ENGRENAGES CYLINDRIQUES

dans la fig. 222 qù l’on s’est servi de cette méthode pour arriver à la forme de l’arc d’épicycloïde mn.

64. Laportion d’épicycloïde compris^ entre le cercle primitif de la roue et son cercle extérieur étant obtenue pour un côté de dent , on peut en relever un patron et reporter cet arc de courbe dans toutes les positions qu’il doit avoir, pour indiquer la forme des deux côtés de toutes les autres dents.

65. On peut encore chercher la position du centre d’un arc de cercle qui diffère aussi peu que l’on veut de la portion d’épicyclo'ïde mentionnée , et suppléer au trac4 des épicycloïdes par celui d’arcs de cercle. Ainsi , dans l’engrenage représenté par \ajtg. aa3 , le point Xest le centre d’un arc de cercle qui peut remplacer avec toute la précision désirable en pratiqué l’arc d’épicycloïde BC; en décrivant donc un cercle du point O comme centre, ayecle rayon OX, et indiquant sur ce cercle les points qui y sont placés relativement aux côtés de toutes les dents , comme ce point A l’est à l’égard du côté B.C de la dent ACDF , on pourra dessiner par des arcs de cercle décrits avec XB pour rayon les parties de toutes les dents. telles que BC,DE, extérieures au cercle primitif.

Le point x est le centre d’un arc de cercle qui pourrait être de même regardé comme ne différant pas sensiblement de l’ arc d’épicycloïde bcg. Si l’on se borne à la partie utile bc de cette épicycloïde, on trouvera que, dans le cas aeluei, le milieu y de la dent qui suit celle actif, que je considère , est le centre d’un arc de cercle qui peut être regardé commé identique avec cette partie utile te d’épicycloïde.

Il est évident que, si une pareille circonstance avait toujours lieu, elle serait fort avantageuse pour tracer les lignes propres à diriger soit l’ouvrier qui doit buriner et limer les dents des roues en fer coulé , soit celui qui doit tailler les dents de bois dont les grandes roues sont ordinairement garnies; malheureusement il n’^y est pas ainsi. Cependant ce tracé est si simple , si expéditif et^st si peu de chose à faire, du moment que la division de la roue est opérée, que les

constructeurs de machines l’ont généralement adopté dans l’établissement des grands travaux. L’erreur qu’ils commettent, quoique très -sensible dans certains cas, est néanmoins toujours au-dessOus de celles qui peuvent avoir une influence nuisible; c’est ainsi qu’en toutes choses il faut savoir faire une juste part à la. théorie qui nous dirige et à la pratique qui nous manifeste l’utilité de la science.

Des engrenages coniques.

66. Ce que j’ai dit sur la manière de concevoir la formation des engrenagês cylindriques, par la mise en contact de deux cylindres primitifs , s’applique également à la formation des engrenages coniques ou roues d’angle , qui se dérivent de deux cônes primitifs ayant le sommet au même point de l’espace , et mis en contact suivant une de leurs génératrices.

67. Le tracé rigoureux des dents dés roues d’angle , ou roues d’engrenage coniques , a présenté long- temps- assez de difficulté dans 1’exécutio‘ii. On conçoit, en effet, que la construction des épicÿcloïdes sphériques employées par les auteurs qui ont traité de cette matière , supposant la connaissance parfaite de la géométrie ■ descriptive , et une grande habitude du dessin de Vépiire , peu de personnes sont à même de profiter des méthodes indiquées dans les livres. D’ailleurs lé temps considérable qu’exige le tracé des dents par ees méthodes , et les soins qu’il faut apporter au dessin ,' seront pour bieh d’autres , comme ils l’ont été pour moi, des obstacles qui s’opposeront toujours à leur usage dans les ateliers de construction de machines.

C’est dans le doublé but dé simplifier le tracé des dents des roues d’angle et d’économiser le temps , que je me demanda», s’il ne serait pas possible de ramener le tracé des dents des roues d’angle au tracé des dents des roues cylindriques. La nécessité dans laquelle je me trouvais de faireimniédiatementusagedela solution de ce problème me la fit bientôt découvrir ,. et j’ai continué, depuis, de la mettre à exécution avec le plus grand avantage. Aussi est-ce principalement dans l’intention d’être

ENGRENAGES CONIQUES. 4'j«J

Utile aux personnes qui. s’occupent de la' pratique de la mécanique , que je vais l’exposer brièvement ici, en reproduisant à peu près ce que j’#n ai dit, dans les Annales de l'industrie nationale et étrangère , pour janvier 1827.

