PH : P'H' — - F* V

En comparant cette proportion avec celle obtenue plus haut

PP

on voit que les rapports - , , ne sont autre chose que les

masses des corps qui , soumis aux forces motrices constantes considérées , manifestent les poids P et P.

Ainsi on peut dire que, la masse d ’un corps soumis à l'influence d'une force motrice constante , est le rapport du. poids de ce corps à l’espace que cette force lui fait parcourir durant la première seconde de mouvement.

L’équation trouvée d’abord signifie donc que, la quantité d’action mécanique dépensée par la gravité pour produire la chute des corps , est numériquement égale .h la moitié de la force vive développée au Las de la chute.

18. Cette égalité aurait lieu pour toute autre forçe motrice constante, car si un homme par exemple, au lieu d’exercer un effort ou action invariable P contre une résistance qui parcourt uniformément un chemin //, agissait' sur une certaine masse libre M et pouvait la suivre dans son mouvement accéléré, quand celte masse aurait parcouru le chemin H , sa vitesse .acquise V serait telle que l’on aurait suivant le n° 12 et d’après ce qui vient d’être démontré.

MV’ = a PH

C’estdoncun travail identique pourune force motrice, soit de livrer une certaine quantité d’action mécanique à une machine dont le mouvement ne s’accélère pas, à cause de la résistance qu’elle éprouve dans l’accomplissement de ses fonctions; soit de communiquer à un corps libre une certaine force vive. C’est sous ce point de vue qu’il faut entendre cette définition de Montgolfer , la force vive est celle qui se paie.

ig. L’intensité de la pesanteur variant d’un lieu h un autre , il en résulte qu’un même corps varie de ^onZîquand ilêst transporté d’un endroit du globe à un autre, quoique la quantité de matière de ce corps ou sa masse reste toujours la même. Ainsi la masse des corps est bien proportionnelle à leurs poids dans le même endroit du globe , mais ne l’est pas à leurs

NOTES SLR LA MÉCANIQUE, poids observés dans des lieux difïérens; il n’est donc point surprenant qu’il y ait inégalité entre les poids et les masses.

Mais si l’on désigne par g ef g* la valeur de la vitesse acquise par les corps, à la fin de ia première seconde de leur chute dans deux endroits différens du globe , et par conséquent aussi l’intensité dont la gravité jouit en ces lieux, on à , p et p' désignant les poids d’un même corps.

p : p' = g : / d’où P~ = p

D’après le n° 17, ces rapports exprimant la masse du corps on voit qu’elle reste la même, comme cela doit être.

20. Soit/'’ une force instantanée, quelconque, pouvant imprimer la vitesse F à un corps dont le poids est P kilogrammes et ÿ l’intensité de la force résultant de l’action de la gravité sur un kilogramme de matière situé à la surface du globe , et capable ainsi, comme on sait, de lui donner après une seconde de temps une vitesse finale t^",8o88 que je représenteraDoujours par g. Il est clair qu’une force P 7 pourrait communiquer au corps P, cette même vitesse g, au bout d?une seconde d’action; on aura donc :

F : o P =z V : g d’où résulte : F = 7 P —

et en prenant la force 7, c’est-à-dire la pression qu’un kilogramme de matière exerce sur tout corps qui s’oppose à sa chute, pour unité de mesure des forces, la valeur précédente se réduit à

équation qui prouve que la force instantanée est égale à la quantité de mouvement qu elle produit.

Principe général de l’équilibre, ou des vitesses virtuelles.

21. Lorsqu’un système quelconque de points matériels, liés entre eux d’une manière quelconque, est sollicité par des forces telles que ce système reste en équilibre, on peut cependant

47â • ADDITIONS.

imaginer que cet équilibre est infiniment peu troublé pendant un instant. Par suite de ce dérangement le point d'application de chaque force décrira un petit chemin virtuel , et si l’on projette ce chemin. sur la direction de la force, la somme algébrique des produits ou momens virtuels que l’on formera en multipliant toutes les forces par. les projections correspondantes, sera nulle.

