POUVOIRS MÉCANIQUES
Quand une puissance est appliquée pour supporterune charge , ou vaincre toutçs espèces de résistances , les moyens auxiliaires dont on fait usage s’appellent pouvoirs mécaniques ou machines simples.
Ces agents mécaniques sont au nombre de six : le levier , le treuil , la poulie ou mouffle , le plan incliné , le coin et la vis , et sont tous soumis à des principes communs que l’on peut appeler les lois des machines simples.
4* Les moments de la puissance et de la résistance sont égaux quand la machine est en équilibre. On entend par moment le produit d’une force par l’espace que parcourt son point d’application.
2° La résistance est en raison inverse de la vitesse ou de V espace qu'elle parcourt , c’est-à-dire que, plus cette
résistance est grande , plus sa vitesse est petite, et réciproquement.
3° On 'perd toujours une partie de la puissance pour vaincre l’inertie , les frottements et autres résistances.
Nous ne considérerons dans ce chapitre que les avantages mécaniques résultant de l’emploi des machines simjfles, pour conserver l’équilibre , sans prendre en considération les pertes duesaux diverses résistances nuisibles, qui exigent pour produire le mouvement un excès de puissance.
Levier. — Le levier est une barre inflexible dont tous les points peuvent tourner autour d’un point fixe appelé point d’appui.
Tout levier reçoit l’action d’une puissance et d’une ré 1 sistance, et la distance de la puissance ou de la résistance au point d’appui s’appelle bras de levier. Dans la fig. 44, o est le point d’appui du levier, P est la puissance , et a son bras de levier, R est la résistance , et b son bras de levier.
On distingue trois genres de leviers résultant des différentes positions de la puissance, du point d’appui et de la résistance.
Un levier est dit du premier genre quand le point d’appui est entre la puissance et la résistance (6g. 44).
Un levier est du deuxième genre lorsque le point d’appui est à une extrémité, la puissance à l’autre, et la résistance entre les deux (fig. 45).
Un levier est du troisième genre quand, le point d’appui se trouvant à une extrémité, la résistance est à l’autre et la puissance entre les deux (fig. 46).
Dans chacun de ces leviers simples, la puissance et la résistance sont en raison inverse de leur distance au
point d’appui, c’est-à-dire que, pour l’état d’équilibre, le
moment delà puissance P x a, ou le produit de cette puissance par son bras de levier, égale le produit Rxô de la résistance par son bras de levier ; ce qui donne lieu à la proportion inverse suivante :
Dans cette proportion , connaissant trois quelconques des quatre termes qui la composent , on détermine le quatrième par les règles suivantes :
1” règle : Multipliez la résistance donnée par son bras de levier ou sa distance au point d'appui, et divisez par . le bras de levier de la puissance , le quotient exprimera la puissance cherchée.
Exemple : Une résistance de 20 kil. est placée à la distance de 12 centimètres du point d’appui, quelle est la puissance à appliquer de l’autre côté à une distance de 48 centimètres du point d’appui?
D’après la règle P = ~ =5 kilog. puissance re-
quise.
2 e règle : Multipliez la résistance par son bras de levier , et divisez par la puissance , le quotient exprimera le bras de levier de la puissance. »-
Exemple : Une résistance de 15 kilog. est suspendue à la distance de 8 centimètres du point d’appui ; à quelle distance faudrait-il placer une puissance de 12 kilog. pour faire équilibre à cette résistance ?
= 10 centimètres , distance de la puissance
au point d’appui.
3 e règle : Multipliez la puissance par son bras de levier et divisez par le bras de levier de la résistance , le quotient exprimera la résistance qui fait équilibre à la puissance.
Exemple : On applique une puissance de 30 kilog. à la distance de 18 cent, du point d’appui, à quelle résistance placée à la distance de 6 cent, du point d’appui fera-t-elle équilibre ?
R = — 77 - — = 90 kilog., résistance, o
k e règle : Multipliez la puissance par son bras de levier , et divisez par la résistance , le quotient exprimera le bras
de levier de la résistance.
Exemple : Une puissance de 30 kilog. est appliquée à la distance de 18 cent, du point d’appui ; à quelle distance du point d’appui faudra-t-il placer une résistance de 90 kil. pour l’état d’équilibre ?
= 6 centimètres, distance de la résistance
au point d’appui.
Application : Quelle est la puissance nécessaire pour contrebalancer un poids de 80 kilog. sur chacun des trois genres de leviers.
