IV >J ' > ® V

De la deuxième équation, on trouve x — Ën

et de la troisième : x = ^ Itz .

Égalant la première valeur de a? à la deuxième , on obtient l’équation à deux inconnues :

Egalant la deuxième valeur de a; à la troisième, on a

aussi 26 + 2 y-3* 48-5y = 4s 5 8 :

Ces deux équations à deux inconnues deviennent après transformations :

La première 180 — 15 y + 10 s = 156 + 12 y — 18 s. La deuxième 208 + 16 y —24 s = 240—25 y + 20s.

Prenant dans chacune de ces équations les valeurs de y , on a de la première, y — e t de la se-

conde, y = — — .

Ajoutant ensemble ces valeurs de y , on forme l’équa-

tion à une seule inconnue

d’où

après transformations s = == 3.

Pour avoir la valeur de y, il faut substituer à s sa valeur dans les deux .équations à deux inconnues précédentes et l’on obtient y =±= 4. Enfin pour obtenir la valeur de x , il faut substituer les valeurs de y et s dans l’une

des trois équations primitives, et l’on trouve, après les transformations usitées, x — 5.

La règle générale, s’il y avait un plus grand nombre d’inconnues, et par suite d’équations, consiste à prendre

dans chaque équation la valeur d’une même inconnue, puis à égaler l’une de ces valeurs à chacune des autres , ce qui donne chaque fois une équation et une inconnue de moins ; on opère sur ces nouvelles équations pour éliminer une autre inconnue, jusqu’à ce qne l’on arrive à une équation ne contenant qu’une seule inconnue , dont on détermine la valeur réelle , pour la substituer dans les équations précédentes et arriver successivement à la valeur de toutes les inconnues.

Équations du deuxième degré.

On sait déjà qu’une équation de second degré est celle qui renferme la deuxième puissance de l’inconnue.

Lorsque l’équation ne renferme d’autre puissance de l’inconnue que lequarré, il faut dégager le quarré de l’inconnue de toutes les quantités qui l’accompagnent, puis extraire la racine quarrée de^chaque membre.

Premier exemple : Soit à résoudre l’équation du

deuxième degré = 50.

En dégageant l’inconnue, on obtient x *= — - —

ou x 3 = -£- • , .

D’où x =

2 e Ex. : Soit à résoudre l’équation — X* = — - -H 54;

O là

Faisant disparaître les dénominateurs, on obtient 12a:* = 3a? 2 + 324. '

Puis 9 x 2 = 324 et x % = — d’où x = — 6.

Mais une équation du deuxième degré n’est pas toujours sous une forme aussi simple : ainsi elle renferme ordinairement outre le ou les termes qui contiennent le quarré de l’inconnue, ceux qui renferment la première puissance de l’inconnue, puis les quantités connues.

Dans ce cas, il faut, après avoir fait disparaître les dénominateurs, faire passer dans le premier membre toutes les quantités inconnues, et dans le second toutes les quantités connues; puis rendre positif le signe de l’inconnue à la deuxième puissance, en changeant , s’il y a lieu, le signe de tous les autres termes, et enfin dégager l’inconnue.

Ces opérations préliminaires ne sont qu’une préparation de l’équation du deuxième degré, pour faire du premier membre un quarré parfait; cela posé, pour résoudre une équation du deuxième degré, il faut :

1° Prendre la moitié de la quantité connue qui multiplie x dans le deuxième terme ; 2° élever cette moitié au quarré, etajoutercequarréàchaquemembrede l’équation ; le premier membre sera alors un quarré parfait ; 3° extraire la racine quarrée de chaque membre et mettre devant le second les signes ± , l’équation se trouve alors réduite au premier degré.

Exemple : Résoudre l’équation du deuxième degré x i 2 + 6 x — 1*6.

La moitié de la quantité 6 qui accompagne x est 3; on ajoute le quarré de 3 ou 9 à chaque membre.

Ce qui donne la nouvelle équation x 2 + 6x + 9 = IG + 9 ou 25.

On extrait la racine quarrée de x *, celle de 9 et celle de 25; x + 3 est la racine quarrée du premier membre, parce que le quarré d’une quantité composée de deux termes contient toujours le quarré du premier terme, le double produit du premier parle second et le quarré du second ; or x 2 est le quarré du premier terme, 6x est le double produit du premier x par le second 3, et 9 est le quarré du second ; c’est-à-dire qu’en élevant x + 3 au quarré on obtiendrait x 2 + G a; + 9.

La nouvelle équation devient x +.3 = ±5. D’où x — 2.

Vérification x 2 ou 4 4- G x ou 12 ou enfin 16 = 16.

On fait précéder la racine du signe + ou — parce que quand le multiplicande et le multiplicateur ont chacun le signe positif ou négatif, le produit est toujours affecté du signe + . Or, lorsque l’on a à extraire la racine quarrée d’une quantité qui a le signe + , on doit indifféremment donner le signe + ou — à la racine quarrée, car —5 x — 5 comme + 5 x + 5 = 25, produit positif.