Réciproquement, si pour tous les petits dérangemens que l’on peut donner à un système de points liés entre eux d’une manière quelconque , et sollicité par des forces connues , la somme algébrique des momens virtuels est nulle , ce système restera en équilibre.

Si l’on donne le signe plus aux momens' virtuels, lorsque le chemin décrit par le point d’application de la force est parcouru dans le sens de sçn action particulière, on leur donnera le signe moins quand ce chemin rebroussera.

Le principe des vitesses virtuelles n’est qu’une extension de la condition d’équilibre commune à toutes les machines simples; c’est par induction que les géomètres l’ont d’abord établi. Les limites de ces notes neéomportant pas l’exposédes démonstrations générales qui en ont été données depuis, je me bornerai à son simple énoncé. J’agirai de même pour les autres principes généraux de mécanique qui se trouvent dans le même cas, et pour la démonstration desquels le lecteur pourça consulter les Leçons de mécanique de M. de Prony ; le Traité élémentaire de mécanique de M. Poisson , etc.

l)u choc des corps en général.

22. Lorsqu’un corps en mouvement vient frapper un autre corps en repos, il agitcontre ce dernier avec une force de percussion qui peut être regardée comme instantanée, et qui, n° 20, a pour mesure la quantité de mouvement du corps mobile, c’est-à-dire le produit de sa masse par la vitesse de son centre de gravité.

Le point par lequel cette force de percussion transmet son effet au corps choqué, est le point de contact des deux corps ;

et la direction de cette transmission étant évidemment donnée par la normale commune aux surfaces des corps en ce point, la force totale de percussion n’agira sur le corps en repos que quand cette normale passera par le centre de gravité du corps mobile. Lorsque cette condition n’aura pas lieu la composante de cette force totale, parallèle à la normale commune, sera la seule partie de. la force de percussion qjii agira sur le corps en repos.

Du choc des corps durs.

a3. Voici les lois qui régissent le choc des corps durs :

Lorsque deux corps sphériques parfaitement durs se mouvant d’un mouvement uniforme quelconque, sur. la ligne de leurs centres, viennent à se choquer, ces deux corps restent juxtaposés, et leur quantité de mouvement après le choc est égale à la somme algébrique des quantités de mouvement dont ils étaient animés avant le choc ; c’est-ji-dire que les quantités de mouvement particulières aux corps s’ajoutent s’ils vont dans le même sens, et se retranchent l’une de l’autre s’ils vont dans des sens contraires.

Il résulte de là que la vitesse du centre de gravité du système des deux corps avant le choc, n’en est point altérée , et qu’elle se conserve après le choc telle qu’elle existait avant.

Mais la force vive des corps durs après le choc, est moindre que la somme des forces vives qui avaient lieu avant le choc.

Choc des corps élastiques.

a 4- Si un corps doué d’élasticité va frapper à angles droits un plan invincible parfaitement dur, ce corps se déprime contre le plan , et l’élasticité ou ressort de ses molécules lui faisant reprendre sa forme primitive en passant à l’inverse par tous les degrés de dépression qu’il a éprouvés, il en résulte que s’il est parfaitement élastique, au moment où il aura recouvré sa f orme primitive, il aura par cela même repris la vi-

tesse qu’il possédait avant le clioc , mais en sens contraire de son mouvement primitif. Si l’élasticité du corps est imparfaite , la vitesse qu’il retrouve n’eSt qu’une fraction plus ou moins grande de sa vitesse à l’instant du choc.

Si une sphère élastique telle qu’une bille de billard frappe sous un angle quelconque un plan invincible comme la bande dç ce billard, par exemple, l’angle sous lequel la sphère prend sa direction après le choc est égal à l’angle d’incidence.

25. Voici les lois qui régissent le choc des corps sphériques élastiques, se mouvant sur la ligne de leurs centres.

La quantité de mouvement de ces corps après le choc est algébriquement égale à celle qu’ils possédaient auparavant.

La vitesse du centre de gravité des sphères élastiques après le choc, reste la même qu’elle était avant qu’il n’eûtlieu.

