AV

par h la hauteur du centre de gravité, on a tang « = —5-. Cette

formule permet de calculer pour chaque rayon de courbe, en raison du mode de construction des machines et de la vitesse habituelle des convois, la quantité dont il faut relever le rail extérieur. Pans l'exemple que nous avons choisi, la hauteur du centre de gravité étant précisément égale à la largeur de la voie, le relèvement du rail extérieur doit être égal à l'écart de la résultante des forces , soit à 0m,085. Nous ferons remarquer en passant que généralement les ingénieurs qui sont chargés de l'entretien des chemins de fer ne donnent pas dans la pratique, au relèvement du rail extérieur, une hauteur suffisante; cette hauteur doit être calculée sur la vitesse moyenne de marche des trains de voyageurs ; ceux-ci sont généralement plus nombreux que les trains à petite vitesse, et, dans tous les cas, il y a beaucoup moins d'inconvénient à laisser frotter les boudins des roues sur le rail intérieur qui leur présente sa convexité, que sur le rail extérieur qui leur présente sa concavité.

La position du centre de gravité peut jouer, dans la question de la stabilité, un rôle que nous indiquerons pour ne rien laisser d'incertain dans l'esprit de nos lecteurs. Si l'on suppose une verge élastique tixée à la machine dans une position verticale, lorsque la machine prendra du mouvement de lacet, surtout s'il y a usure et jeu des boudins contre les rails ou des coussinets sur les fusées d'essieux, cette verge ne restera pas constamment parallèle à ellemême, elle fouettera à la an de chaque oscillation en vertu de l'inertie de sa masse et de son élasticité. La même chose aura lieu pour la machine et l'amplitude de ses oscillations sera d'autant plus grande que le centre de gravité sera plus élevé. Le moment des

quantités de mouvement acquises par ces oscillations sera plus considérable aussi et agira d'une manière plus nuisible sur les assemblages de la machine.

Si les ressorts qui la supportent ont une grande flexibilité, à chaque oscillation la masse inerte de la chaudière, du châssis et de toutes les pièces qui s'y trouvent attachées, tendra à suivre l'impulsion qui lui a été imprimée et il y aura diminution d'un côté, augmentation de l'autre dans les flèches d'équilibre des ressorts de suspension, et par suite la machine pourra prendre un mouvement de roulis sensible, auquel ne participent pas ses supports : ce mouvement de roulis deviendra encore plus apparent, comme nous l'avons déjà fait entrevoir plus haut, si la machine entière, y compris ses supports, prend du roulis par suite de l'état de la vole. Ce mouvement de roulis peut être rapporté à un plan horizontal passant par les ressorts et considéré comme la manifestation des oscillations de ce plan autour de son axe de figure ; si les ressorts sont placés de plus en plus bas, par rapport aux points de la chaudière dont on observe le mouvement, le déplacement linéaire de ces points sera de plus en plus apparent pour une même déviation angulaire du plan des ressorts ; pour une même position des ressorts ce déplacement linéaire sera d'autant plus grand que le point observé sera plus haut, il sera plus grand par exemple pour le sommet de la cheminée que pour la base. En relevant la position du centre de gravité, par suite des combinaisons mécaniques adoptées, il faut changer en même temps la hauteur des ressorts au lieu de les laisser aussi rapprochés que possible des bottes à graisse ; mais cela est, avant tout, une question de construction et de disposition de ressorts, ù tel point que lécartement plus ou moins grand des ressorts, suivant que le châssis est extérieur ou intérieur, influe lui-même d'une manière très-notable sur l'amplitude du mouvement de roulis que le corps de la machine est susceptible de prendre. Ce mouvement de roulis de la machine, par rapport à ses supports, a l'inconvénient déjà signalé de produire une torsion dans les pièces qui dépendent à la fois du châssis et de l'essieu moteur ; il faut donc y remédier en donnant aux ressorts de suspen-

