rayon
l m 35 x 2 = 2 m 70, diamètre.
2° Pour déterminer la circonférence d’un cercle dont on connaît le rayon, multipliez ce rayon parlr. ou 6,2832.
Exemple : Quelle est la circonférence d’un cercle dont le rayon égale l m 35.
l ra 35 x 6,2832 = 8 m 5.
Si l’on connaît le diamètre , on le multiplie directement par 3,1416. Dans l’exemple précédent on aurait 2,70x3,1416 = 8“5 pour la circonférence.
Surface du cercle. La surface du cercle est égale à son périmètre ou à sa circonférence, multipliée par la moi-
tié du rayon, ce qui donne la formule : surface cercle = H
cire, ou 2 it R x — Or on peut supprimer 2 au numéra-
teur et au dénominateur, puis R x R = R a . Alors la formule se simplifie ainsi : surface cercle = iç R 2 , et donne
lieu aux deux règles suivantes :
1° Pour trouver la surface d’un cercle dont on connaît
le rayon , multipliez le rayon par lui-même et par 3,1416, le résultat donnera la surface du cercle.
Exemple : Quelle est la surface d’un cercle dont le rayon = l m 05.
1,05 x 1,05 x 3,1416 = 3 m 1 46, surface du cercle.
2° Pour mesurer le rayon d’un cercle dont on connaît la surface , divisez cette surface par 3,1416 et extrayez la racine quarrèe du quotient , cette racine sera le rayon.
Exemple : Quel est le rayon d’un cercle dont la surface = 3 m a 46.
- g 1M6 = l m H025 et V 1,1025 = 1®05, rayon du
:ercle. >
Dans certaines circonstances où il est plus facile de’ onnaître le diamètre d’un cercle que le rayon , on déermine la surfpce du cercle par la nouvelle formule.
Surface cercle = rD x^ ou simplement^— ou
1,785 X D 2 , d’où l’on tire la nouvelle règle : multipliez e quarté du diamètre par la décimale 0,785 , le produit ionnera la surface du cercle.
Exemple : Quelle est la surface d’un cercle dont le diamètre égale 2"10?
Observation : Quand on connaît la surface d’un quarré, on obtient la surface du cercle inscrit ou dont le diamètre égale le côté du quarré , en multipliant la surface du quarré par 0,7854.
Exemple: La surface d’un quarré =4, quelle est celle du cercle inscrit ?
Réciproquement, connaissant la surface du cercle inscrit, on obtient la surface du quarré circonscrit, ou dont le côté égale le diamètre , en multipliant la surface du cercle par 1,273.
Exemple : La surface d’un cercle = 3,1416, quelle est celle du quarré circonscrit ? f-
3,1416 x 1,273 = 3,999 ou à très-peu près = 4.
Secteur de cercle. On appelle ainsi la surface a comprise entre deux rayons. La règle pour déterminer la surface d’un secteur (fig. 8) consiste à multiplier la longueur développée de l'arc du secteur par le rayon du cercle , et la moitié de ce produit exprime la surface.
Exemple : Quelle est la surface d’un secteur dont l’arc a = 12“ 25 et dont le rayon est de 8“12?
Segment de cercle. On appelle segment la partie b du cercle comprise entre l’arc et la corde qui en joint les extrémités (fig. 8). On détermine la surface d’un segment b, en retranchant de la surface du secteur A la superficie du triangle c.
En supposant le secteur A égal à en superficie , et le triangle c égal à 7 m - 1- en surface, celle du segment b serait 12—7=5 mètres quarrés.
Surface annulaire. — Pour trouver la superficie de tout espace renfermé entre deux cercles concentriques, ajoutez ensemble le diamètre extérieur et intérieur , multipliez leur somme par leur différence et par la décimale 0,7854, le produit exprimera la surface.
Exemple : Les diamètres de deux cercles concentriques (fig. 9) sont de 8 centimètres et 5 centimètres. Quelle est la surface de l’anneau plein ?
Somme =8 + 5 = 13. Différence = 8 — 5 =3.
13 X 3 x 0,7854. = 30 cenl < ï 63, surface annulaire.
Ellipse. — Pour déterminer la surface d’une ellipse (fig. 10) , multipliez le grand axe AB par le petit axe CD et par la décimale 0,7854, le produit indique la surface.
Exemple : Quelle est la surface d’une ellipse dont le grand axe égale 10 centimètres et le petit axe = 8 centimètres?
10 x 8 X 0,7854 = 62 cent q 84.
Contour de V ellipse. — Multipliez la demi-somme des deux axes par 3,1416, le produit exprimera à très-peu
près le contour de l’ellipse. Ainsi dans l’exemple précédent : p 8 ou 9 x 3,14-16 = 28^2744, contour de
l’ellipse.