Ces deux lois sont •communes au choc des corps durs et des corps élastiques ; mais ce qui caractérise celui-ci , c’est que la force vive après le choc est entièrement conservée ; c’est-àdire que ce choc ne fait éprouver aucune diminution à la somme des forces vives que les corps possédaient antérieurement.

Si deux sphères élastiques vont à la rencontre l’une de l’autre, elles rebroussent après le choc, et font une échange mutuel de vitesse.

Cet échange de vitesse a lieu dans tous les cas , de sorte que, si l’une des sphères était au repos avant le choc , c’est elle seule qui se mouvrait après et la sphère qui l’aurait choquée resterait au repos.'

Du mouvement circulaire uniforme.

26. Je suppose qu’un point matériel doive parcourir uniformément le contour abede etc., fig. 2 rg, d’un polygone régulier quelconque. Pour que cela ait lieu, il faut d’abord qu’au départ de a il soit mis en mouvement par une force dirigée suivant le côté ah ; mais si cette force agissait seule , le point matériel

continuerait à se mouvoir uniformément vers c' d!' , dans le prolongement de ce côté ab. 11 faut donc qu’en arrivant au sommet b, ce point matériel y soit soumis à l’action d’une force dirigée vers le centre o du polygone , qui le dévie du chemin bc' qu’il parcourrait en vertu de sa vitesse initiale, pour le diriger sur bc. Si donc je prolonge ce côté bc d’une quantité i/ëgale à lui-même , en conduisant les deux droites bg , fg respective ment parallèles hafeiab, je formerai un parallélogramme abgf, qui indique que la force qui fera arriver le point matériel en c au même instant qu'il aurait parcouru b cf — ab , est représentée en grandeur et en direction par la droite gb-, si l’on prend ai pour représenter l’intensité de îa force initiale.

Mais lés deux triangles isoscëles oie,/ bg étant semblables:

on a bg : bc=fb:bo , d’où il résulte gb = — ^ — parce que jb ~ bc — ha .

Arrivé en c le point matériel, pour prendre la direction cd , devra y recevoir l’impulsion d’une force co'' égale* à la précédente gb , dirigée comme elle vers le centre o, et ainsi de suite à chaque sommet du polygone considéré.

27. Dans ce qui précède, je n’ai fait aucune hypothèse sur le nombre de côtés du polygone abcd-, donc ce que j’ai démontré s’applique au cas où les côtés ai, bc, etc. , seraient infiniment petits, et par conséquent en nombre infini, c’est-à-dire au cas où le polygone régulier dégénérerait en une circonférence de cercle. Dans ce cas seulement, les forces telles que ho' co", etc., seraient en nombre infini, et leurs impulsions ne seraient séparées que par des intervalles de temps infiniment petits; ou en d’autres termes, n°io, le point matériel serait soumis àl’aclion d’une force accélératrice constante, dirigée vers le centre du cercle, et que l’on appelle, pour cela , force centrale ou centripète.

Cette force , d’après la formule trouvée , égale le carré de la force tangentiel/e divisé par le rayon du cercle décrit.

Il est clair que le point matériel, en vertu de l’action de la force qui l’a d’abord mis en mouvement , oppose en sens

4f6 ADDITIONS.

contraire à l’action de la- force centrale , une résistance qui est égale à celle-ci, et que l’on désigne par le nom de force centrifuge. C.e ne peut être en effet qu’en vertu de l’égalité de ces deux forces, que le point matériel reste à une distance invariable du centre de rotation.

a8. La vitesse tangentiel/e V est éyidemment égale à uu certain arc a du cercle décrit^ divisé par le temps /mis à le parcourir. Ainsi V = - . .

Si donc on représente par T le temps périodique , c’està-dire le temps nécessaire pour une révolution entière du point matériel, dans le cercle dont R est le rayon.

on a V =

27tR

En divisant l’arc a paF le rayon R, on a l’angle au centre

a soutendu par l’arc a ainsi a — j , expression qui , en sub-

stituant pour a la valeur prise dans l’équation précédente , re-

vient à a = — - i •

On appelle vitesse angulaire le rapport de a à /, en désignant

cette vitesse par n , on a donc ft = .

