JY

^7— = (X — g) pa If = (X — ? (distance de ts (antipôle, centre de rotation) à la direction JY’ du déplacement Xp v ^ moment statique des y par rapport à P, lequel est la rotation autour de ts.

= I ? (somme des poids élastiques) X p<. (distance à P du centre de gravité des y) X (X — g) distance à la direction JY’ de l’antipôle ts.

= Moment centrifuge des y par rapport à P et JY’

suivant

JX’

— = — ( 1 —VPa S y = — (1 — r, ) distance de ts (antipôle, centre de

rotation) à la direction JX’ du déplacement Xp .1 y moment

sialique des y par rapport à P, lequel est la rotation autour

de ts.

= ï y (somme des poids élastiques) X pt (distance à P du centre de gravité des y) X (Y — >j) distance à la direction JX’ de l’antipôle ts.

= Moment centrifuge des y par rapport à P et JX’.

Ainsi une torce P produit sur l’extrémité libre B et sur tout point J qui lui est invariablement lié, une rotation P p j y autour de son antipôle par rapport à l’ellipse centrale des poids élastiques y,, y4, .... entre l’appui fixe et P ( Ep de f5). Appelons-la l’ellipse « élastique »5 de cette partie d’arc.

L'ellipse centrale & (fj de toutes les masses y jusqu’à l’appui de droite est l’ellipse « élastique »5 de l’arc: son centre çfj. est le centre élastique; c’est le centre de gravité des masses y concentrées aux centres des ellipses des tranches.

seur à l’Ecole île Zurich, \Y. Ritter en a fort développé l’application", sous le nom d’ellipse d’élasticité.

Comme on désigne ainsi une autre ellipse, on peut appeler celle-ci « ellipse élastique ».

On arrive vite à la notion de cette ellipse, mais à l’aide de théorèmes qui ne sont pas couramment enseignés dans nos cours. Sur ce sujet, on lira très utilement : de Ritter, un appendice à la 3e Partie de ses « Applications de la Statique graphique »"* ; de M. le Professeur Guidi : « l’Ellisse di Elasticité nella scienza delle costruzioni » Turin 1904.

J’ai suivi une méthode moins élégante, qui ne suppose que des connaissances élémentaires usuelles.

* Culmann « Die graphische Statik » — p. 122 renvoi 3 — Traduction française p. 530.

** Ritter « Anwendungen der graphischen Statik nach Professor Culmann. (2"' Partie p. 1 17, 1G9 Zurich, 1890 — ”* 3’ Partie p. 259 Zurich, 1900 — 4* Partie p. 197 Zurich, 1906).

COMMENT ON CALCULE UNE VOÛTE

Les rotations P p,^t, P/>;?s , .... s’effectuent autour de l’antipôle de P par rapport aux ellipses des tranches T( Tt, .... (fj Elles se composent comme des forces parallèles6 en une rotation résultante autour de tz antipole de P par rapport à l’ellipse élastique de l’ensemble des tranches à gauche de P, antipole qui est ainsi le centre de gravité des rotations Ppty, , P appliquées aux antipôles de P par rapport aux ellipses de chaque tranche.

Art. 2. — Pour le centre élastique de l’arc.

Considérons le centre élastique é|, de l’arc entier comme invariablement lié à l'appui libre B (f ) ; prenons-le comme origine des coordonnées et calculons ses déplacements.

Les formules de l'art. 1, avec X = 0 Y = 0, deviennent :

iOG / rotation \ P # %

— - — j sous une J = J) 1 ? moment statique des ? par rapport à P.

P \ force 1 j

Dépla-

cements

du

centre élastique sous une force 1

Suivant CO Y ÇY ~ P~

Suivant <■

«SX —='P*ïi

Moment statique des <? par rapport à Px distance à é|Y. direction du déplacement, de l’antipôle 77! de P par rapporta l’ellipse E . Moment centrifuge des f par rapport à P et à ÇY.

Moment statique des f par rapport à Px distance à c]X de l’antipôle tz de P

Moment centrifuge des <? par rapport à P et

à gx.

6. — Soit (f,) un point A0 soumis successivement aux 2 rotations :

autour de O, — qui l’amène en A, A„ A, = O, A0 x wt autour de O* — qui l’amène en A4 A, A* = Ot A, x

Prenons, pour axe des œ, O, Os, (tour axe des y, la perpendiculaire à O, CL passant par A0

0'Vo = A0 A, cos « = O, A0 cos a x u, = ÿ0 «I Sy o = A0 A, sin >1 = 0, A0 sin ■/. x w, = X, u,

Ja;, = A, A, cos ji — O, A, o// 1 ~ A, A* sin y3 = CL A,

cos fi x = >J, <■>. = (ij o + ôy0) oit = y o o»4 f

sin ^ x = (Xt — ôu'o) o,t = X4

en négligeant oitôy0, oitôa!0

A.Co = ô."Co + ZXt = I/o (W| + «■!*) MJo - S i/o + oi/, = X, 01, + X4 w4

Appliquons aux points O,, 04 des poids oit, oit. Soit Oa leur centre de gravité. On a, (moment par

rapport à O) :

Xs («, -I- 01t) = X,W, + X.S 0,

Faisons tourner A0 de o,, + o>, autour de O, — Les coordonnées du déplacement sont :

\ ■ Vo — !Ja + blf) — A.C0 A’i/o = Xi (w, + 014) = X, u, + X4VJS = AI/o

Par cette rotation, A0 vient directement en As.