PROBLÈMES USUELS I)E GÉOMÉTRIE PRATIQUE

1° Diviser une ligne droite ou un arc de cercle en deux parties égales. Des points extrêmes A et B (fîg. 28) avec une ouverture de compas plus grande que la moitié de la ligne ou de l’arc, décrivez au-dessus et au-dessous de A B, des petits arcs se coupant en C et en D, la droite CD qui les réunit, divise la ligne ou l’arc en deux parties égales , la ligne C D est de plus perpendiculaire sur la droite A B, et elle se dirige au centre de l’arc.

2° Diviser une droite en plusieurs parties égales , en 5, par exemple. A l’un des points extrêmes E de la droite donnée E F (8g. 29), tracez une ligne indéfinie EN formant un angle quelconque avec la ligne donnée ; portez cinq fois à partir de E sur la ligne E N , une longueur quelconque E I ; joignez le dernier point de division & au point F, puis, par chacun des autres points de division, menez la ligne 33', 22' 11' parallèlement à la ligne 5 F, la droite donnée E F se trouvera divisée en 5parties égales. Ce problème s’étend à toutes les divisions égales que l’on veut obtenir sur une droite donnée; il faut seulement avoir soin de porter sur la ligne angulaire indéfinie autant de divisions , peu importe leur longueur.

3° Trouver le centre d’un cercle déjà décrit. Prenez sur la circonférence du cercle (fig. 30) trois points ABC, joignez-les par deux lignes droites A B, B C ; élevez sur chacune d’elles une perpendiculaire, le point de rencontre Odes perpendiculaires D O, GO est le centre du cercle. Ce problème reçoit son application dans les ateliers pour trouver le centre des roues.

4° Faire un angle égal à un angle donné. Tracez du sommet A de l’angle donné (fig. 31) un arc de cercle qui coupe les côtés aux points c d. Prenez une droite A' </ ; du point A', comme centre , décrivez le même arc de cercle, sur lequel vous portez de & en d' la longueur enjoignez A' d\ et l’angle A ! sera égal à l’angle A comme ayant pour mesure le même arc.

5° Diviser un angle en deux parties égales. Du sommet A de l’angle BAC (fig. 32) décrivez nn arc g h; des points g et h comme centres décrivez des arcs se coupant en D, et la ligne A D divise l’angle donné en deux parties égales.

6° Un quarré étant donné , évaluer un guarré égal à la moitié de la surface. Soit le quarré A ( fig. 33) ; pour déterminer un quarré dont la superficie soit moitié de ce quarré , divisez deux côtés adjacents en vingt-quatre parties égales , prenez sur chacun d’eux dix-sept parties, le quarré B construit sur les dix-sept divisions présente la moitié de la superficie du quarré A.

Le tracé est le môme pour trouver un rectangle , un triangle ou un quadrilatère quelconque, dont la superficie soit la moitié d’un rectangle , d’un triangle ou d’un quadrilatère quelconque donnés : ainsi le triangle B est moitié en surface de celui A (Gg. 34).

Le quarré C établi sur douze divisions présenterait une superficie égale au 1/4 de la surface du quarré A (fig. 33).

7° Un cercle étant donné , construire un autre cercle égal h la moitié de la superficie du premier. Divisez le diamètre, du cercle A (Gg. 35) en vingt-quatre parties. Le cercle B,

qui a ‘pour diamètre dix-sept de ces divisions, présente une superficie moitié de celle du cercle A.

Le cercle C, quiapour diamètre douze divisions, a une superficie égale au 1/4 de celle du cercle A; le croissant D a pour superficie moitié de la surface du cercle A, et le croissant H le 1/4 de la superficie du même cercle A.

8° Trouver le côté d'un quatre qui sera un certain nombre de fois la surface d'un quarré donné. Soit A B CD le quarré donné (fig. 36 ) ; la diagonale B D sera le côté d’un quarré A E F G double en surface du premier. En menant la diagonale B G et construisant dessus le quarré A II K L , ce dernier aura trois fois la surface du premier, etc.