sion la rigidité convenable. On s'est aussi préoccupé de la hauteur du centre de gravité par rapport à la hauteur de l'attelage du tender avec la machine, et on s'est appliqué à placer le centre de gravité dans le plan du double attelage d'arrière et d'avant du tender. Tout est pour le mieux si ce rapport s'établit simplement et naturellement, sans nuire à la bonne disposition des organes de la machine ; il y aurait un certain inconvénient a ce que le centre de gravité fat beaucoup au-dessous du plan de l'attelage, car on peut assimiler jusqu'à un certain point la résistance du train à un effort agissant à l'extrémité d'un levier vertical soudé sur un axe horizontal, passant par le centre de gravité et faisant corps avec la machine, et, dans l'hypothèse que nous avons faite, cet effort tendrait à faire basculer la machine de l'avant à l'arrière, à décharger le roues d'avant pour reporter une partie de la charge sur les roues d'arrière ; l'effet inverse aurait lieu si le centre de gravité était au-dessus de l'attelage, et l'assiette de la machine sur la voie se trouverait augmentée ; à ce point de vue spécial la hauteur du centre de gravité serait plutôt une bonne qu'une mauvaise chose, si des considérations de cette nature avaient quelque importance dans la pratique.

Peut-être une étude plus approfondie de la question fera-t-elle reconnaître des actions autres que celles que nous venons d'indiquer, influant d'une manière notable sur les conditions de stabilité ; mais jusqu'à ce que cette étude ait été faite, il faut s'en tenir aux résultats de l'expérience qui semblent établir qu'il n'y a pas intérêt évident à sacrifier des dispositions de mécanisme ou d'autres conditions utiles pour abaisser plus ou moins le centre de gravité des machines, entre les limites de hauteur raaxima que présentent les machines mises jusqu'à présent en service sur les chemins de fer.

drM iilé^rrft du mci-aninmc

Les pièces qui sont animées d'un mouvement propre dans le système de la machine, abstraction faite du mouvement de translation qui la déplace incessamment, sont les essieux et les roues, les bielles , les pistons et tous leurs accessoires , les pompes alimentaires et enfin les pièces de la distribution. Les essieux et les roues de support sont soumis, dans toutes leurs parties, à l'action de la force centrifuge ; mais comme leur forme est symétrique par rapport à Taxe de l'essieu toutes les actions se font équilibre, il en résulte seulement des tensions intérieures. Il n'en est pas de même pour l'essieu moteur et les essieux des roues accouplées avec l'essieu moteur, les manivelles n'ont pas leur contrepartie et l'action que la force centrifuge exerce sur leur masse ne peut être surmontée à chaque instant que par la pression des pièces qui emprisonnent les fusées, boites à graisse et châssis et des rails euxmêmes. Ce défaut d'équilibre devient une cause de perturbation marquée lorsque l'accélération de la vitesse développe la force centrifuge qui croit proportionnellement à son carré. Le piston , dont la masse est inerte , reçoit un mouvement alternativement accéléré et retardé ; ces variations alternatives de vitesse donnent lieu à des réactions auxquelles rien ne fait équilibre et qui exercent également une influence perturbatrice ; il en est de même des pièces qu'il entraîne dans sa marche. Enfin la pression de la vapeur sur les pistons donne lieu également à certaines réactions qui troublent l'équilibre delà machine. C'est l'étude de ces diverses actions que nous allons présenter d'une manière aussi succincte que possible, en prenant pour point de départ la machine à voyageurs, à cylindres extérieurs, des chemins de fer d'Orléans , du Nord et de Strasbourg, du système de Stcphenson.

