Théorème de Culmann p

MOUVEMENTS D'uN POINT LIÉ A UNE RETOMBÉE SUPPOSÉE LIBRE

Déplacement

SOUS une force 1

suivant JY'

suivant JX'

/ tOY p

' -, = (X — Ç) jo X? = (X — () distance de rs (antipôle, centre de rota-

lion) à la direction JY' du déplacement X /> 1 <p, moment

Statique des 7 par rapport a P, lequel est la rotation autour

de zs.

= I y (sommo des poids élastiques) Xp^ (distance à P du centre

de gravité des y) X (X — Ç) distance à la direction JY' de

Tantipôle ts.

= Moment centrifuge des ^ par rapport à P et JY'

' -^p — = — (Y — >î) /)q X ^ = — (Y — ri) distance de ts (antipôle, centre de

rotation) à la direction JX' du déplacement X />q Î y moment

statique des<)> par rapport à P, lequel est la rotation autour

àezs.

= 2 î» (somme des poids élastiques) Xp^ (distance à P du centre

de gravité des y) X (Y — ti) distance à la direction JX' de

l'antipôle zs.

= Moment centrifuge des ^ par rapport à P et JX'.

Ainsi une force P produit sur l'extrémité libre B et sur tout point J qui lui est inva-

riablement lié, une rotation ^p^ î 7 autour de son antipôle par rapport à l'ellipse centrale des poids élastiques y^, 7,, .... entre l'appui fixe et P ( E^ de fj. Appelons-la l'ellipse «t élastique » ^ de cette partie d'arc.

L'ellipse centrale S (fj de toutes les masses y jusqu'à l'appui de droite est l'ellipse « élastique »' de l'arc: son centre ^ est le centre élastique; c'est le centre de gravité des masses ^ concentrées aux centres des ellipses des tranches.

5. — Culmann a, le premier, indiqué celte ellipse* : il l'appelait «ellipse centrale des-zrr" ». Son successeur à l'Ecole de Zurich, \V. Ritler en a fort développé l'application'*, sous le nom d'ellipse d'élasticité.

Comme on désigne ainsi une autre ellipse, on peut appeler celle-ci « ellipse élastique ».

On arrive vite à la notion de cette ellipse, mais à l'aide de théorèmes qui ne sont pas couramment enseignés dans nos cours. Sur ce sujet, on lira très utilement : de Hitter, un appendice à la Z^ Partie de ses « Applications de la Statique graphique »•** ; de M. le Professeur Guidi : « VEllisse di Elasticità nella scienza délie costruzioni » Turin 1904.

J'ai suivi une méthode moins élégante, qui ne suppose que des connaissances élémentaires usuelles.

• Culmann « Die graphische Statik » — p. 122 renvoi 3 — Traduction française p. 530.

•• Ritter « Anwendungen der graphischen Statik nach Professa r Culmann. (2"' Partie p. 117, 169 Zurich, 1890 — •••3* Partie p. 259 Zurich, 1900 -- 4" Partie p. 197 Zurich, 1906).

COMMENT ON CALCULE UNE VOUTE

Les rotations Pp,?, , Pp.?, . s'effectuent autour de Tantipôle de P par rapport aux

ellipses des tranches T^ T,, (fj Elles se composent comme des forces parallèles* en une

rotation résultante autour de rs antipôle de P par rapport à l'ellipse élastique de l'ensemble des

tranches à gauche de P, antipôle qui est ainsi le centre de gravité des rotations Pp^^», , Pp,?,,

appliquées aux antipôles de P par rapport aux ellipses de chaque tranche.

Art. 2. — Pour le centre élastique de l'arc.

Considérons le centre élastique ^, de l'arc entier comme invariablement lié à l'appui libre B (fj ; prenons-le comme origine des coordonnées et calculons ses déplacements.

Les formules de l'art. 1, avec X = Y = 0, deviennent :

(j^ / rotation \ p

( sous une ) = jo \j momcnt statique des ^ par rapport à P.

* \ force 1 /

Déplacements du

centre élastique sous une

force 1

Suivant (J:>\

Suivant tOX

= ''i'„Sf

Moment statique des f par rapport à Px distance à ^Y, direction du déplacement, de l'antipôle cr de P par rapporta l'ellipso E .

Moment centrifuge des f par rapport à P et à^Y.

Moment statique des y par rapport à P X distance à ^X de l'antipôle sr de P

Moment centrifuge des ^ par rapport à P et à ÇX.

'^h\ '^=^ iî?

oL" : "j i:.io,'j 5j io, ja

6. — Soit (f,) un point Ao soumis successivement aux 2 rotations :

r.», autour de O, — qui Tamène en A, Ao A» = O, Ao x «^ ûj, autour de O, — qui Toniène en A, A, A, = O, A, x «^

Prenons, pour axe des .r, O, 0„ pour axe des xj, la perpendiculaire à Oi O, passant par Ao

Ixxt — Ao Aj cos a » Oi Ao cos « x w^ » j/o u, oi/o = Ao Aj sin a = O, Ao sin x x ui = X| &i|

5^, = A. A. cos /3 ==0. A. cos /3 x .. = r/ , a,. = (i/o + l^.) .>. = I/o a,. ) ^^ négligeant «.Si/o, ^^^o 01/, = A,- A, sin )8 = O, A, sin ;3 x «» = (X,— o^^o) w, = X, w,(j ^ ° • -^ •

AJÎo = Saîo + 'i^'Ci — I/o (W4 + &»,) A^o = St/o + Sl/t = X, ûi, + X, 0»,

Appliquons aux points O», O, des poids w„ ca,. Soit O, leur centre de gravité. On a, (moment par rapport à O) :

Xj (ûl, + Wt) — X| «I + Xi CD,

Par cette rotation, Ao vient directement en A,.