29. Comme les forces centrale ettangentielle, appliquées au même mobile, sont proportionnelles aux vitesses quelles sont capables de lui communiquer , savoir: Cque je choisis pour exprimer la première, et V déjà employé pour désigner la seconde,

On a d’après l’égalité énoncée plu» haut C = -jj- ; etpar suite de ce qui précédé G = ■ ou 6 = j,

et en général

3o, Pour d’autres élémens du mouvement circulaire désignés par les mêmes lettres minuscules , des équations semblables aux précédentes existeront, de sorte que l’on aura les proportions

at0,~Wr .

dont les deux dernières comportent celles-ci

Ces diverses formules et proportions renferment toutes les lois du mouvement circulai)* , et peuvent être facilement traduites en langage ordinaire.

Des pendules simple et composé.

3 1. Si un point matériel pesant est supposé librement suspendu à un point fixe par un fil inextensible , il constitue un pendule simple. En écartant ce point matériel de la verticale du point de suspension , il y reviendra par l’effet de l’action de la gravité V mais en vertu de la vitesse acquise il dépassera cette verticale pour y revenir de nouveau, en faisant ainsi une série d’oscillations qui , si elles ont très-peu d’étendue , seront isochrones ou faites dans des temps égaux.

Cela est facile à démontrer , car , si l’on imagine le point matériel en une position quelconque a fig. 220 , sur l’arc de cerclç , a i p qu’il parcourt autour du point de suspension 0, en décomposant la force de la gravité ah qui l’y sollicite en deux autres , passant , l’une ac par le point de suspension O , et l’autre a d suivant la tangente au point a de l’arc de cercle qui sera parcouru ; la résistance du point de suspension détruira la première composante, et le pendule n’obéira qu’à la -seconde. Mais l’angle had, compris entre la 7 tangente mentionnée et la direction de la gravité qui sollicite le point matériel a , est le complément de la moitié de l’ amplitude aO p , de l’oscillation du pendule; moitié qui est v

représentée par l’angle aOi , que fait avec la verticale Oi du point de suspension O , l'a direction du fil O a qui aboutit à la position, considérée du pendule simple.

Si donc m est la masse du point matériel , et 2w l’amplitude aOp de l’oscillation à faire , la composante f qui agira sur ce- point sera donnée par la proportion f: mg'— sin &> : i , le rayon des lignes trigonométriques étant l’unité.

Pour une autre position e , du point matériel , on aura de même f' : mg — sin : i ; d’où résulte que , dans tous les cas sin « : sin J .

Si donc les amplitudes 2», sont assez petites pour que les arcs «, &/ne diffèrent pas sensiblement de leurs sinus, on voit que les forces f,f seront proportionnelles à ces arcs ou aux amplitudes ; donc les arcs aip , et diq , réellement décrits par le point matériel , . seront parcourus en temps égaux , c’est-à-dire que les petites oscillations du pendule simple sont isochrones.

33. Il résulte de là qu’en considérant deux pendules simples de différente longueur , les durées de leurs oscillations isochrones sont proportionnelles aux racines carrées de ces longueurs.

En effet, soient P et p les points matériels qui constituent les pendules oscillant autour du point O de suspension ; en écartant ces deux pendules de la verticale OI d’une même quantité angulaire , et en menant les horizontales PH ph , les lignes HI , hi , indiqueront les hauteurs dont les points matériels P, p, seront réellement tombés pendant une demie oscillation ; en désignant donc par T, t, les durées des

oscillations : celles des chutes seront — et - . Mais lors-

qu’un corps grave glisse sur un plan incliné , la gravité qui le sollicite est diminuée dans le rapport de la hauteur à la longueur de ce plan incliné ; donc ici les deux points matériels P, p, seront soumis, dans leur descente sur les arcs semblables PQI , pqi, à une succession semblable de forces accéléra-

trices qui auront la même intensité pour des distances angulaires égales , à partir -de la verticale 01 ; ainsi les espaces parcourus, qui sont proportionnels aux longueurs ÙP, op, des t pwdulcs que je désignerai par L et l , seront proportionnels

aux carrés des temps; ainsi L : l— : ou comine

je l’ai énoncé T \t— - \/L : \/l

34. On démontre, dans les ouvrages cités, que la durée des petites oscillations d'un pendule simple est au temps qu'un corps grave mettrait à tomber d’une hauteur double de la longueur du pendule , comme la moitié de la circonférence du cercle est à son diamètre , proportion qui conduit à ■

Cette équation lie la longueur î du pendule au double g de l’espace que la gravité fait parcourir aux corps terrestres , pendant la première seconde de la chute , et peut servir ainsi à calculer une de ces quantités d’après l’observation de l’autre.