4° Actions perturbatrices résultant oe l'inertie des pièces ru mécanisme. — Le poids des pièces dont nous avons à prendre le mouvement en considération n'est qu'une très-faible fraction du poids de la machine, cependant cette fraction n'est pas entièrement

négligeable; il en résulte que lorsque la machine est en mouvement et que ses organes se déplacent en obéissant aux liaisons qui existent entre eux, la position du centre de gravité du système se déplace par rapport à ses points fixes , par rapport au rectangle formé par le châssis, par exemple ; mais comme le mouvement de ces pièces n'a lieu que dans le sens longitudinal, le centre de gravité reste toujours compris dans un même plan vertical passant par Taxe de figure de chacune des parlies fixes de la machine. Pour simplifier l'analyse que nous avons à faire nous supposerons que ce déplacement du centre de gravité, qui est du reste compris entre des limites très-restreintes, soit complètement nul, ci nous supposerons que la machine soit suspendue par ce point à un fil d'une grande longueur ; elle sera en équilibre instable autour de ce point et pourra obéir à l'action de toutes les forces et de tous les couples qui seront appliqués à Tune quelconque de ses parties. Nous supposerons enlin qu'on lui ait donné une position initiale telle que son châssis soit horizonzal comme il le serait si elle reposait librement sur les rails.

Nous désignerons par P la pression de la vapeur sur l'un des pistons, celui qui est à la droite du mécanicien placé sur la plateforme et regardant vers l'avant, par a l'inclinaison de la manivelle sur l'axe du cylindre (fig. 3, pl. 1), par p l'inclinaison de la bielle motrice sur la même ligne, par r le rayon de la manivelle, par L la longueur de la bielle, par V, a', (i' les mêmes quantités pour le piston de gauche, par q le poids de la manivelle rapjwrlé au centre du bouton, par q' le poids du piston.

Si nous supposons les organes de la machine en mouvement de telle sorte que les roues motrices fassent par seconde un nombre de tours égal à «, et que la vitesse correspondante du centre du bouton de manivelle o, mesurée en mètres parcourus par seconde, soit égale à », la valeur de la force centrifuge qui sollicite le poids

q sera égale à - — (1). Cette force, qui agit dans le sens du

(1) Nous supposons le poids de la manivelle rapporté an centre du bouton

rayon oa peut se décomposer en deux autres, Tune verticale, égale

à 3!L sin a, et l'autre horizontale, égale à — cos « ; on peut imgr gr

médiatement négliger la composante verticale, qui serait équilibrée par une augmentation de la résistance du rail ou par une partie du poids de la machine, si celle-ci reposait sur la voie , et qui ne peut produire aucune perturbation dans le mouvement ; on n'a donc à prendre en considération que la composante hori-

contale qui est une des principales causes d'instabilité. gr

Si l'on considère que pour le piston qui prend un mouvement alternativement accéléré et retardé, la roue étant animée d'un mouvement de rotation uniforme, ainsi que cela a lieu en service, la masse de la machine et du convoi fait volant et compense les inégalités de transmission du travail moteur ( page 58 ) , on peut alors considérer l'accélération et la retardation du mouvement comme produite par la réaction de la manivelle sur la bielle ; c'est ce qui aurait lieu en effot si le mouvement était imprimé à l'essieu moteur par une courroie enroulée sur une poulie fixée au milieu de sa longueur. Cette variation de mouvement ne peut être produite que par l'application d'une force agissant suivant la bielle a m; la contrepartie de cette force est au point a une pression exercée sur la manivelle, qui agit sur la machine, comme la force elle-même agit sur le piston et qui, la machine étant librement suspendue comme nous l'avons supposé, la sollicite tantôt vers l'arrière pendant une demi-révolutiou de 90° à 270°, et tantôt vers l'avant pendant l'autre moitié de la révolution de 270° à 90°, les angles étant mesurés dans le sens a, a' à partir de l'axe du piston. Si l'on sup- |M)se , pour simplifier le calcul , que la longueur de la bielle est

pour simplifier les calculs; cela n* change rien au résultat, car si l'on désigne par p le poids réel de la manivelle, par f la distance de son centre de gravité à l'axe, par r' la vitesse de ce point, on aura pour la force centrifuge pr'« qv* vr* r

toAflie ou, en d'autres termes, qu'elle reste constamment parallèlt à l'axe du cylindre, ou trouve que la valeur de cette force est représentée par l'expression cos « (1).

