L’EFFET DU CHOC DES LIQUIDES

Supposons que l’on subdivise une chute ou colonne d’eau de iGfeel de hauteur , par exemple , en quatre portions égales de ïtfeel chacune. .. v . . »

On sait maintenant que la vitesse d’écoulement sous la pression d’une colonne d’eau de 4 fat est de 16,2 feei par seconde, je dis 16 fat pour éviter les fractions; de sorte qu’il s’écoulera 16 fat cubes d’eau par seconde; et si, pour avoir des nombres ronds, nous représentons, par l’unité, la masse d’un foot cube d’eau, alors, d’après la 7e loi , l’effet sera comme Celte masse multipliée par le carré de la vitesse. Ce carré est égal à oa 256, nombre qui, étant multiplié par 16,

masse d’eau écoulée en une seconde , donne 4og6 pour l’effet partiel de chaque chute de 4 fat; et alors 4096 . multiplié par 4 ou i6384, exprime la somme des effets des quatre chutes ' partielles considérées. •

. . <l' action qu’est fondé le moulin de Barker, et tous éeux que l’on a porfoc-

11 tionnés d’après lui. - -•

. (I) Quand descorps non élastiques frappent un obstacle, la moitié de leur force est dépensée dans une direction latérale , tant pour changer leur forme qu’en rejaillissement, voyez § 8. Faute de bien considérer ou de bien connaître ce principe, on a commis de nombreuses erreurs en fai s an t'agir l’eau par impulsion , quand elle aurait pu produire uu effet double par sa gratté.

an . GUIDE DU MEUNIER.

Mais comme la vitesse «l’écoulement sous une colonne de 16 feet est de 3a, 4 feet, ou seulement 3a feel, pour éviter les* fractions , l’ouverture de vanne ne devra être ici que la moitié

• n de celle que nous avons supposée dans le calcul précédent, pour

donner les jGyêe/ cubes d’eau par seconde, comme auparavant^ parce que la vitesse actuelle est double. Ainsi , pour trouver l’effet , multipliez 3a par 3a , et vous aurez un produit égal h ioa4 , lequel , multiplié par la masse 16, donne pour l’effet j 0384 , nombre égal à la somme des effets des quatre chutes partielles de 4 /erf; ce qui s’accorde avec la pratique et l’expérience des meilleurs maîtres.

Mais siles effets étaient seulement proportionnels aux vitesses . simples, alors l’effet de chaque chute de l*feei serait exprimé

• \ par 16 fois 16 ou ^G, dont le quadruple ioa4, repré-

senterait la somme des effets des quatre chutes de 4 tandis que l’effet de la chute totale de iG feet serait, dans cette hypotltése, égal à 16 X 3a , ou à 5ia ; ce nombre n’est que la moitié de celui qui exprime l’effet de la même chute ou .colonne d’eau partagée en quatre, parties , ce qui est contraire à l’expérience et à la raison.

Supposons encore qu’un Corps,, dont la masse est 16 , soit parfaitement élastique et tombe d’une hauteur de iG feet , pour frapper un plan aussi parfaitement élastique; d’après les lois de la chute; des corps, il frappera ce plan avec une vitesse de 3a Ject par seconde, et se relèvera de 16 feet. Mais si ce corps ne tomb% que' d’une hauteur de 4 fiet, il frappera le plan avec une vitesse de iG feel par seconde, et se relevera de 4 feet; ici, l’effet de la chute de iG feet est quatre fois l’effet de la chute de 4 fat parce que le corps s’élève * à une hauteur quadruple.

Maissi nous regardions les momentums effectifs des chocs de ces corps, comme proportionnels à leurs vitesses simples, alors xG multiplié par 3a donnerait 5ta pour le momentum dû à urM> chuté de îG feel, et 16 multiplié par 16 fournirait a 56-,

dont le quadruple i cva4- exprimerait la somme des inomentums des chocs relatifs aux 16 feel, divisés en quatre chutes égales, ce qui est absurde. Tandis qu’en admettant que les inomentums sont proportionnels aux carrés des viiesstt, on trouvera que Ic^^Tets sont égaux entre eux.

