NOTIONS ÉLÉMENTAIRES D’ALGÈBRE

Expose. — L’algèbre a pour objet de résoudre d’une manière générale et d’après des formules données tous les problèmes relatifs aux quantités; c’est, en un mot, l’arithmétique généralisée.

En arithmétique, les quantités sont toutes exprimées par des chiffres limités à deux valeurs, celle absolue et celle relative : il en résulte que , pour les problèmes de même espèce mais de données différentes, il faut chaque fois refaire la succession des opérations numériques indiquées par la règle, parce que le résultat, qui diffère suivant les données , ne laisse aucune trace des opérations effectuées.

En effet quand, par suite d’une ou de plusieurs opérations arithmétiques, on est arrivé à un résultat, 16 par exemple , ce nombre 16 n’indique en aucune manière s’il provient de la multiplication de 4 par 4 ou de 2 par 8, ou de l’addition de 12 avec 4, ou en général de toute autre combinaison; le résultat arithmétique est donc complètement abstrait.

En algèbre, au contraire, les quantités sont exprimées par des caractères généraux qui , n’ayant aucune valeur particulière, sont par cela même susceptibles de prendre

toutes les valeurs possibles. Les résultats généraux que donne l’algèbre laissent l’indication des opérations qui y ont conduit, et sont ainsi des formules qui, par la substitution des valeurs numériques aux lettres, permettent la résolution directe et sans tâtonnement du problème.

L’objet principal de l’algèbre est donc de donner des formules qui indiquent clairement les opérations à effectuer pour résoudre les problèmes; et l’essentiel, pour l’élève, est de pouvoir varier ces formules, pour déterminer la valeur de chacune des quantités.

Définitions. — L’algèbre se compose de caractères et de signes. Les caractères sont les lettres de l’alphabet ; les premières , jusqu’à la lettre v, désignent ordinairement les quantités connues; les lettres#, y, s, indiquent généralement les quantités inconnues.

Les signes pour indiquer les opérations algébriques sont comme en arithmétique :

Le signe ( +),plus , indique l’addition; ainsi pour ajouter b avec c et d, on écrit pour simplifier b + c + d.

Le signe ( — ), moins , désigne la soustraction; pour retrancher b de a, on écrit a — b.

Le signe(x), multiplié par, désigne la multiplication; pour multiplier a par 6, on écrit a y. b.

Le signe (:) indique la division ; pour diviser a par b

on écrit a : b , ou encore 7

Le signe (=) désigne l’égalité ; pour indiquer que a est égal à b on écrit a = b.

Annotations algébriques. — On appelle coefficient tout nombre qui précède une quantité , pour désigner com-

bien de fois elle doit être ajoutée ; comme 3 m qui simplifie et remplace m + m + m. Toute lettre qui n’a pas de coefficient, est censé avoir l’unité pour coefficient; ainsi c = lcetc + c — 2 c.

On appelle exposant un nombre qui, placé à la droite et un peu au-dessus d’une quantité, indique combien de fois elle doit être multipliée par elle-même ; comme b 3 qui indique et simplifie 6x6x6. Toute lettre qui n’est pas accompagnée d’un exposant est censée avoir pour exposant l’unité: ainsi 6 est la même chose que 6 '

Les parties d’une quantité, séparées par les signes + ou — s’appellent termes.

Les termes sans signes ou précédés du signe + sont positifs ; ceux accompagnés du signe — sont négatifs.

Une quantité composée d’un seul terme s’appelle monôme, ainsi — c ou + m df sont deux monomes.

Une quantité composée de deux, trois , ou plusieurs termes prend le nom de binôme, trinôme, polynôme. Ainsi o 6 — c est un binôme ; a b — cf + g est un trinôme ; m n + g — h + fr est un polynôme.

Les'quantités sont dites semblables, quand elles ont les mêmes lettres, les mêmes exposants, et qu’elles ne diffèrent que par les signes et les coefficients ; les termes b c — 6 6<? + 36c sont semblables.

