceau et sur celles en dôme. En Italie, MM. Lorgna et Muscheroni, de Bergame, publièrent, chacun de son côté, vers 1785, des ouvrages où il est question des coupoles à bases circulaire, elliptique et polygonale. Les auteurs allemands Gerstner, Knochenhauer et Schubert fondent la théorie des voûtes sur la considération d'une chaînette ou de courbes analogues; après avoir imaginé que les points d'application des pressions résultantes sur les différents joints soient réunis par une ligne qui, pour des voussoirs de dimension finie, est polygonale, et pour des voussoirs infiniment minces, est une couche continue, ils cherchent sous quelles conditions cette ligne sera en état de supporter les charges afférentes à la voûte, parla résistance longitudinale de ses éléments et les réactions latérales aux sommets d'angle. Pour exposer les conditions d'équilibre des voûtes, divers auteurs font usage d'une théorie nouvelle, fondée sur la considération des courbes des pressions ; suivant M. Poncelet et divers auteurs, Moseley serait le premier qui ait pris pour base la courbe des pressions et qui ait cherché à lever l'indétermination où demeurait la vraie courbe des pressions parmi toutes celles qui sont possibles dans une voûte stable ; il y est arrivé en introduisant dans la science le principe de la moindre résistance, développé et perfectionné par M. le docteur Hermann Scahffler, dans son Traité de la stabilité des constructions, traduit et annoté, en 1864, par M. Victor Fournie, ingénieur des ponts et chaussées. D'autres auteurs ou écrivains, tels que M. Victorin Chevallier, ingénieur en chef des ponts et chaussées, réclament en faveur de M. Mery, ingénieur français, la priorité sur M. Moseley, pouravoir, dès 1829, rédigé un mémoire sur la stabilité des voûtes se fondant sur la théorie des courbes des pressions, tandis que M. Moseley n'aurait fait paraître ses études qu'en 1833, 1837 et 1843. Cette méthode de la courbe des pressions, telle que Méry et Moseley l'ont développée, laisse subsister l'indétermination qu'on renco'ntre dans une voûte stable ; en effet, ces auteurs ne cherchent que les courbes correspondantes au minimum et au maximum de la poussée, et ils avancent que, dans chaque àemï-voûte, la première courbe doit nécessairement toucher l'intrados près des naissances, et l'extrados dans le voisinage du sommet, et que la seconde doit toucher l'intrados près du sommet et l'extrados près des naissances. M. Hagen, en 1844, fonde également la théorie des voiles sur la considération de la courbe des pressions; il fixe, une fois pour toutes, le point d'application de la poussée à la clef, au milieu de celle-ci, et le point inférieur de la courbe des pressions au milieu du joint des naissances, et il exige, en outre, que cette courbe passe par les milieux de tous les joints. M. Weisbach base simultanément la théorie des voûtes sur la chaînette et la courbe des pressions. M. Barlow (1847) adopte la théorie de Moseley, en considérant la courbe enveloppe de la courbe des pressions. M. Cavallo, ingénieur des ponts et chaussées, en 1853, fit paraître un mémoire sur la recherche de la position de la courbe des. pression, en admettant que la uoilre est surmontée de tympans en maçonnerie, identiques à la matière des voussoirs, et eu supposant les joints des voussoirs verticaux ; dans cette théorie purement analytique, cet ingénieur rend la courbe des pressions complètement iud épendante de l'extrados. En 1854, M. V von- Villarceau a publié, dans le Hecueii des savants étrangers, un mémoire sur la théorie des voûtes, dans lequel il admet que les matériaux superposés k la voûte peuvent, par certains artifices de construction, presser comme un liquide de densité égale à la leur, c'est-à-dire exercersur chaque voussoir des actions normales à l'extrados, avec une intensité proportionnelle à la hauteur.de l'horizontale qui limite le remplissage de la voûte au-dessus de ce voussoir. Il est amené k admettre en principe que la résultante des efforts appliqués sur chaque voussoir passe par le centre de gravité du voussoir en étant en chaque point tangente k la courbe des centres de gravité, et, par conséquent, normale aux divers joints tracés suivant le rayon de courbure de cette courbe, A l'aide de cette théorie, on obtient une forme de voûte dont la stabilité n'exige ni l'intervention des frottements ni la cohésion» du mortier, et qui exerce en chaque point des matériaux une égale pression. Il existe encore beaucoup d autres théories et un grand nombre d'expériences faites dans le but de chercher la solution du problème indéterminé déséquilibre des voûtes; jusqu'à ce jour, rien de bien positif n'a simplifié la détermination des dimensions à donner au corps des voûtes ainsi qu'à leurs culées; on eu estencore, malgré tous les savants mémoires, à l'époque

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des tâtonnements et des hypothèses; toutefois, la théorie de Coulomb et la recherche de la courbe des pressions mettent à même de construire des voûtes en équilibre et de se rendre compte, imparfaitement, mais suffisamment pour la pratique, de la manière dont les pressions se transmettent de voussoir en voussoir.