Mesures des surfaces irrégulières , et applications des règles précédentes à C arpentage.
La mesure des terrains exige l’emploi de quelques instruments dont il est utile de donner l’indication.
Chaîne métrique. — On a déjà vu que la chaîne métrique, qui a dix mètres de long , et dont chaque mètre , indiqué par un petit anneau, est subdivisé lui-même en cinq parties , sert sur le terrain à mesurer les lignes droites (fig. 11).
Équerre d'arpenteur. — Un autre instrument indispensable est l’équerre d’arpenteur. C’est un prisme creux , ayant la forme d’un octogone régulier (fig. 12). Quatre faces opposées portent au milieu une fente qui existe sur la longueur de chaque face ; les quatre fentes trèsétroites se trouvent ainsi disposées en croix, et les deux fentes opposées déterminent la direction d’une ligne droite. Cet instrument, porté sur un pied à hauteur convenable, sert à deux fins : tracer des lignes droites sur le terrain, et élever des perpendiculaires sur des lignes données.
Jalons. — Les jalons sont des piquets de bois, ordinairement fendus à la partie supérieure pour y placer un feuillet de papier, et servent à indiquer sur le terrain la direction des lignes que l’on mesure.
Mesure d'une ligne droite sur le terrain. — Quand on veut mesurer la distance en ligne droite d’un point A au point B (Gg. 13), la première opération consiste à placer des jalons sur cette direction. A cet effet, on fixe verticalement l’équerre sur son pied au point A, et on dirige les deux fentes opposées de l’équerre de telle manière que ces deux fentes et le point B se confondent sur une môme ligne droite. On fait alors suivre cette direction, et planter à des distances appréciables des jalons edcf,ctc . , puis le porte-chaîne , muni de plusieurs fiches , ordinairement dix , se met en marche pendant que l’arpenteur reste au point A. Quand la chaîne est convenablement tendue, le porte-chaîne plante une fiche à l’extrémité, et tous deux se remettent en marche jusqu’à ce que l’arpenteur rencontre la première fiche; alors le portechaîne plante une deuxième fiche à l’extrémité de la chaîne tendue, l’arpenteur enlève la fiche qu’il vient de rencontrer , et ainsi de suite jusqu’au point B , où l’arpenteur compte le nombre de fiches qu’il a enlevées pour autant de fois dix mètres, et il ajoute à cette somme s’il y a lieu, la partie fractionnaire de la chaîne.
Usage de l'équerre pour élever une perpendiculaire à une ligne donnée sur le terrain.
Soit une ligne représentée par deux jalons placés en A et B; supposons que l’on veuille, par le point c (6g. 14), élever une perpendiculaire sur la ligne droite AB. On plantera verticalement l’équerre d’arpenteur au point c, puis on fera tourner l’équerre de manière à ce qu’en re-
gardant alternativement par deux des fentes opposées, on aperçoive sans déranger l’instrument, les jalons A et B. Dans cette position de l’équerre, on regardera par les deux fentes opposées, et on fera planter un jalon en un point quelconque D de cette direction , et la ligne CD sera perpendiculaire à AB. -
Mesure d’une surface triangulaire sur le terrain.
On doit toujours, avant tout travail, examiner la configuration du terrain et faire placer des jalons aux principaux angles; puis on fait sur le papier le croquis de la pièce à mesurer. Supposons d'abord que l’on ait à déterminer la superficie d’uti terrain de forme triangulaire BCD (fig. 15). Puisqueila surface de tout triangle est égale à sa base multipliée par sa demi-hauteur, on jalonnera le côté CD que l'on prendra pour base du triangle, et avec la chaîjie métrique on en mesurera la longueur que nous supposerons égale à 36 mètres; cette mesure s’inscrit sur le croquis à l’endroit même de la base C D ; on abaissera ensuite au moyen de l’équerre d’arpenteur la perpendiculaire B F sur la base C D du triangle, on la jalonnera et mesurera , et si l’on trouve 20 mètres , ce sera la hauteür-du triangle :
Alors 36 X — =360 mètres quarrés, surface du triangle.
Mesure d'un quadrilatère irrégulier.
Soit à déterminer la superficie du quadrilatère DEGH (fig. 16). On prendra le plus long côté G H pour base ,
puis avec l'équerre d’arpenteur on abaissera des points D,E sur cette base, les perpendiculaires DI, EJ, qui décomposent ainsi le quadrilatère en trois figures distinctes, dont deux triangles GDI et EJ H, et un trapèze DE IJ.
Pour avoir la superficie du triangle G DI, on jalonnera DI que l’on prendra pour base de ce triangle etl G qui en sera la hauteur , puis on mesurera D I qui, au moyen de la chaîne métrique, aura été trouvé par exemple égal à 25 m 30 ; on chaînera de même le côté IC dont la longueur est supposée égale à 12 mètres.