On opère en algèbre sur les lettres, comme en arithmétique sur les nombres: ainsi on les ajoute, on les soustrait, on les multiplie, on les divise, etc.

Addition.

Pour ajouter ou réunir plusieurs quantités sembla-

blés, on fait précéder la lettre commune d’un coefficient qui exprime combien de fois cette quantité doit être ajoutée. Pour ajouter 6 à une même quantité b x on écrit 2 b; de même pour réunir c à 2c et à 3c, on écrit 6c.

Quand les quantités sont dissemblables , on ne fait qu’indiquer l’addition au moyen du signe 4*. Ainsi pour ajouter d avec m et b on écrit d +m +b ; pour additionner a avec b et a on écrira après réduction 2 a + b.

L’addition des polynômes s’effectue en ajoutant les coefficients et en réunissant en une seule les quantités semblables. Ainsi le résultat de l’addition des quantités6a+4c +26 + 5a+-2c +36donne lia +6c + 56.

Lorsque dans l’addition à effectuer, il existe des quantités positives et des quantités négatives semblables, on ajoute ensemble les coefficients des quantités positives semblables , puis ceux des quantités négatives de même espèce^ on soustrait le plus petit coefficient du plus grand, on donne à la différence le signe du plus grand, et on met à la suite de cette réduction les quantités dissemblables avec leurs signes.

Ainsi pour réunir :6a — 26 +5d +ka +Td — c — 2a — 3d, on prend ensemble + 6a + 4a ou 10a dont on retranche'— 2a, et il reste après réduction, +8 a,- on ajoute de même +5 d +7 d ou 12ddont on soustrait — 3d, ce qui donne + 9rf, et l’on a pour somme réduite ou simplifiée, 8 a +9 d — 26 — 2 c. Cette simplification s’appelle réduction des termes semblables.

Soustraction.

La règle générale pour effectuer la soustraction des quantités algébriques consiste à changer les signes de tous les termes de la quantité à soustraire, mais on conserve toujours entre la quantité principale et la quantité à soustraire le signe (— ) qui indique l’opération.

Pour retrancher b de a on écrit simplement a — b. Pour soustraire une quantité semblable d’une autre, l'opération s’effectue sur les coefficients; ainsi 6c— 4c = 2c.

Si la quantité à retrancher d’une autre semblable est plus grande que la quantité principale, le reste est négatif; ainsi 4 c — 6c = — 2 c.

Lorsque la quantité à soustraire est composée de plusieurs termes, on suit la règle générale : le résultat de la soustraction de (8a — 3 b + c) dont on retranche 7 tu

— 2 d + /, devient 8 a — 3 b + c — 7 m + 2 d — f. Quand le reste de la soustraction contient des termes

semblables, on en fait la réduction.

Exemple : Soit à soustraire de la quantité (4a + 2 b

— 5 c) la quantité (3 a — b + 3e).

Le résultat, d’après la règle , est d’abord 4 a + 2 b

— 5c — 3a + 6 — 3c, puis après réduction, il se simplifie ainsi : a +36 — 8c.

Multiplication.

On distingue la multiplication des monomes et celle des polynômes.

La multiplication des monomes ou d’un terme par un terme comprend 4 règles : 1° la règle des lettres , qui consiste à les écrire à la suite l’une de l’autre sans ipterposition de signes. Ainsi pour multiplier a par 6 on écrit simplement a b.

2° La règle des coefficients qui consiste à les multiplier l’un par l’autre, comme en arithmétique; le produit de 5 d par 2/ égale 10 df.

5° La règle des exposants, qui consiste à les ajouter; ainsi le produit de a par a — a*, comme celui de b x b 2 x b * donne b 7 . Cet exposant 7 simplifie b x. b x. b X b X 6 x b x b.

4° La règle des signes ; cette règle exige que le signe du produit soit positif toutes les fois que les signes à multiplier l’un par l’autre sont semblables , et négatif quand les signes des facteurs sont différents. Ainsi + ab X cb = + acb 2 , de même — ab x —cb = + acb 2 , mais + ab x — cb = — acb* et — ab x + cb — — acb 2 .