En supposant 1* la longueur totale de chaque levier égale à 60 cent., 2° la distance de la résistance au point
d’appui dans le premier et deuxième genre = 10 cent., et dans le troisième égale à toute la longueur du levier ; 3° la distance de la puissance au point d’appui est dans le premier et le troisième genre à 50 cent, et dans le deuxième genre à 60 cent.
Premier genre. P = — 16 kilog.
OU
Q A y 4 Ac
Deuxième genre. P =■ — — — = 13 k 33.
Troisième genre. P = — — =96 kdog.
Ainsi le deuxième genre de levier est le plus avantageux sous le rapport de la moindre puissance à appliquer pour vaincre la résistance.
La pince en fer pour soulever les pierres, et la brouette sont des leviers du deuxième genre : on soulève très-peu la charge à la vérité , mais on a l’avantage de vaincre une résistance proportionnellement plus forte.
La romaine (fig.47) est un levier du premier genre; le point d’appui est fixe, le bras de levier pour suspendre la matière est invariable, et on mesure des charges différentes au moyen d’un même poids que l’on éloigne plus ou moins du point d’appui , sur un levier porteur de divisions. Quand la distance de ce poids au point d’appui est double, triple ou quintuple du bras de levier fixe, la matière à peser a un poids double , triple ou quintuple du poids mobile.
On peut observer que plus le bras de levier augmente, plus l’action du poids augmente, et réciproquement ; de
même plus le bras de levier de la puissance est grand , plus l’arc ou l’espace qu’il parcourt est grand , comparativement à l’arc ou à l’espace parcouru par la résistance , ce qui fait dire que, si la puissance que l’on emploie est plus petite que la résistance, son bras de levier (son espace ou sa vitesse) est plus grand que le bras de levier, l’espace ou la vitesse de la résistance, et vice versâ.
Lorsque plusieurs leviers sontcombinésentre eux pour transmettre une force donnée, on a toujours pour l’état d’équilibre : le produit de la puissance par tous ses bras de leviers égale le produit de la résistance par tous ses bras de leviers.
Ainsi, dans la fig. 48, on a P x a x a' = R x b x b ' , ce qui donne lieu aux quatre mêmes règles des leviers simples :
1" exemple : Une pression de 20 kilog. est appliquée à l’extrémité d’un bras de levier a dont la distance au point d'appui = 300 cent. , le bras de levier de la résistance ou b — 10 cent., le deuxième bras de levier a' de la puissance = 84- cent, et le deuxième bras de levier b' de la résistance = 6 cent. ; à l’extrémité de ce bras V est nn poinçon pour percer la tôle ; on désirerait connaître quelle pression ce poinçon est susceptible de produire.
, . .. 20 X 300 x 84 QLtu . .
La pression ou R = — — = 8400 k.
2* exemple : A quelle hauteur faudrait-il soulever l’ex-
trémité F du premier levier de la puissance pour que le poinçon pût percer l’épaisseur d’un demi-centimètre.
= 210 cent, ou 2“i0, espace que par-
court la puissance , tandis que la résistance ne parcourt qu’un demi-cent. : ainsi la puissance de 20 kil. par l’intermédiaire des leviers composés, a produit une pression de 8400 kil. , c’est-à-dire un effort 420 fois plus grand ; mais aussi la résistance n’a parcouru qu’un espace de 2 m 10
— ^ = 420 fois plus petit.
Poulie , Moufjle. On distingue deux espèces de poulies: les poulies fixes et les poulies mobiles.
Les poulies fixes tournent autour de leur axe sans changer de place , et servent seulement, wp moyen de cordes, chaînes ou courroies , à changer k'Mirection de la force motrice, sans donner aucun avantagé mécanique.
Les poulies mobiles, au contraire, produisent de la force et agissent comme des leviers du deuxième genre. Dans la fig. 49, la poulie a est fixe , la poulie b est mobile , une corde fixée à une extrémité vient s’enrouler autour de la poulie mobile b qu’elle soutient, puis passe sur la poulie fixe a qui ne sert qu’à changer sa direction. Au centre de la poulie b est une chape à laquelle on suspend la résistance.
L’avantage d’une seule poulie mobile consiste à doubler l’effort de la puissance : ainsi, si à l’extrémité de la corde on applique une puissance de 10 kil., elle équilibrera une charge de 20 kil. Cet avantage résulte de ce
que la poulie mobile, se trouvant soulevée par les cordons , ne s’élève que d’un espace égal à la moitié de l’espace parcouru par la puissance ; or, si la puissance marche de 6 cent. , la charge ne se sera élevée que de 3 cent, et le moment 10x6 de la puissance égale le moment 20 x 3 de la résistance, condition d’équilibre des leviers.