Cette force peut être remplacée : 4° par une force égale, parallèle et dirigée dans le même sens , appliquée au centre de l'essieu , 2° par un couple ayant pour bras de levier oh et ayant seulement pour effet de modifier l'action qui détermine le mouvement de rotation , d'augmenter ou de diminuer la variation de cette action , mais qui n'a aucune influence sur les conditions de stabilité et dont nous ne nous occuperons pas autrement. La force qui sollicite directement l'essieu , ramenée à sa valeur la plus simple par l'hypothèse que nous avons faite sur la longueur de la bielle, présente celte circonstance remarquable qu'elle est représentée par la même expression que la composante horizontale de la force cen-

1 »wi - ■ ■ '■ " ' ■■■■■■

(f) Le calcul peut s'effectuer de la manière suivante dans le cas le plus compliqué , c'est-à-dire en prenant les choses telles qu elles sont , la Welle ayant une longueur finie :

Soit « la valeur de ceUe force, q' le poids du piston et des pièces qui s'y rattachent, u la vitesse du piston à un instant quelconque t, s le chemin qu'il a parcouru à cet instant; à partir de l'origine de la course, on a :

s = r -\- L — (r cos « + L cos p)

et i~r (t— cos V L« — r» sin» a;

r r» sin a cos* -i

.:=, d* = Tdt et n^j-,

i- raina cos a -i

i = -—- = v\ sin a + ~r z ,

r- l* (cos»* — sin» a) ■+- r* sin** -i

LC0S<X + r Vil* — r«sîuV«]* r*'

jltr L*(cos»x — sin»«)-f-r»sîn*a-t

« = - eoa« + r .. I,

gr L ^ Vc^-r»sin««)t J

t q'v* îupposait L= U reste *=■ ■■ cota.

0 çr

triroge et de plus qu'elle est toujours dirigée dans le même sens et se compose avec elle par voie d'addition. H en résulte comme première conséquence qu'on n'est pas obligé d'analyser le mouvement de la bielle motrice, qui participe à la fois du mouvement de la manivelle et du mouvement du piston, ce qui ne pourrait se faire que par des méthodes de calcul d'un ordre beaucoup plus élevé et que nous avons évité d'aborder dans le cours de notre travail.

Si l'on désigne par Q le poids total de la manivelle ( celleci étant supportée au centre de son bouton ) , de la bielle motrice, des bielles d'accouplement, du piston, de la tige, de la coquille et même du plongeur de la pompe alimentaire lorsqu'il est commandé directement par le piston , on a pour la

ùv*

valeur totale de la force qui sollicite l'essieu, — — cos«.

gr

Du cdté gauche de la machine, en remarquant que cos « usiner, on a pour la somme des forces qui sollicitent également l'essieu ûv

— -=— sin «. C'est l'action de ces forces qui est la principale

cause d'instabilité des machines (1). Il nous reste a examiner quelle est la nature des perturbations.

Dans la machine que nous avons prise avec intention comme exemple, on peut supposer, sans s'éloigner beaucoup de la vérité, que l'axe des cylindres est situé dans le plan moyen des roues ou, en d'autres termes, que les différentes forces qui sollicitent l'essieu agissent dans le même plan; nous montrerons plus tard comment on doit tenir compte de la différence des écartements de

ces forces. -^-cos a représente donc une force unique appliquée

(I) L'erreur totale que l'oo commet dans la mesure de ces forces est d'environ 1/10* pour les machines à voyageurs , et de 1/SO* pour les machines à marchandises, pour certaines positions des manivelles; elle est nulle ponr d'antres positions. Il est inutile d'en tenir compte pour l'application, et nous continuerons à raisonner sur l'hypothèse adoptée de la longueur infinie de la