Il est encore évident que, quelle que soit l’impulsion ou la force qui imprime la vitesse à un corps, il est nécessaire, pour le réduire au repos, de lui opposer la même force ou résistance. Ainsi , si l'impulsion est comme le carré de la vitesse produite , la force ou résistance à opposer, sera aussi comme le carré de celle vitesse. Mais l’impulsion est comme le carré de la vitesse produite ; ce qui est évident d’après cette considération. Supposons que nous plaçons un corps léger devant une vanne chargée de !*fcel d’eau; quand la vanne sera ouverte,, l’eau s’élancera et chassera ce corps avec une vitesse de 1.6 feel par Seconde , et si la colonne d’eau est augmentée et portée à 16 feel de hauteur, le corps partira avec 32 feel de vitesse par seconde. Alors le carré de i6,égal à 256, est au carré de 3a, égal à 1024, comme 4 est à 16; ce qu’il fallait démontrer'.

Pour comparer celte 7e loi avec la théorie des moulins en dcssoiis, établie § 42» ou il est démontré que la puissance est h l’effet qu’elle communique comme 3 est à 1 , d’ajmrd, selon cette 7e loi, la masse 32,4, indiquée par la figure j»4> multipliée par 1049,76, carré delà vitesse, donne un produitégal à34oi2,2p4> pour l’effet de la charge de 16 feel d’eau; de même la pression d’une cojonnc d’eau de 4 feel , sur une ouverture de vanne égale à la précédente, fournit une masse d’eau égale à 16,2 , laquelle, multipliée par 262,44, carré de la vitesse, donne le produit 4261,528, qui exprime l’effet d’une chute de l+feeUVci le rapport des effets est comme 8 à 1.

Maintenant, d’après la théorie qui indique qu’une roue en dessous doit élever le tiers de l’eau qui la met en mouvement, à la hauteur totale d’où cette eau est descendue , le tiers de 32,4, quantité d’eau, ou 10,8, multiplié par 16; ascension verticale, donne un produit égal à,i72,8 pour l’effet d’une chute

Dig

d’eau de 16 feet , de môme le tiers de 16,2 , quantité d’eau ; ou 5,4 multiplié par 4, ascension verticale., donne 21,6 pour Pefïet d’une chute d’eau de l^feel par la théorie; et encore ici le rapport des effets est celui de 1} à 1 y car On a 34012,224, effet' d’une chute d’<»Mà de 16 feet, est à 4‘25i,5a8 , effet d’une chute] selon la 7e loi, d’eau de 4 feet > ' ' ' )

Comme. 172,8, effet d’une chute d’eau de\ ' v . iG feet, est à 21,6 effet d’une chute d’eau de ] selon iathéorie. 4 feet. ) -,

Les quantités d’eau étant égales , leurs effets sont èn propos tion directe de la, hauteur des colonnes d’eap, d’après la cinquième loi , et en proportion des carrés de leurs vitesses , suivant la septième, loi. - •

li résulte de là. que la théorie s’accorde avec les lois établies ; je regarde cet açcord comme unè preuve qu’elle est bien . fondée. • • . •

§ 47- APPLICATION DES LOIS DU MOUVEMENT AUX ROUES HYDRAULIQUES EN DESSOUS.

-v J’ai tracé la fig. 25 pour exposer brièvement et intelligiblement tant les idées que j’ai recueillies dans différeus auteurs que le résultat de mon propre examen des lois du mouvement et de l’écoulement des tluides appliqués à moüvoir les moulins en dessous. - ,

Considérons deux roues cn'deSsous , urie de ,12 feet et l’autre de il+Jeet de rayon , la circonférence de la plus grande sera. le double de celle de la plus petite. Supposons. que AM, CN„ sont deux retenues d’eau de 16 feet de hauteur chacune , alors :

1“ Si nous ouvrons une vanne de 1 foot carré en B , pour faire sortir l’eau de la retenue AM, afin qu’elle agisse sur la petite roue en I , j’eau étant pressée par une colonne de if cet, parcourra ibfeel par seconde , en négligeant les fractions. La force ou pression instantanée sur la vanne étant celle de 4 feet

cubes «l’eau, il faudra opposer une résistance «1e 4 fecl cubes «l’eau «le la retenue CN , pour- arrêter la roue cl la tenir en équilibre , si nous supposons que l’eau ne peut pas s’échapper, à moins «pie la roue ne soit mise en mouvement, «le sorte que la non-élasticité n’occasionne la perte d’aucune force. Ici des quantités égales de matière animées de vitesses égales ont ' leurs momentums égaux.