La figure et le» dimensions générales d'une voûte sont déterminées par la destination de l'édifice dont cette voûte fait partie. Ainsi, on regarde ordinairement comme données l'ouverture de lu voûte, la courbe d'intrados, la hauteur des pieds-droits, la distribution des poids que la voûte doit supporter. On sa donne aussi d'avance, d'après l'exemple des constructions analogues à celle que l'on projette, et regardées comme les plus parfaites, l'épaisseur de la voûte au sommet. Celte épaisseur est conservée la même dans toute l'étendue de la voûte, ou bien on l'augmente progressivement du sommet aux naissances.

Lorsque les dimensions d'une voûte et de ses culées sont réduites au point de ne pouvoir se soutenir, on remarque, au moment où l'équilibre va se rompre, qu'en général la voûte s'ouvre, comme l'indique la figure cidessous, k l'intrados k la clef, k l'extrados en des points dans les reins de la voûte, et que les pieds-droits tournent autour do l'arête extérieure de leur base. Quelquefois, k la rupture, on remarque que la voûte se fend k la clef et dans les reins, mais sans s'ouvrir, et que les pieds-droits glissent sur leur base. Il existe encore un troisième cas poss.ble : c'est celui où le voussoir inférieur exerce, pour tomber en avant, un effort plus grand que Celui que produit le voussoir supérieur pour le faire tourner en sens contraire. Alors la voûte s'ouvre, comme dans le premier cas, mais k l'extrados à la clef, à l'intrados aux reins, et les pieds-droits tournent autour de l'arête intérieure de leur base.

cA 0

Fi". 20.

Premier cas. On peut considérer une voûte comme composée de quatre voussoirs séparés parles joints où laruptureestpossible.se maintenant mutuellement en équilibre. Au moment où l'équilibre se rompt, on peut supposer théoriquement que les voussoirs ne posent plus entre eux et sur le sol que par des arêtes a, o, b', c et c' (voir figure ci-dessus); alors ab, bc, ab', b'd sont entre eux dans même état d'équilibre que les droites rigides ab, bc, ab', b'c', dont les poids sont ceux des voussoirs, et dont les centres de gravité sont placés aux points G', g', etc., situés sur les verticales passant par les centres de gravité G, «7, etc., des voussoirs. Pour abréger les calculs relatifs à la poussée des voûtes, on ne considère qu'une tranche.de voûte de 1 mètre de longueur, et s'il y a" équilibre sur 1 mètre, il e>t évident que l'équilibresubsiste dans toute l'étendue delà voûte. — Soient: ad = x;de- x' ; ef = y; fc = y' ; bh = z; ci = s; P le poids du voussoir ab et Q celui du voussoir bc. Le poids P appliqué en G' ou même en A se décompose en deux forces

verticales, l'une P-, appliquée en a, et l'autre

P appliquée en b. Le poids Q, agissant

en g' ou même en t, se décompose également en deux forces verticales , l'une Q —,

appliquée en b, et l'autre Q — — , appliquée

en c. Les voussoirs de droite fournissent les mêmes composantes. Ainsi, au point a agit

une force verticale 2P -, qui se décompose

en deux forces égales dirigées l'une suivant ab et l'autre suivant ab'. Représentant par C l'une de ces composantes, ou a

xy

Cette force, agissant suivant ab, peut être supposée appliquée au point b, où elle sa décompose en deux autres : l'une verticale,

égale à P -, et l'autre horizontale et égale

à P -. Considérant alors le voussoir bc, on

voit qu'il est sollicité par la force horizontale P-, appliquée au point b, et par les forces verticales Q, P et P - appliquées,

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la première au point g et les dernières au point b ; par conséquent, pour que ce voussoir nit de la skibiliié, on doit avoir, tout calcul et toute simplification faits,

(1) Qs+Px'—P ^- >0.

Ajoutant Pz — Ps au premier membre de cène inégalité, on a

Qi'+ P (a/+ z) — ( Pz + P ^ )>0.

Qjr' est le moment du voussoir bc pris par rapport au point c; P ix'+z) est le moment du voussoir ab, pris par rapport au même point; par conséquent, la somme des deux expressions est égale au moment total MA de la demi-uoilte, pris par rapport au point c; on a M = Q+ P, ou le poids de la demivoûte, et A la distance horizontale du centre de gravité de la ûemi-voûte au point c. Le dernier terme du premier membre de l'inégalité précédente devient, en réduisant au même dénominateur,

Pz°-