Si la poulie fixe ne produit aucun avantage mécanique, du moins, en changeant la direction de la puissance, elle facilite le mouvement, en ce sens qu’il est plus facile de tirer de haut en bas , que de bas en haut , et d’ailleurs le poids du moteur devient un aide à la puissance.
L’ensemble de plusieurs poulies montées dans la même chape se nomme mouille ; les poulies peuvent avoir le même axe (fig. 50) ou des axes différents (fig. 51); l’une des mouffles est fixe et l’antre mobile : l’avantage acquis par une mouffle mobile est comme deux fois le nombre de poulies qu’elle porte, sans avoir égard au nombre de poulies que porte la mouffle fixe indispensable pour la direction des cordons.
Cet avantage mécanique de la mouffle mobile résulte de ce que l’espace parcouru par la puissance dans un temps donné est égal à la somme des raccourcissements des cordons enroulés sur les poulies mobiles, tandis que la résistance ne s’élèVe ou ne parcourt que le quotient de cet espace divisé par le nombre de cordons.
Et de là vient la 1" règle : Divisez le poids à élever ou la charge par deux fois le nombre de poulies mobiles , le quotient exprimera la puissance requise pour contrebalancer cette résistance :
Exemple : Quelle est la puissance nécessaire pour contrebalancer un poids de 176 kilog. avec une paire de | mouffles à quatre poulies?
-- - - 22 kilog., puissance requise pour l’équilibre.
2* règle : Multipliez deux fois le nombre de poulies mobiles par la puissance appliquée , le produit exprimera la résistance à laquelle cette puissance fait équilibre.
. Exemple : Quel poids sera contrebalancé par une puissance de 125 kilog. appliqués à une paire de mouffles de 3 poulies mobiles?
125 x 2 x 3 = 750 kilog., résistance contrebalancée.
Dans chacune de ces règles la puissance n’est calculée que pour établir l’équilibre ; on conçoit que, pour produire le mouvement , il faudrait employer un excès de force, qui est d’autant plus grand qu’il y a plus de parties en contact et par suite plus de frottements.
Treuil. Un treuil simple se compose d’un rouleau dont les tourillons prennent appui sur des supports, et auquel le mouvement est communiqué par une manivelle. La position du rouleau est, suivant les circonstances, horizontale ou verticale.
L’avantage mécanique qui résulte du treuil simple (fig.52), dépend de la longueur de la manivelle comparativement au rayon du rouleau, c’est-à-dire que la puissance P est à la résistance ou charge R comme à, le rayon du rouleau, est à c, le rayon de la manivelle. Proportion qui donne lieu aux mômes règles que pour le levier.
Ainsi multipliez la résistance par le rayon du rouleau et divisez par le rayon de la manivelle, le quotient exprimera la puissance.
Exemple : Quelle est la puissance à employer à l’extrémité d’une manivelle de 0“75 de rayon , pour équilibrer une résistance de 50 kil. placés à l’extrémité d’une corde qui s’enroule sur un rouleau de 0“25 de rayon.
Dans un treuil composé (fig. 53), la puissance est appliquée à l’extrémité d’une manivelle qui, fixée sur l’axe d’un pignon, transmet cette puissance à une roue montée sur l’axe du rouleau , autour duquel s’enroule un câble qui porte la résistance.
Dans un treuil composé d’une ou plusieurs paires d’engrenages, il faut, outre le rapport durayon delà manivelle au rayon du rouleau, faire entrer dans la règle le rapport des rayons des pignons aux rayons des roues.
C’est-à-dire que l’on a dans ce cas, comme pour les leviers composés , la proportion P : R : : b x b' x b" : a x a' x a " y etc., ou la puissance est «à la résistance comme le produit des rayons des pignons et du rouleau est au produit des rayons des roues et de la manivelle. Ce qui donne lieu aux règles suivantes :
‘ 1° Multipliez la charge à soulever par le produit du rayon du rouleau avec les | rayons des pignons , et divisez par le produit du rayon de la manivelle avec tous les rayons des roues , le quotient exprimera la puissance
> à appliquer à l’extrémité de la manivelle pour équilibrer la résistance.
1 er exemple : Quelle est la puissance nécessaire pour équilibrer une résistance de 1200 kil. au moyen d’un treuil dont la manivelle a 40 cent, de rayon, le rayon du rouleau étant de 15 centimètres, ayec une paire d’engrenages dont le rayon du pignon est de 8 centimètres , et celui de la roue = 56 centimètres ?