2a Supposons encore que nous Ouvrions une vanne de i foot carré au bas de la retenue ,AM et sous une charge de 16 feet d’eau, ce liquide frappera la grande roue en K , avec une vitesse «le 3a -.fecl par seconde : sa force oü pression instantanée étant mesurée par iG feet cubes «l’eau, il faudra, pour lui faire équilibre, lui opposer une résistance de 16 feet cubes d’eau de la rettmue CN. Ici la pression ou force instantanée et la résistance sont «piadruples de ce qu’elles étaient «lans le cas précédent; mais la vitesse n’est que double. Dans ces deux cas, les forces et les résistances étant des masses d’eau égales animées de vitesses égales, leurs momentums sont égaux entre eux.

3° Supposons encore que la colonne d’eau (.N soit augmentée et qu’elle s’élève justpi’en E, f i iG feet au-«lessus de il, si l’on ouvre , en ce point, une vanne de 4 de font carré , alors la pression instantanée sur l’aube I de la petite roue sera produite par 4- feet cubes d’eau , agissant sur j d’un fçot carré , lesquels balanceront exactement 4 cubes «l’eau de la retenue AM pressant sur un foot carré de l’autre côté de l’aube 1, et la roue sera en équilibre, en supposant toujours que l’eau ne peut pas s’échapper jusqu’à ce que la roué agisse ; cependant la vitesse est de 3a feet par secontle pour J’ une des vannes, et seulement de iG feet pour l’autre. Les charges d’é4 quilibrè sont égales, conséquemment les charges au maximum de vitesse et d’effet seront aussi égales , mais leurs vitesses seront différentes. ' *

Pour étudier leurs effets , supposons d’abord que la reuc est mue par une colonne «Veau de 4 >.<iue sa vitesse âu nraxi-

W> . • , GUtDE! DÜ MEUNIER. .

inum est la moitié de la vitesse 16 feel , de l’eau, 'et. que sa charge est alors la moitié de sa plus grande charge, selon la théorie dè TVarlhg ; cela-étant, la vitesse f- multipliée par la /charge | donne 16 poùr la valeur de l'effet de la chute de 4 fat avec la dépense de *6 fat cubes d’eau , parce que la vitesse de l’eau est 16 feet, et que l’aire de l’ouverture de la vanne est égale à i foot carré. , ‘

Supposons encore que la roue se meut sons l’action d’une colonne d’eau de 16 feel, et ensuite d’une ouverture de vanne de j de foot carré , alors la moitié de la vitesse 3a feel multipliée par la moitié de la charge d’équilibre 4 donne 3a pour l’effet relatif à une dépense de 8 feet cubes d’eau, parce que la vitesse de l’eau est 3a feel et l’ouverture de vanne ÿ de foot • carré. ' ' • • J ' , •

■ Dans ces cas, lés forcés instantanées sont égales entre elles et.à^mais I nné d’elles met en mouvement un corps deux fois moins lourd que le corps mu par l’autre ; elle agit avec la vitesse 32 , et produit un effet 3a, tandis que l’autre force çe meut avec là vitesse i6} et produit un effet x G ; d’où il résulte . qu’une double vitesse avec une pression instantanée égale, produit un effet doublé, ce qui paraît conforme à la théorie newtonienne. Dans ce sens , les momentmns.dcs corps en mouvement sont' proportionnels aux masses multipliées par leurs vitesses simples, et ce sont les produits aihsi formés que j’appelle rriomeritums instantanés. »

Mais lorsque nous considérons que , dans les cas ci-dessus , c’est b quantité de matière mise en mouvement, ou la quantité d’eau dépensée , qui produit l’effet, nous trouvons que la ruasse it6 animée de la vitesse 16 produit un effet i6> landis-que la masse 8 animée de la vitesse 32 produjt un'effet 32. Ici , les effets sont comme les masses multipliées par les carrés de •leurs vitesses; j’appelle ntomenlums effectifs les produits formés de celte manière.

Si la quantité d’eau dépensée sous la pression de chaque colonne avait été égale , les effets auraient clé 16 et 64, nom-

HTRftAtLlQtlÊ, ’ 9<

brcs proportionnels aux carrés des vitesses relatives, i6et 3a.