à l'extrémité de droite de l'essieu, sin a une autre force unique

appliquée à son extrémité de gauche. Sans rien changer aux conditions d'équilibre du système, on peut appliquer au centre de

l'essieu deux forces égales et parallèles à — — cos« et dirigées en

Qv*

sens contraire, de même pour sin«; cet ensemble de forces

gr

se réduit à deux forces longitudinales qui sollicitent le milieu de

l'essieu et dont la résultante est (sin * -f-cos «) [1] et à deux

gr

couples qui tendent chacun à faire tourner la machine autour de Taxe vertical passant par lé centre de gravité qui, par cela même qu'ils sont des couples, tendent seulement à produire un mouvement de rotation ; les bras de levier de ces deux couples sont de signe contraire et égaux chacun à \ e , e désignant l'écartement des plans moyens des roues ou des plans dans lesquels sont appliquées les

Qv*

forces perturbatrices, leurs moments seront égaux à \ — -<? cos« et — ; «sioot, et le moment résultant à

(cos«-sin«j. |2|

Si l'on examine comment varient les valeurs de l'expression au fur et à mesure que l'angle a varie , on trouve que lorsque a = 135° et a = 315°, la résultante est nulle ; qu'elle croît par degrés insensibles depuis «-^435° jusqu'à « = 225°, pour décroître ensuite jusqu'à 315°, en restant positive, c'est-à-dire dirigée de l'avant vers l'arrière ; qu'elle prend ensuite une valeur négative croissante de 315° à 45° et décroissante de 45° à 135°, point de départ. La machine prendra donc sous l'action de cette force un mouvement d'oscillation qui serait analogue à celui d'un pendule, si le point de suspension n'était pas supposé à une hauteur infinie, qui, par ce motif, est un mouvement rcctiligne de va et vient auquel on a donné le nom de mouvement de langage* Nous

Digitizçd by GooqIc

v< -irons comment il se manifeste dans la réalité lorsque II machine «>t en înouvcment sur les rails. On trouve par le calcul que l'amplitude de cette oscillation est indépendante de la vitesse , qu'elle dépend seulement du poids relatif des organes moteurs et de la machine ; en supposant le poids de la machine que nous avons prise pour exemple égal à 21 ,000k*, on trouve que l'amplitude totale de l'ascillation, de l'avant à l'arrière, est égale à très-peu de chose près à 0m,0i (t) ; ces résultats ont été du reste confirmés par des expériences directes dans lesquelles on a fait tourner à vide les roues d'une machine suspendue au moyen de cordages ao-dessus du sol.

Si Ton examine de même comment varie la valeur de l'expression 12| , lorsque l'angle a varie de 0° à 360° , on trouve que le moment du couple est nul pour les valeurs a ss 43° et a = 225°, qu'il croit positivement de « = 45° jusqu'à otss 138° pour décroître jusqu'à a = 225° et qu'à partir de ce point il prend des valeurs

(t) Soit T le poids de la machine, S l'amplitude totale d'une demi-oscillation, è la distance du centre de gravité de la machine au point mort de l'oscillation et m la vitesse a un instant quelconque t, on a, pour l'expression de la force accélératrice :

T du O» g at gr

on a en outre t = — — et t ~ï-ru;

or r

par suite %=.%-Kn— J (sin * -f- cos a) 4%,

Or

et « = 27:»-— -(sin* — cosa);

or, *^~dt el d* = Mdf.

Or

On a dono d a = — (sin * — cos a) d a,

Or f* Or

= — / (sina — cosaida= — — (sin a COS a) +<?,

Or /^*= 13^,» 0r

S = 4~ / (&in a — cos a) d a — — 2 — — 0-.004C. * J a m 4r,o T