En appliquant ces quatre règles à la multiplication des deux monomes + 5 a* b*c et — 3 a 2 bc 3 ; on obtient pour produit — 15a 5 6 3 c 4 . Pour effectuer cette multiplication, on commence par les signes qui, étant différents, donnent au produit le signe —, puis on multiplie les coefficients 5 et 3 qui donnent 15, le produit de a * par a 2 = o 5 , celui de b * par b = b *, et celui de cpar <?* = c\

De même le produit de 26 d 2 / par cdf 2 serait 26 d 3 f'c.

Multiplication des polynômes. — Dans cette multiplica-

tion il faut, comme en arithmétique, placer le multiplicateur sous le multiplicande, puis multiplier successivement chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur, en observant les règles des monomes et en faisant sur le produit la réduction des termes semblables. L’opération peut du reste se faire en allant de gauche à droite ou réciproquement.

1" exemple : Soit à multiplier 2 a + b par c + d.

On écrit 2 a + b

2ca + cb

2da + db -, ......

Produit = 2co -h 2 da + cb-\-db.

Pour effectuer cette opération, on multiplie 2 a par c , ce qui donne 2 ca, puis b par c , ce qui donne cb; l’expression 2c a + cb est le premier produit partiel ; on multiplie ensuite 2 a par d, cequi donne le premier terme 2dadu deuxième produit partiel , puis b par d , ce qui donne d b. Le produit total se compose de la somme des produits partiels et devient 2 c a + 2 da + cb + db.

2* exemple : Soit à multiplier la somme de deux quantités a et b par leur différence a— b.

Or, a b et —a b se détruisent et le produit = a 1 — 6* ou égale la différence des quarrés des quantités données.

Ce produit n’est autre qu’une formule algébrique qui indique une fois pour toutes que le produit de la somme

de deux quantités par leur différence égale la différence des quarrés de ces quantités. Or, cette formule évite de recommencer chaque fois l’opération ; elle indique que pour ce problème , quelles que soient les valeurs de a et b , il suffit de retrancher le quarré de la deuxième quantité du quarré de la première.

Si « = 6 et b = 4 , on aura de suite a s — b* ou 36—16 =20, tel est le produit; c’est ici une application de l’importance des formules algébriques.

En arithmétique, par l’absence de cette formule, il faudrait à chaque valeur différente de a et b , refaire la multiplication de la somme par la différence pour obtenir la solution du problème.

Division.

La division algébrique se subdivise en division des monomes et division des polynômes.

La division des monomes comprend, comme la multiplication , la règle des lettres , la règle des coefficients , celle des exposants et la règle des signes :

La règle des lettres consiste à supprimer dans le quotient les lettres communes au dividende et au diviseur.

La division de a b par b c donne pour quotient -

Quand il n’y a aucune lettre commune ; la division n’est pas exécutable; elle ne fait que s’indiquer, en disposant le dividende et le diviseur sous forme de fraction ;

aussi bf\g h s’écrit —, ff

La règle des coefficients suit la division arithmétique,

aussi 15al5ô=—

La règle des exposants consiste à retrancher les exposants du diviseur de ceux du dividende; ainsi a 5 :a 2 =a 3 comme b 3 c 2 ‘bc—b 2 c.

Cependant si l’exposant est le même dans le diviseur que dans le dividende, le quotient est égal à l’unité : ainsi a*:a*=l.

La règle des signes consiste à donner au quotient le sigue + quand les signes du dividende et du diviseur sont les mêmes, et le signe — quand les signes sont différents. Aussi + a[ + b — +% de même — a\ — b— + %

mais +a[ — b=—~ comme — a\+b = — — b b.

En appliquant ces quatre règles à la division des monômes on obtient les résultats suivants.

1° Soit à diviser 12 a 4 b 3 c 3 par — h a 3 b k c 3 .