9® Trouver le diamètre d’un cercle qui sera un certain nombre de fois la surface d'un cercle donné. Soit ABC D le cercle donné (fig. 37), menez les deux diamètres perpendiculaires AB, CD, la corde AD sera le rayon du cercle O F dont la superficie est double de celle du premier cercle ; et moitié de cette même corde A D sera le rayon d’un cercle O H dont la surface égale moitié de la superficie du cercle ABCD.

10° Un cercle étant donné , trouver un quarré égal en superficie. Divisez, le cercle A (fig. 38), en quatre parties par deux diamètres perpendiculaires ; divisez l’un des rayons en quatre parties , portez une de ces parties sur le prolongement des diamètres , et joignez l’extrémité des diagonales ; vous formerez le quarré M N O P dont la superficie est équivalente à celle du cercle A.

11° Trouver le plus grand rectangle en surface que Von puisse découper dans une pièce ronde. Soit ABCD (fig. 39)

le cercle donné ; menez le diamètre AC et.divisez-Ie en trois parties égales A Im, mC. Élevez la perpendiculaire m D ; joignez DC, et DA ; puis menez AB égal et parallèle à D C, tracez de même B C égal et parallèle à A D , vous aurez trouvé le plus grand rectangle en surface du cercle ABC D. Ce problème permet de trouver la section transversale de la plus forte poutre qu’il soit possible de découper dans une pièce ronde de charpente.

12° Construire une ellipse , connaissant les deux axes perpendiculaires. Soient le grapd axe A B et le petit axeC D (fig. 40) ; du point de rencontre o de ces axes portez en c et en d les distances oc , od , égales à la différence des demi-axes, et joignez cd; portez la moitié de cd, dee en alors la longueur ok , portée en m , n,p, donne les quatre centres k, m , », p, des arcs qui forment la courbe de l’ellipse. En réunissant ces centres, les lignes prolongées donnent les points limites r s t v des quatre arcs de cercle.

Détermination des côtés d'un triangle rectangle , et de la diagonale d'un quarrè. On prouve en géométrie que le quarré construit sur l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à la somme des quarrés construits sur les deux côtés de l’angle droit. Il résulte de cette propriété que, connaissant deux côtés quelconques d’un triangle rectangle, on peut déterminer le troisième.

1° Si c’est l’hypoténuse d’un triangle rectangle que l’on cherche , on détermine sa grandeur en faisant la somme des quarrés des deux côtés de l’angle droit , et en extrayant la racine quarrée de cette somme.

3g Ie

Exemple : Quelle est la grandeur de l’hypoténuse AC d’un triangle ABC, en supposant le côté AB = 3“ et le côté B C = 4-?

C = |/9 + 16 ou l/25 = 5 mètres.

2" Si l’on connaît l’hypoténuse C et l’un des côtés A de l’angle droit, le troisième B est égal à la racine quarrée, de la différence des quarrés construits surC et A.

Ainsi dans l’exemple précédent on trouverait B = l/‘25 — 9 = I/Ü6 = 4.

La diagonale d’un quarré est toujours égale à l’un des côtés multiplié par V 2 , et comme l/2 = 1,414, on voit que la diagonale d’un quarré s’obtient en multipliant le côté du quarré par 1,414.

Exemple ; Un quarré a pour longueur de chaque côté 6 mètres, quelle est sa diagonale ?

La somme des quarrés des quatre côtés d’un parallélogramme est aussi égale à la somme des quarrés des deux diagonales.

Valeur des angles. La somme des trois angles d’un triangle vauttoujours deux angles droits ou 180°. Connaissant donc deux angles d’un triangle, on peut toujours déterminer la valeur du troisième.

Soient ABC trois angles d’un triangle, si l’angle A vaut 40° et l’angle B = 80°, le troisième angle C vaudra 180 e — (40 + 80) =60°.

Dans un triangle rectangle il suffit de connaître l'un des angles aigus, puisqu’il y a toujours un angle droit de 90*.

Définitions, principes et machines.

Les corps se subdivisent en trois classes distinctes : corps solides, corps liquides, corps gazeux.

