ÉQUATIONS

Une équation est la réunion de deux ou plusieurs

quantités séparées par le signe =.

Ainsi a = c + d est une équation ; de même l’expression 7 + 8 =9+6 est une équation. La première, qui est exprimée en lettres , s’appelle équation littérale ; la

seconde , composée de chiffres, est dite équation numérique.

Dans une équation on distingue par 'premier membre toutes les quantités placées à la gauche du signe = , et par second membre , toutes les quantités placées à la droite de ce signe.

Dans l’équation 3 x + 9 = 33 , les quantités 3 a; et 9 forment le premier membre, et 33 le second.

Les quantités d’une équation sont de deux espèces ; les quantités connues et celles inconnues; dans l’équation précédente 3# est la quantité inconnue, 9 et 33 sont les quantités connues.

Les équations peuvent contenir une ou plusieurs inconnues.

L’équation x+l = 12 est à une seule inconnue x.

L’équation x+ y — 6 = 15 est à deux inconnues x, y.

L’équation x + y + z = 45 est à trois inconnues x ,

Hi *•

Les équations se subdivisent en plusieurs classes ou degrés que l’on distingue par l’exposant de la quantité inconnue.

Ainsi l’équation x = a + b est du premier degré.

L’équation x * = g + h est du second degré, et ainsi de suite.

Les équations sont d’un grand usage pour résoudre les problèmes. Pour résoudre algébriquement les questions que l’on peut proposer sur les quantités , il faut 1° rechercher dans la nature de la question , les rapports qui existent entre les quantités connues et celles inconnues; cette recherche, qui n’est soumise à aucune règle

et qui s’acquiert par une intelligence réfléchie et une grande habitude, s’appelle la mise en équation du problème ; 2° déduire de ces rapports et au moyen de règles invariables , la valeur des quantités inconnues ; cette se-

conde partie s’appelle la résolution de l’équation.

Avant de donner les règles pour la résolution d’une équation , il est essentiel d’indiquer les transformations que l’on peut faire subir aux quantités dans une équation.

L’inconnue dans une équation peut être engagée dè quatre manières différentes, par addition , par soustraction , par multiplication et par division.

Pour dégager ou isoler l’inconnue quand elle est engagée avec d’autres quantités connues, on fait passer ces quantités dans le second membre en changeant leurs signes.

Premier exemple : x + 4 = 12 ; l’inconnue x est engagée avec 4 par voie d’addition, on la dégage en faisant passer 4 dans le second membre avec le signe — et l’on a x = 12 — 4=8.

Deuxième exemple : x — 16 = 24 ; l’inconnue x est engagée par soustraction avec la quantité 16 , on la dégage en écrivant x = 24 + 16 = 40.

Troisième exemple : kx = 20 ; l’inconnue x est engagée par multiplication , on la dégage par l’opération

contraire, et l’on a x =— = 5.

OC

Quatrième exemple : - = 4 ; l’inconnue x est engagée par division, on l’isole en faisant passer le diviseur

5 comme multiplicateur dans le second membre, etd’on obtient x — 4 x 5 = 20.

Cette faculté d’isoler l’inconnue permet de déterminer sans aucun tâtonnement ni travail de tête, la valeur, d’une inconnue, car toutes les quantités connues se trouvant ainsi dans le deuxième membre, il n’y a qu’à effectuer les opérations indiquées pour connaître l’inconnue. On reconnaîtra encore mieux cet avantage dans l’exemple suivant : . .

h 6 — 2 = 12 ; en dégageant x d’après la règle , on

Cette règle peut se généraliser ainsi : tout terme peut passer d’un membre d’une équation dans l’autre , en l’effaçant dans le membre où il se trouve , et en le plaçant dans l’autre membre avec un signe contraire. Il résulte de là la faculté de faire passer dans un môme membre toutes les quantités inconnues, et dans l’aütre toutes les quantités connues.

S’il se trouve des termes égaux dans les deux membres d’une équation , et affectés du môme signe, on peut , pour simplifier , les supprimer ; ceci conduit à dire que l’on peut ajouter ou soustraire, multiplier ou diviser les deux membres d’une équation sans la troubler.

Ces diverses transformations que l’on peut faire subir aux quantités facilitent la lecture et l’intelligence des formules algébriques, ce qui est très-important pour déterminer les valeurs des quantités dans les formules données.

Exemple : Soit proposé de déterminer successivement

au moyen de la formule R = les valeurs de L, S

et y, on obtient d’après les règles précédentes

et en substituant aux quantités les valeurs connues, on

aurait la valeur de chacune des quantités cherchées.

Equations du premier degré à une seule inconnue.

Pour résoudre une équation du premier degré à une seule inconnue , il faut 1° faire disparaître les dénominateurs des termes qui en sont affectés , en réduisant tous les termes au même dénominateur, et en supprimant ensuite ce dernier;

2° Faire passer dans un même membre toutes les quantités inconnues, et dans l’autre toutes les quantités connues. . • •

3° Faire la réduction des termes semblables.

i° Dégager l’inconnue. ;

Exemple : Résoudre l’équation numérique :

1 r « transformation : -y + - g g- = -y + y + y

Ou simplifiée : 12# + 54 — G# — 3# + 42 + 18.

^transformation: 12# —6# — 3# = 42 + 18 — 54. î' transformation : 3# = 60 — 54 = 6.

». ' ' l , i i-jn » ' *•« 1 [ i 1

4* transformation : x =*= — = 2, valeur de l’inconnue.

La vérification d’une équation s’obtient en substituant

à l’inconnue , dans la première équation posée , sa valeur numérique ; alors en effectuant les opérations indiquées , les deux membres de l’équation doivent être identiques :

Ainsi 4- 9 -2 = | + 7 + 3 ou 14 = 11,

Equations du premier degré à plusieurs inconnues.

11 faut, en général, poser autant d’équations qu’il y a d’inconnues dans le problème à résoudre. S’il y a deux inconnues il faut deux équations; pour trois inconnues il faut trois équations et ainsi de suite.

Pour résoudre une équation à deux inconnues, on se

guide sur la règle suivante :

Prenez dans chaque équation la valeur d’une môme inconnue, égalez ces deux valeurs, et vous n’aurez plus qu’une équation à une seule inconnue, dont vous déterminez la valeur par les règles précédentes. Cette inconnue étant trouvée , vous substituez sa valeur dans les deux premières équations , pour obtenir la valeur de l’autre inponnue.

Exemple : Soient les deux équations à deux inconnues 3x + 2 y — 18 et 5 x + 3 y =29.

La valeur de x dans la première équation est :

La valeur de x dans la deuxième équa-

tion est x =

Égalantes deux valeurs différentes de x, on forme

l équation unique — - = — - — — a une seule m-

connue y.

En opérant les transformations indiquées par la règle, on obtient en dernier lieu y — 3.

Alors pour avoir la valeur de l’inconnue x , on substitue dans les deux premières équations posées la valeur de y.

Ces deux équations deviennent 3 x -f- 2 x 3~= 18 et 5 a; + 3 x 3 = 29; dans chacune d’elles on obtient x = h.

Pour résoudre les équations à trois inconnues, il faut prendre dans chacune d’elles la valeur d’une môme inconnue ; on égale alors la première valeur à la deuxième et la deuxième à la troisième, ce qui produit deux équations à deux inconnues au lieu de trois, et on opère comme précédemment.

Exemple : Soient les trois équations :

De la première équation, l’on obtient aprèsles transformations usitées + ;