Les signes étant différents, le signe du quotient sera négatif ou —, le quotient de 12 par 4 = 3, le quotient de a 3 par a* = a, celui de b 3 par b 3 = b~* parce que le diviseur est plus grand que le dividende et ô 3 \c 3 = c\ par suite le quotient total est — 3 a b~ l c 2 .

2° Soit à diviser le monome 25 b ’ c*/par le monome

5 b 8 c g, le quotient

hbc' f 9 •

Division des polynômes. Pour diviser un polynôme par un monome , il faut diviser chaque terme du dividende par le diviseur , en observant les quatre règles de la division des monomes.

Soit 20 a 8 6 2 + 6 ô* — 8 a 2 b 6 àdiviser par 2 b*.

On pose le diviseur à la droite du dividende et le quo-

tient au-dessoqs du diviseur comme en arithmétique.

Divid. — 20a 3 6®+66 5 — 8a®6 6 1 26® diviseur

10a 3 + 36 5 — 4a*6 3 quot.

— Pour diviser un polynôme par un polynôme, on dispose les termes du dividende et du diviseur de manière à ce que l’exposant d’une môme lettre commune diminue de gauche à droite ; cette disposition, qui s’appelle ordonner une quantité suivant les puissances descendantes d’une même lettre, étant faite, on divise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur, et on écrit ce quotient sous le diviseur. On multiplie successivement tous les termes du diviseur par le quotient , et on porte les produits sous le dividende, en observant de changer leur signe pour effectuer la soustraction. On fait alors la réduction des termes semblables , puis on écrit au-dessous le reste qui doit être considéré comme un nouveau dividende partiel, pour continuer la division du premier terme de ce dividende partiel par le premier terme du diviseur pour avoir le deuxième terme du quotient et ainsi de suite.

Cette manière d’opérer est la même qu’en arithmétique, à la seule exception qu’au lieu de faire à chaque produit du quotient par le diviseur, la soustraction du dividende, on écrit tous les produits sous le dividende, pour ne les soustraire qu’en dernier.

Opérons sur un exemple : Soit à diviser le polynôme — 13 a* 6® + 8 a 4 -- 3 a6 3 — 2 a 3 6 par le polynôme ' 5 a 6 + 4 a ® + 6 ®.

Le terme 8 a 4 ayant la lettre commune a affectée du plus fort exposant , on ordonne le dividende et le divi— leur suivant cette lettre, et l’on pose la division ainsi :

Di vidende.— 8 a*— 2 a 3 b — < 3 a 2 b 3 a b 3 1 4 a 2 +5 a b+b 2 divis .

’roduit du divis. parle 2a 1 — Saôquot.

prem. terme du quou — 8 a i — 10 a 3 &— 2 a 'b 2

Prem. divid. partiel.— 12 a 3 b — 15 a 2 b 2 — 3 a 6 3 ’roduit du divis. par le

deux, terme du quot.+H a 3 fc+15 a s i> J +3 a b 3 Reste = 0.

Le quotient de 8 a 4 par 4 a* devient 2 a 2 . On effectue e produit de tout le diviseur par ce terme du quotient, ît le produit 8 a * + 10 a 3 b- j-2 a b % s’écrit sous le divileude ; on change tous les signes de ce produit que l’on oustrait du dividende, et on pose en dessous, après réuction des termes semblables , le premier dividende artiel — 12 a 3 b — 15 o 2 b 2 — 3 a b 3 . On divise le preïier terme de ce dividende ou— 12 a 3 b par le premier erme 4 «* du diviseur, et le quotient — 3aô est le leuxième terme que l’on pose à la suite du premier. On ffectue la multiplication de tout le diviseur par le leuxième terme du quotient , on place le produit sous a premier dividende partiel , on effectue la soustraction >ar le changement des signes , et après réduction des ermes semblables, on obtient 0 pour reste ; donc le diiseur est contenu exactement dans le dividende. Pour ’érifier l’exactitude de la division, il faudrait qu’en mulipliant le diviseur par le quotient, et en ajoutant le reste le la division s’il y en a un, le produit fût égal au diviiende.