Manière de ramener le- tracé des dents des roues d’angle à celai des dents des engrenages cylindriques.

68. Soient ab, db'Jig. aa5 les axes d’une couple de roues d’angle, représentées par les deux cônes primitifs ompq , om/Zq', ayant pour bases • les circonférences de cercle rtipq , mp'cf , dont aet d sont les centrés respectifs ; circonférences qui 6e touchent en m, quoique situées dans deux plans se croisant à angles droits si les axes des roues se croisent de même ; garce qu’en général ces plans se rencontrent sous un angle qui est le supplément de celui de ces axes. \ •

Par le point o , où ‘les axes des deux roues d’angle se coupent, menons l’àrête om , commune aux denx roues censées réduites aux cônes primitifs ; arrête qui se trouve d’ailleurs dans le plan aoa! des deux axes mentionnés. Cela fait , comme on est dans l’usage de terminer les têtes extérieures et intérieures des dents de chaque roue d’angle , par des surfaces cpniques normales à celle du cône primitif de céttc roue , si nous com^/ons, par le point m, un plan' perpendiculaire à cette arrête om , il touchera en m la surface des têtes des dents des deux roues d’angle proposées ,. et coupera leurs axes en b et U, points où se trouvent les sommets des cônes normaux aux cônes primitifs de ces roues. On pourrait donc développer ou dérouler sur un plan les cônes normaux avec les panneaux de tête des dents qu’ils contiennent, et il est évident que le tracé qui en résulterait appartiendrait à deux portions de roues cylindriques supplémentaires , qui à la vérité , si elles étaient complétées ne seraient pas garnies d’un nombre entier de dents, mais qui n’en sont pas moins propres à cause de leurs dimensions, à fournir les panneaux de tête des roues d’angle

proposées , quel que puisse être d’ailleurs l’angle compris par les axes de ces roues. ' . .

Or, si des points b, b' pris pour cent^s , et avec bm et b'rrt pour rayons, on décrit dans le plan perpendiculaire à om , les deux circonférences de cercle mts, mt' s' , qui se toucheront en m, et dont les axes seront représentés .par les lignes bc et iV, il est évident tjue ces circonférences serorst les cercles primitifs des deux roues d’engrenage cylindriques supplémentaires, dont les tfites des dents auront le même calibre ou patron que Celles des roues d’angle proposées. .11 est clair aussi qu’en donnant la même vitesse à la circonférence des deux systèmes d’engrenage, les têtes des roues d’angle viendront successivement coïncider avec celle des dents' des deux segmens des roues supplémentaires considérées.

On sera donc parvenu à tracer les calibres des têtes des dents des roues d’angle données , en traçant, par les méthodes ordinaires., les calibres des têtes des dents des deux roues cylindriques supplémentaires ; ce qui ne présente d’autre difficulté ni d’autre embarras que la recherche des-rayons de ces dernières roues.

, 6g. Ces rayons peuvent être obtenus graphiquement, en tra-

çant de grandeur naturelle , avec la règle et le compas , les triangles oma, -oma' , boV . Lorsque leurs dimensions seront trop considérables pour être renfermées dans une feuille de papier ou sur une tabfeen planches dé bois , on qgtérera à une échelle suffisamment sensible. ' . ....

7 d. Quand les axeS des deux roues d'angle données se croisent à angles droits, un calcul fort simple conduit également aux valeurs numériques de ces rayons , comme il suit : Soient représentés par r et /, les rayons am , a'm de ces deux roues d’angle , et soient désignés par R et R' les rayons bm-, b'm, des deux -roues cylindriques supplémentaires , cherchés.

Comme on a bm = mo il en résulté: R — - i/r*-ç-r'* .* • ao , r' y

et de même R' = — y r‘ -1- r%- Valeurs bien faciles à calculer lorsque r et é sont donnés en nombres.