La longueur du pendule qui à l’Observatoire de Paris, dans le vide et auniveau de la#ner , bat la seconde sexagésimale, est égale à o"‘,gr)383f) ; le mètre ne diffère donc que d’environ 6 millimètres du pendule à secondes.

35. Abstraction faite delà résistance de l’air atmosphérique, une balle de plomb , suspendue à un fij de soie très-fin , peut donner une représentation plus ou moins parfaite du pendule simple; on se sert d’un tel pendule à défaut de montre à secondes, pour les observations qui n’ont pas besoin d’une précision extrême.

On emploie toujours dans les arts des pendules composés , c’est-à-dire formés avec des corps suspendus librement par un de leurs points. Quel que soit le pendule composé que l’on considère , il est évident qu’il est toujours possible d’imaginer un certain pendule simple synchrone avec Jui , c’est-à-dire faisant ses petites oscillations dans la même durée de temps.

Le point qui , sur la ligne passant par le centre de gravité et par le point de suspension du pendule composé , se trouve à une distance de ce dernier point égale à la longueur du pendule simple correspondant, se nomme centre d’oscillation du # pendule composé. C’est à ce point que toute la masse de ce pendule devrait être réunie pour le transformer en pendule simple synchrone , ou faisant le même nombre d'oscillations dans un temps donné.

Le centre d’oscillation est évidemment le centre de percussion du pendule composé , c’est-à-dire le point par lequel ce pendule en mouvement devrait frapper un autre corps , pour lui communiquer la plus grande quantité de mouvement possible.

37. On démontre, dans les traités de mécanique cités, que la longueur l du pendule simple synchrone à un pendule com-

posé est donnée par la formule / = a -f- — dans laquelle

a exprime la distance du centre de gravité de ce pendule à son axe de suspension , et k' le quotient du moment d’inertie de la masse du pendule composé pris par rapport à un axe parallèle au précédent et passant parte centre de gravité, divisé par cette masse.

On appelle moment d’inertie d’un corps pris par rapport à un axe la soiqme de tous les produits que l’on peut faire en multipliant tous les élémens matériels dé ce corps, par le carré de la distance à laquelle ils se trouvent de cet axe.

Quand on forme un pendule avec une balle de plomb suspendue à un fil très-léger , on a , en négligeant le poids de ce fil , et en représentant par r le rayon de la balle ,

l = a “h o,4 r- r , formule qui donne le moyen de calculer

l’erreur que l’on commet en prenant a pour l.

Principe général du mouvement , du à d’Alembert.

38. Si l’on considère un système de points matériels, liés en-

Ir’cux d’une manière quelconque, et sollicités chacun parune force particulière; ce.s points n’oliéiront pas ï ces forces comme s’ils étaient libres, mais en vertu du mode de liaison auquel ils sont soumis, ils prendront chacun une vitesse et une direction particulières.

En appliquant donc à chacun de ces points matériels une nouvelle force capable de lui imprimer une quantité de mouvement égale et opposée à celle qui a lieu, il est évident que,, par cela seul, ce nouveau système de foyces fera équilibre au premier en vertu de la liaison des points matériels considérés. Ce principe est si fécond que l’illustre Lagrange e na fait la base de sa Mécanique analytique.

Principe de la conservation du centre de gravité.

3g. Un système de corps qui ne renferme aucun point fixe ne peut altérer par lui- même le mouvement de son centre commun de gravité.

Ce principe a lieu, quelles que soient les actions réciproques des corps du système, par suite soit de leur liaison , soit de leur attraction ou répulsion naturelle ou artificielle. Le centre de gravité commun au système se meut comme si les masses de tous les corps y étaient réunies, et comme si toutes les forces motrices y étaicn^.püquées parallèlement à ellesmêmes.