4° Supposons encore que les deux roues sont montées sur un même arbre, et que l’ouverture de la vanne, pratiquée au bas de la retenue AM, est de j de font carré i si la hauteur de la colonned’eau AM est de 16 Jeet, la pression instantanée sur l’ouverture de vartnc sera produite par 2 Jeet cubes d’eau, et c’est sous cette pression que l’eau ira choquer la grande roue en K. Les 2 feet cubes d’eau mentionnés sont la moitié des 4 Jeet cubes d’eau , pression instantanée relative aux «G jeet cubes d’eau qui s’écoulent par l’ouverture de vanne de 1 Jool carré , située en li, pour aller sous la pression d'une Colonne d’eau de 4,/c^ frapper la roue en /.

Mais la colonne de 16 feet agissant sur la grande roue , avec la’ pression instantanée 2 , balancera la pression des 4 feet d’eau sur la petite, parce que le levier est double en longueur, et les roues seront en équilibre. Alors, selon lâ théorie de Waringj le plus grand poids de la colonne d’eau de 16 feet étant 2, la charge au maximum sera 1 , et la vitesse de l’eau étant 32-, la vitesse de la roue au maximum sera 16. Cela étant, la vitesse 16X1 donne r6 pour l’effet de la colonne d’eau de 16 feet et pour une ouverture de vanne de gvde foot carré. De même la plus grande charge de lâ colonne d’eau de 4 Jeet étant4 > D chargé au maximum sera 2 , et comme la vitesse de l’eau est 16, la vitesse de la roue devra être 8, et on aura de même 8X2— >6 pour l’effet. Ici les effets sont égaux, et ces effets sont comme les pressions instantanées multipliées par les vitesses simples ; les résistances capables de les arrêter instantanément doivent leur être égales, et dans le même rapport.

Mais si l’on observe que , dans ces deux cas , la colonne d’eau de l^feet produit une dépense de 16 feet cubes d’eau avec la vitesse 16 feet , et conduit à l’effet 16 , tandis que la colonne d’eau de 16 feet ne dépense que 4 feet cubes d’eau, avec la vitesse 3a % et produit l’effet ^6, on verra que les effets sont comme les quantités d’eau dépensée multipliées par les carrés des vitesses d’ écoulement.

9a . 1 GUIDE DU MEUNIER.

Si , «le plus , on considère que l’ouverture de vanne de | de fout carré, avec la vitesse 3a fret, produit des effets égaux à ceux «l’une ouverture «le vanne de i foot carré, avec la vitesse in fect, il est évitîent que , si nous rendions les ouvertures de vanne égales, les effets seraient comme 8 est à ï , c’est-à-dire que les effets.des fluides qui s’écoulent par des ouvertures égales sont comme les cubes de leurs vitesses , parce que leurs forces instantanées sont comme les carrés de ces vitesses, d’après la «sixième loi. Si la /orce instantanée des corps durs est proportionnelle à leurs vitesses simples , et si leurs effets sont comme les carrés de ces mêmes vitesses , c’est qu’une vitesse double ne double pas la masse du corps solide qu’elle . anime. > % \

§ 48. PARADOXE ItrDROSTATIQÜE. .

La pression des liquides, ehun de leurs points quelconque, ést proportionnelle à leur hauteur verticale au-dessus «le ce point , sans aucun égard pour la quantité de liquide ; et leur pression dirigée en hau t'est égale à leur pression dirigée vers le bas. En un mot, cette pression est la même autour «le tous leurs. points égakunent distans de leur surface supérieure' de niveau.

Dans un vase de forme cubique, dont les côtés et le fond sont égaux, la pression-sur chaque côté est justement la moitié de la pression sqr le fond. Ainsi , la somme des pressions sur le fond et sur les côtés est égale à 'trois fois la pression sur ■le fond. , ... . -

Dans ce sens , on peut dire que lçs liquides agissent avec le triple de là force des solides. Les solutés agissent seulement par leur gravité, et les liquides par la gravité et la pression réunies. Les solides agissent avec une- force proportionnelle à leur quantité de matière; mais les liquides agissent aveÇ une pression proportionnellé à leur hauteur verticale seulement.