Les corps à l’état solide sont les pierres , les bois , les métaux. L’eau, les liqueurs, les boissons constituent les liquides.

Les corps gazeux comprennent l’air, l’oxygène , l'hydrogène et les vapeurs provenant des liquides soumis à l’action de la chaleur.

Tous les corps abandonnés à eux-mômes tombent sur la terre en suivant une verticale indiquée par le fil à plomb. Cet effet désigné sous le nom de pesanteur ou gravité, est dû à l’attraction de la terre pour tous les corps placés à sa surface.

La masse d’un corps est la quantité de matière qu’il renferme ; c’est la réunion des parcelles et molécules qui le composent. Le volume d’un corps est la place qu’il occupe dans l’espace ; le volume peut varier, il peut se comprimer et s’étendre comme la gomme élastique , le caoutehou; mais la masse ne change pas.

L’effort capable de s’opposer à la chute d’un corps fait équilibre au poids de ce corps.

Le poids d’un corps s’obtient en multipliant sa masse

par g ou 9 m 81, valeur de la vitesse acquise par les corps au bout de la première seconde de leur chute.

En admettant que M , la masse d’un corps , égale 3 , son poids P sera 3 x 9,81 = 29 k 43.

La masse d’un corps s’obtient en divisant son poids par g. Ainsi un corps de poids P = 29 m 43 aura pour

masse M = ---- - = 3.

On appelle effort ou force la cause qui change l’état d’un corps, soit pour le mettre en mouvement quand il est au repos , soit pour l’arrêter quand il est en mouvement. Toute force qui donne le mouvement à un corps s’appelle force motrice , ou simplement moteur, et le corps entraîné prend le nom de mobile.

On entend aussi par puissance toute force qui tend à produire ou à favoriser le mouvement, et par résistance la force qui tend au contraire à empêcher ou retarder le mouvement.

Dans les machines, la puissance doit vaincre la résistance directe, puis les résistances indirectes, comme les frottements , les chocs , la résistance de l’air, etc. ; aussi faut-il toujours employer une force motrice supérieure à l’effort à vaincre.

Une force, quelle qu’elle soit, peut toujours être exprimée en kilogrammes , car on peut mesurer par des poids la résistance qui lui fait équilibre. Ainsi , s’il faut appliquer à l’extrémité d’une corde enroulée sur une poulie un poids de 15 kilog. , pour s’opposer à l’action d’une force de pression ou de traction, on dira que cette force est de 15 kilog.

On considère dans une force , 1° son point d’application , c’est-à-dire le point où elle agit; 2° sa direction ; 3° sa grandeur ou son intensité.

Quand plusieurs forces agissent sur un corps , elles prennent le nom de composantes, et le résultat de l’action de ces forces s’appelle résultante.

La résultante de plusieurs forces qui agissent sur le môme objet, dans le môme sens et sur la môme ligne droite, est égale à leur somme. Ainsi l’effort total ou actif de trois hommes pour entraîner un fardeau, en agissant sur la même ligne et avec des efforts, le premier de 20 kilog., le deuxième de 25, et le troisième de 28, sera de 73 kilogrammes. ,

Quand deux forces agisseht dans une direction opposée, la résultante égale leur différence. Si un homme emploie une force de 35 kilog. pour remonter un bateau , contre un courant qui présente une résistance de 12 kil., la résultante ou force active ne sera que de 23 kilog.

Lorsqu’un corps est mis en mouvement par l’action de deux forces formant un angle donné , et représentées en grandeur et en direction par les lignes ab, a c (fig. 41), la diagonale ad du parallélogramme abdc construit sur les lignes ab, ac, exprime la direction que suivra le mobile, et la grandeur ou l’intensité de l’impulsion qui lui est communiquée.

Ce principe , qui est applicable à un nombre quelconque de forces formant angles entre elles, et ramenées à deux forces équivalentes à leur somme , se généralise ainsi : quand un mobile est sollicité par deux forces ou

est animé de deux vitesses suivant un angle donné , sa direction et sa force impulsive ou sa vitesse seront exprimées par la diagonale du parallélogramme construit sur les intensités de ces forces ou vitesses.