Principe de la conservation des uires.

4-0. Si un système de points matériels liés entre eux d’une man^re quelconque, riiais non avec des points fixes, ne sont soumis à d’autreS forces accélératrices qu’à celles qui résultent de leur attraction mutuelle, la somme algébrique des aires décrites par les rayons vecteurs de ces points, autour d’uu point quelconque choisi , augmente proportionnellement au temps employé pour les décrire.

Si le système de points matériels contient un point fixe, exerçant ou non une action attractive ou répulsive sur Tes

autres points «lu système, le principe «le la conservation «les aires n’a lieu cpi'en choisissant ce point pour départ des rayons vecteurs.

S'il existe deux points fixe3 dans le système de points matériels considérés , le principe des aires n’aura lieu que lorsque le point «le départ des rayons vecteurs sera situé sur la ligne droite qui joint les deux points fixes , et que les aires seront comptées sur un pian perpendiculaire à celte ligne.

Principe de la conservation des forces vives.

4i. Si un système de corpsdurs, liés entr’eux ou à des points fixes d’une manière quelconque, sont soumis ides forces attractives ou répulsives émanant soit d’eux-mêmes , soit de points fixes étrangers au système , la somme des forces vives restera la même tant que le système n’éprouverapoint «le choc.

Si les corps du système sont élastiques, la somme des forces vives sera la même malgré les chocs qu’ils pourront se donner , toutes les fois que le système repassera par les mêmes positions.

4a. Il résulte de ce principe un théorème qui n’est que H généralisation de la relation que nous savons exister entre la force vive d’un corps à un jetant quelconque de sa chute et la quantité d’action mécanique ■ dépensée par la gravité, depuis l’origine du mouvement : en voici l’énoncé.

Si plusieurs forces accélératrices quelconques agissent sur un corps et lui impriment le mouvement, la force vive acquise par ce corps après un certain temps est toujour# numériquement égale au double de la somme des quantités d’action mécanique que ces forces lui ont livrées pendant le même temps.

l.a valeur de la vitesse du corps à un instant quelconque ne dépend que de l’intensité des forces qui l’ont sollicité et de l’espace qu’il a parcouru suivant les directions de ces forces,

DU FROTTEMENT. 485

peu importe la durçe de son mouvement, la forme de la courbe parcourue et la vitesse pendant le trajet.

Ce théorème s’applique également à un système de points matériels, quel que soit je mode Se leur liaison, pourvu qu’il soit indépendant du temps , et que ces points décrivent des courbes continues.

Théorème de Camol.

43. Lorsqu’un système de corps durs en mouvement éprouve un changement brusque de vitesse , il en résulte une diminution dans la force vive du système , égale à la somme des forces vives dues aux vitesses perdues par les corps qui composent ce système.

Du Frottem NT.

44- Lorsqu'un corps en mouvement glisse sur un autre corps soit mobile , soit au repos , il en éprouve une espèce de résistance que l’on a nommée frottement. 11 est clair que l’expérience a pu seule conduire à la découverte des lois qui régissent le frottement-, ainsi qu’à l’expression de sa valeur numérique. C’est principalement à Coulomb que l’on est redevable de l’appréciation exacte de cette résistance, qii’il a déterminée par des expériences variées ; Vince , Rennie , et tout récemment iieorgC Rennie, ont vérifié ces expériences et y en ont joint de nouvelles très-intéressantes ( voyez les Annales de /’ Industrie pour 1829, tom. 4T). Quoique les résultats auxquels ' ccs savans sont parvenus prouvent que le frottement a bien moins d’intensité qu’on ne le supposait antérieurement dans le calcul d^ machines , il n’en est pas moins vrai que ce frottement est une résistance assez considérable pour influer de la manière la plus sensible sur les conditions d’équilibre , et sur le mouvement des machines ; de sorte que , dans l’état de repos, le moteur et la résrstance peuvent varier en plus ou en moins, entre certaines limites , sans que cet état soit changé. Les conditions que la théorie indique, soit pour l’équilibre des\ machines simples , soit pour les proportions dans

lesquelles ces machines doivent transmettre un effort qui leur est confié , ne sont réellement pas celles qui ont lieu dans la pratique. ^