Alors on passera au deuxième triangle E JH, dont on jalonnera de même le côté FJ pris pour base et le côté J H considéré comme hauteur ; supposons que F J soit trouvé de 32™ 10 et J H de 10 mètres. •
Enfin on s’occupera du trapèze DE IJ, dont les côtés DI, FJ, que nous avons déjà mesurés, seront considérés comme les bases parallèles , puis on jalonnera et mesurera le côté IJ, pris pour hauteur et supposé égal à 42 mètres. Toutes les mesures étant indiquées sur les lignes correspondantes du croquis fait sur le papier, on aura pour superficie du quadrilatère la somme des surfaces des deux triangles et du trapèze ou
Triangle GDI =25 m 30 X — = .... 151^80 Triangle EJH = 32 I0x^ = .... 160® ^50
x n r,T 25®30 + 32®10 X 42® . OAEmntA Trapèze DEIJ = = 1205® i40
JL
Superficie du quadrilatère = 1517 mc i 70.
Ces deux exemples sont suffisants pour faire comprendre que, quelle que soit la forme irrégulière d'uri terrain , il faut la décomposer en figures connues dont on détermine successivement la surface pour obtenir, par leur ensemble , la superficie cherchée.
Mesure d'un terrain inaccessible.
Quand on veut mesurer la superficie d’un marais, d’un bois, d’un champ en récolte, on entoure le terrain d’une figure connue, comme un rectangle, un quarré, un triangle ou un trapèze, par des jalons qui circonscrivent la pièce inaccessible. On détermine, par les moyens exposés précédemment, la superficie du rectangle qui entoure la pièce, et on déduit de cette surface les superficies des diverses parties de terrain comprises entre la pièce inaccessible et la figure circonscrite ; la différence est la superficie cherchée.
Soit à déterminer la superficie d’un champ en récolte ayant la forme représentée fig. 11 .
On plantera des jalons à tous les angles F G II I L de cette surface, puis on fera passer par les angles FHIL le rectangle circonserit’A fi C D au moyen de perpendiculaires éleyées à l’aide de l’équerre d’arpenteur. On déterminera la superficie du rectangle À B CD, on cherchera par les moyens indiqués précédemment, la surface des triangles 1, 2, 3, 4, 5, on retranchera la somme de ces cinq surfaces de la superficie du rectangle , et le reste exprimera la surface du champ FGHIL.
Nivellement des surfaces. — Le nivellement a pour
objet de déterminer la différence de hauteur entre deux ou plusieurs points de la surface d’un terrain, pour pouvoir, au besoin, la rendre bien unie, ou donner une pente uniforme pour faciliter l’écoulement des eaux. L’instrument dont on se sert généralement pour niveler un terrain s’appelle niveau d’eau; c’est un tube A (fig. 18)en ferblanc , recourbé à angle droit à chaque extrémité pour recevoir deux tubes verticaux B, C, en verre. Le tube en ferblanc, ainsi que les tubes en verre B, C, contiennent de l’eau colorée ; et quand l’instrument est placé sur son pied , la ligne m n du niveau de l’eau colorée dans les deux tubes de verre est Ijprizontale, de sorte que toute ligne qui se confond avec elle se trouve parfaitement de niveau.
Si l’on veut avec cet instrument déterminer la pente du point C au point D, fig. 19, on fait tenir en i), le plus verticalement possible, une longue règle en bois R graduée en divisions métriques sur toute sa hauteur, et recevant à coulisse une planchette ou indicateur o. On vise alors la ligne m n des niveaux que l’on dirige par le pointe, et sur la règle graduée on fait monter et descendre la planchette ou l’indicateur , jusqu’à ce que la ligne m n se confonde en même temps avec le point C et l’indicateur. Puis on compte le nombre de divisions sur la règle à partir du point D jusqu’à l’indicateur, ce nombre de divisions désigne en parties métriques la différence de hauteur du point D au point C.
Si la pente était très-rapide depuis le sommet jusqu’au point le plus bas, et que la règle ne fût pas assez élevée, on répéterait l’opération indiquée plus haut à desr sta-
tions intermédiaires, et la somme des hauteurs partielles obtenues aux stations donnerait la pente totale.
Boussole. — Cet instrument est destiné à orienter un plan, ou, si l’on aime mieux, à indiquer sur le terrain la direction des quatre points cardinaux. . ■
La boussole est une petite boîte (fig. 20) surmontée d’un cadran portant au centre une aiguille aimantée. Or la propriété de l’aiguille aimantée est de se diriger vers le nord, et comme l’on sait que le sud est opposé au nord, que l’est est à la droite de ce dernifer, et l’ouest à sa gauche : une fois que l’on a la position àord, on connaît évidemnlcnt celle des trois autres pointé|cardinaux.