2 e exemple : Quelle serait la puissance à appliquer à l’extrémité de la manivelle, si dans le treuil précédent on ajoutait une deuxième paire d’engrenages dont le pignon porterait 6 cent, et la roue 36 cent.?
2 e règle : Multipliez la puissance par le rayon de la manivelle et par les rayons des roues , divisez ce produit par le rayon du rouleau et par les rayons des pignons , le quotient exprimerai résistance à laquelle la puissance donnée fait équilibre.
Exemple : A quelle résistance fait équilibre une puissance de 8 kilog. à l’extrémité d’une manivelle de 50 centimètres de rayon , le rouleau du treuil ayant un rayon de 12 centimètres , et étant commandé par une paire
(1) S’il y avait deux manivelles, le poids se répartirait par moitié pour chacune d’elles, et elles auraient chacune à exercer un effort de 32 k. M.
d’engrenages dont le pignon porte 6 centimètres de rayon, celui de la roue 48 cent?
3* règle : Multipliez entre eux les rayons des pignons et du rouleau, et divisez ce produit par les rayons des roues et de la manivelle , le quotient exprimera le rapport de la puissance à la résistance.
Exemple : Un treuil ou une grue est commandé par une manivelle de 55 cent, de rayon, le rayon du rouleau est de 11 cent., les rayons des pignons de commande portent 5 e , 6°, 7° ; les rayons des roues commandées ont 30% 36% 49 e ; quel est le rapport de la puissance à la résistance ?
C’est-à-dire que la résistance sera équilibrée par une puissance 1260 fois plus faible ; ou encore une puissance de 1 kil. à l’extrémité de la manivelle serait capable abstraction faite des frottements, d’équilibrer une charge de 1260 kilog.
Mais ce même rapport exprime en même temps le rapport de la vitesse de la résistance à la vitesse de la puissance , c’est-à-dire que la charge ne s’élèvera que de la 1/1260 partie de la marche delà puissance. Ainsi, si la puissance parcourt 1 mètre par seconde, la charge ne se sera élevée pendant le même temps que de l m ;l260=0 m 0008 dix -millimètres environ, ou moins de 1 millimètre.
Autre application. Un puisard est placé à 28 m 8 de profondeur , on voudrait l’épuiser au moyen d’un treuil à manivelle, en élevant 3000 litres d’eau par heure; combien faudrait-il employer de manœuvres pour obtenir ce résultat ? '
Le travail à obtenir dans une heure égale 3000 nt - x 28° , 8=86400 kin . Or, en examinant le tableau C des quantités de travail , on trouve qu’un manœuvre agissant sur une manivelle peut développer par heure 6 km x 60 x 60 = 21600 km - En divisant 86400 par 21600,1e quotient 4 exprime le nombre de manœuvres à employer.
Les règles précédentes s’appliquent aux treuils et cabestans à engrenages à un seul rouleau.
Treuils à deux parties. Ces treuils offrent une disposition très-simple de vaincre de grandes résistances. Ils peuvent être à parties réunies sur un môme axe comme fig. 54, ou à parties placées sur des axes séparés comme fig. 55, et avec engrenages. '
Dans chacun de ces treuils, l’un des rouleaux est plus petit en diamètre que l’autre, et la corde qui va de l’un à l’autre de ces rouleaux suspend une poulie mobile à laquelle est 6xée la résistance. L’avantage mécanique qui résulte de ce système est comme la demi-différence des deux rayons des rouleaux au rayon de la manivelle ; ce rapport exprime en même temps l’espace que parcourt la résistance ou charge comparativement à l’espace parcouru par la puissance : ce qui mène à la règle suivante : Divisez le rayon de la manivelle par la demi-différence
des rayons des rouleaux du treuil , le quotient exprimera V avantage mécanique;
1" exemple : Soit un treuil composé de deux rouleaux portant l’un un rayon de20 cent., le second de 10 cent, mu par une manivelle de 50 cent, de rayon; quel est l’avantage mécanique?
Avantage mécanique = 50 : — - — = 10.
Ainsi 1 kilog. appliqué à l’extrémité de la manivelle ferait équilibre à une résistance de 10 kilog. suspendus à la chape de la poulie mobile ; mais aussi la charge ne se soulèverait que d’une quantité égale au 1/10 de l’espace parcouru par la manivelle.
2 e exemple : Quel serait l’avantage mécanique dans l’exemple précédent si les rouleaux étaient placés sur des axes différents et commandés par un double engrenage dont la roue a un rayon de 30 centimètres , et le pignon un rayon de 5 centimètres.
Avantage mécanique = 50 : — - — x^r=60.