45. Le frottement qui détruit tant de puissance est pourtant utilisé pour bien des choses en mécanique ; les courroies et les cordes , par exemple , dont on se sert avantageusement pour transmettre le mouvement au lieu de roues d’engrenage , ne doivent leur emploi qu’au frottement qui les em^ pêche de glisser sur les poulies ou tambours qui les reçoivent ; les freins modérateurs , les amarres sans nœuds , les noeuds eux-mêmes , etc. , sont autant d’utilisations du frottement.

46. Une manière fort simple de calculer la valeur du frottement est d’incliner les surfaces planes frottantes, jusqu’au point de déterminer le glissement du corps supérieur sur cqJqi qui forme plan inpliné. On est convenu de nommer angle tlufroltementV avec l’horizon, ainsi observé; en le désignant par œ, et appelant P le poids qui presse la surface supérieure sür la surface inférieure, on à , P cos. $> pour la pression normale aux surfaces frottantes , et P sin. y pour la valeur de l’effort qui surmonte le frottement. Donc le rapport f du frottement à la pression est exprimé généralement par

f — p J- cur simplement f— tang. s.

En d’autres jmols , ce rapport est le même, que, celui de la hauteur du plan incliné à sa base.

47. Dans son mémoire , Coulomb a donné le rapport de la pression au frottement; mais pour le calcul dès macffli es c’est au contraire le rapport du frottement à la pression , qu’il eshplus commode d’employer. Aussi M. Navier , dans ses notes sur Bélidor, en résumant les résultats des expériences de Coulomb, faites avec un appareil à traîneau, a-t-il don ué ces derniers .rapports que je vais citer.

> Chêne glissant sur chêne. — Fibres parallèles, sans enduit ,

DU FROTTEMENT

o,44 rapport au départ , et q, i i rapport pendant le mouvement. — Arêtes arrondies à fibres parallèles , sans enduit , 0,42 et 0,08. — Fibres croisées, sans enduit, 0,27 et a, 10.

— Arêtes arrondies à fibres croisées , ? et o, 10 — Fibres paralièles , couvertes d’un enduit frais de suif, o,38 et o,o35.

— Arêtes arrondies à fibres parallèles avec enduit , ou dont , l’enduit a été essuyé et restant onctueuses, ? et 06. — Fibres parallèles usées , et frottées de vieux oing, o, ai et ?.

Chêne glissant sur sapm. — Fibres parallèles -, 0,67 et o, 16.

Chêne glissant sur fer. — Fibres dans le sens du mouvement très-lent, ? et 0,08. — Idem vitesse de par seconde, ?

et 0,17. — Idem les surfaces étant très- petites , sans enduit , mais onctueuses, ? et 0,07.

Sapin glissant sur sapin. — Fibres parallèles, o,56 et 0,17. .

Orme glissant sur orme. — r- Fibres parallèles, o,46èt o, îo.

Fer glissant sur fer. — Sans enduit, 0,28 et 0,28. > — Avec enduit frais de suif, P et 0,10.

Fer glissant sur chêne, o, 18 et P. ,

Cuivre glissant surfer. — Sans enduit, 0,26 et 0,24*’ — Avec enduit d’huile, 0,17 et?. — Idem sur un ancien enduit de suif,? et 0,12. — Avec enduit de suif neuf, o,n et 0,10. — Avec enduit de vieux oing, o,i4 et ?. — Pointes émoussée?, 0,17 "et ?. — Idem onctueuses ou enduites de suif et d’huile , ? et 0,12.

Cuivre glissant sur chêne , 0,18 et ?. '

48. M. Navier a déduit aussi les rapports du frottement à la pression dans les expériences de coulomb , sur le frottement des axes ou tourillons, pour Je cas où le mouvement a lieu depuis un certain temps.