Le système de halage employé pour remonter le courant des rivières , est une application de ce principe : des hommes ou des chevaux placés sur chaque rive (fig. 42) sont attelés à des câbles ou chaînes qui se fixent au bateau , et le forcent à remonter en ligne droite le courant de la rivière.

Pour que le bateau suive le milieu de la rivière ou du canal, il faut que les efforts soient égaux et que les cordes ou chaînes soient égales, et la résultante ou force active sera d’autant plus avantageuse que l’angle des cordes sera petit , ce qui revient à dire qu’il faut employer des chaînes ou cordes aussi longues que possible.

Espace , vitesse. La subdivision des heures en minutes, et des minutes en secondes, permet de mesurer le temps écoulé entre deux instants quelconques, avec autant de facilité que l’on mesure les longueurs ou les distances.

On appelle espace, le chemin parcouru dans un temps quelconque ; et l’espace parcouru par un corps dans une seconde prend le nom de vitesse : la vitesse s’exprime généralement en mètres.

Mouvement. On distingue deux espèces de mouvements : le mouvement uniforme et le mouvement varié.

Un corps a un mouvement uniforme quand il parcourt des espaces égaux dans des temps égaux. Si, par exemple , un corps parcourt 5 mètres dans la première se-

conde, 5 mètres dans la deuxième seconde , et ainsi de suite, le mouvement est dit uniforme.

En représentant par E l’espace, par V la vitesse et par T le temps, la formule E = VxT indique que l’espace égale la vitesse multiplié par le temps.

Exemple : La vitesse d’un corps soumis à un mouvement uniforme est de 3 mètres , quel espace aura-t-il parcouru au bout de 10 secondesj?

E = 3 x 10 = 30 mètres.

De la formule précédente E = Y x T , on obtient E

V = - - c’est-à-dire que la vitesse par seconde , égale

l’espace divisé par le temps.

Exemple : L’espace parcouru pendant 10 secondes est de 30 mètres, quelle est la vitesse ?

Y = - = 3 mètres.

Les roues d’engrenages des machines sont, ainsi que la plupart des transmissions, généralement animées d’un mouvement uniforme.

Mouvement varié. — Quand un corps parcourt dans des temps égaux, des espaces qui augmentent ou diminuent toujours de la même quantité, le mouvement s’appelle uniformément varié.

L’espace dans le mouvement uniformément varié égale la demi-somme des vitesses extrêmes , multipliée par le temps en secondes.

1 er Exemple : Quel est l’espace parcouru au bout de

4 secondes par un mobile dont la vitesse au point de départ est de 2 mètres , et au bout de ce temps est égale à 6 mètres ?

E = ■ ■ — x 4 = 16 mètres.

2° Exemple : Quel est l’espace parcouru au bout de 4 secondes par un mobile qui, au point de départ, possède une vitesse de 6 mètres, et qui, au dernier moment, se trouve réduite à 2 mètres.

E = — - — x 4 = 16 mètres.

On voit, par ce double exemple , qu’à conditions égales l’espace parcouru est le môme dans le mouvement uniformément retardé ou accéléré.

La vitesse, au bout d’un certain temps, dans le mouvement uniformément accéléré, égale la vitesse primitive, plus le produit du temps en secondes par l’accroissement de vitesse par seconde.

1 er exemple : Quelle est la vitesse d’un corps au bout de 8 secondes, en supposant la vitesse primitive = 1 , et en admettant que cette vitesse augmente de 3 mètres par chaque seconde?

V = l+ 8x3 = 25 mètres.

La vitesse que doit posséder un corps , au bout d’un certain temps, dans le mouvement uniformément retardé, est égale à la vitesse au départ, moins Je produit du temps en secondes par la diminution de vitesse par seconde.

Exemple : Un corps part avec une vitesse de 22 mètres

par seconde , et cette vitesse diminue successivement de

2 mètres par seconde ; quelle sera la vitesse de ce corps au bout de 10 secondes ?