Tourillon de fer dans un coussinet de cuivre. — Sans enduit 0,1 55: — Avec enduit de suifo,o85. — Avec enduit de vieux oing 0,12. — Les surfaces étant pénétrées par le suif et restant onctueuses 0,127. — Avec enduit d’huile o,i3. — Avec un enduit servant depuis long-temps 0,1 33.

Tourillon de chêne vert dar\s un coussinet de gayac. — Avec enduit de suif o,o38. — L’euduit étant essuyé et les surfaces restant onctueuses 0,06. — Avec un enduit servant depuis long-temps 0,07.

Tourillon de chêne vert dans un coussinet d'orme. — Avec > enduit de suif o,o3. — L’enduit essuyé et les surfaces restant onctueuses o,o5.

Tourillon de buis dans un coussinet de gayac. — Avec enduit de suif o,o4.3. — L’enduit essuyé et les surfaces restant onctueuses 0,07.

Tourillon de buis dans un coussinet d’orme. — Avec enduit de suif o,o35. — L’enduit essuyé et les surfaces restant onctueuses o,o5.

49- Il résulte des expériences de G. Réunie que le frottement des substances fibreuses , telles que les tissus , diminue à mesure que la pressiojn augmente , et qu’il augmente avec la finesse du tissu et par la durée du contact ; la valeur de ce frottement varie entre un tiers de la pression lotale et une quantité plus grande que cette pression.

J’ai déduit des nombres rapportés par G. Rennie les valeurs suivantes du frottement de diverses substances.

Fer coûté glissant sur fer coulé.

Bronse glissant sur fer coulé. .

Cuivre jaune glissant sur fer ci l.tain glissant sur fer coulé. . .

(aplat de.

( de champ. .

\ à plat

' fde champ. .

. \ à plat

f de champ. .

à plat

1 de champ. .

De ses diverses expériences G. Rennie tire les conclusions suivantes. Les métaux durs ont un frottement moindre que les métaux doux. Dans les limiles d’une pression de 2,27 kil. par centimètre carré environ., le frottement des métaux durs peut être généralement évalué au sixième de.la pression. Pour

DU FROTTEMENT

les pressions 8, i5 kil. à 4 7 kil , par centimètre carré , le frottement augmente clans une proportion considérable , moins pour l’acier glissant sur la fonte et plus pour le cuivre glissant sur le fer. Une pression de 1570 kil. par centimètre carré a détruit des surfaces d’acier trempé. La diminution du frottement obtenue par l’interposition des corps gras , varie avec la pression et la nature de ces corps. Plus la pression est faible plus la graisse doit être fine et liquide ; le suif paraît être la graisse la plus avantageuse à employer , puis vient le savon mou.

5o. Des circonstances qui ont accompagné les diverses expériences faites pour déterminer l’intensité du frottement et les lois de cette espèce de résistance, dans les cas ordinaires, on déduit les règles suivantes :

Epoque .du maximum. — ■ Le frottement n’atteint pas son maximum dos que le contact des corps à lieu , mais bien après un certain temps dépendant de la nature de ces corps et après lequel il devient constant. Ce maximum pour les métaux glissant contre métaux , a lieu dans un instant ; pour les bois glissant contre bois à sec , dans quelques inimités ; pour les corps de nature différente , sans enduit , le maximum n’a lieu qu’après quatre ou cinq jours.

Poli des surfaces. — Le frottement des corps diminbe, quand on augmente le poli de leurs surfaces en contact.

Différence de la nature des corps. — Les corps de même nature développent entre eux plus de frottement que les corps de nature différente.

Vitesse du mouvement. — - Entre les surfaces hétérogènes le frottement croît en progression arillurté tique , lorsque la vitesse augmente en progression géométrique.

Pression. — Le frottement est toujours proportionnel à la pression.

Etendue des surfaces. — L’étendue des surfaces en contact n’a aucune intluence sur l’intensité du frottement. *

Interposition de substances étrangères. — Oh parvient à diminuer le frottement en interposant entre les surfaces des corps en contact diverses substances , telles que du savon , des graisses , de l’eau, de l’huile, delà plombagine, du talc /etc. , soit seules , soit mélangées ensemble.

Des engrenages cylindriques et de la forme de leurs