Pour expli«juer laloi suivant laquelle la pression' des liquides pst proportionnelle à leur hauteur Verticale, supposons «pie

•> UYDRADLIQUE • 93

ÀBCIT, fe. 26 , soit un vase fermé , «le forme cubique, garni* «le tuyaux G1I , EF, CI ; supposons que le trou du même diamètre «pic celui da tuyau GH pratique en G , soit couvert Avec un morceau de cuir souple , cloué de manière à tenir l’eau. Alors remplissons le vase avec, de l’eau par le tuyau ÜF: ce liquide pressera le cuir en contre haut, le soulèvera , lui donnera une forme convexe, et on verra qu’il est nécessaire, pour l’aplatir, de le charger d’un poids égal au poids de l’eau qui se sèrait rendue dans le tube GH. Si nous adaptons un tube de verre sur le trou G , et si nous y versons de l’eau , nous trouverons que l’eau, dans ce tube, doit s’élever à la même hauteur que celle du tube EF, pour que le cuir s’aplatisse, et cela, quand • bien même le tube de verre serait d’un autre diamètre que celui EF. Cela démontre que la pression vers le haut est égale à celle vers le bas, et que le liquide intérieur presse contre le cuir, avec tou* le poids du liquide renfermé dans le tube GII. Si nous remplissons le vase par le tube IC, l’eau s’élevera-dans le tube GH , à la hauteur où elle se trouve dans CI , la pression devant être dans tous les points du vase .la même que s’il eût été rempli par le tube GH , et la pression sur le fond du vase sera la même , soit que ce tube ait la même base qüc ce vase lui-même, s«nt qu’il n’ait seulement qu’un quart de pouce «le diamètre. Supposons que GH ait j de pouce de diamètre , et que le dessus du vase soit lait «1e cuir comme en G , si nous versons de l’eau par GII , cette eau pressera le cuir et le soulèvera avec une force telle , qu’il faudra , pour l’aplatir, une colonne «l’eau de même base que le vase et de la hauteur de GII , ce qu’il fallait démontrer.

§ 4g- OBSERVATtONS SÜR L’ECOULEMENT DES LIQUIDES.

Supposons encore que nous perçons dans le vase deux trous de même diamètre , savoir : un lrou tout près du fond , et l’antre dans ce fond lui-même ; l’eau sortira par chacune de

1)1 ; GUTIÎE i)L' MEUNIER.

~ces ouvertures avec la même vitesse; ce qni peut être vérifié en plaçant sOus chacune d’elles des vases de même capacité , que l’eau remplira en temps égaux. Cela montre que la pression du liquide sur les côtés et sur le fond du vase est la même à profondeurs égales sous là surface. Cette vitesse sera la même , soit que le vase soit rempli par le tuyau CI, ou par celui QH ,*o u encore par un tube de la grosseur du vaisseau , pourvu que la hauteur verticale de l'eau soit constante dans tous les cas.

•D’après ce qui a été dit, il paraît qu’il est peu important, pour la puissance de l’eau appliquée aux roues de moulin , que ce liquide y soit amené dans un canal ouvert, par une retenue , soit verticale , soit inclinée , ou sous terre dans une conduite couverte, d’une forme qui convienne le mieux à la localité -et aux circonstances, pourvu que la section de cette conduite soit telle' que L’écoulement de l’eau» ne fasse pas baisser le •niveau supérieur du liquide.

Le principe du paradoxe hydrostatique se réalise .quelquefois , dansi les moulins en dessous ; l’eau ,, en pressant contre le revers des aubes, détruit ou contrarie uDe grande partie de sa propre force d’impulsion. "Voyez § 59.

§ 5o. CAJLCUL DE LA PRESSION DES LIQUIDES SUR LES pajiois des Vases qui les contiennent. ,

On a trouvé par expérience que le poids d’un fooi cube d’eau est de 1,000 ounces aooirdupoids , ou 6a, 5 pounds. Le théorème suivant est basé sur les principes expliqués dans lés

§48 et §49.

Théorème I. L’aire de la base ou de toute autre partie de la paroi d’un vase, de quelque forme qu’il soit, multipliéq par la plus grande hauteur verticale du liquide au-dessus du ceUtre de cette base ou de celte portion de paroi, quelle qu’en soit la position relativement à l’horizon, donne un produit qui

' Digilized byjGoogte

exprime la pression sur le fond dudil vase ou sur la portion de paroi , considérés. • . • , , .

, Problème I. Etant donnée la longucnr 6 feet des arêtes d’un vase cubique, on demande quelle pression a lieu sur le fond du vase , quand il est rempli d’eau.

Alors 6 X 6 = 36 feel carrés est l’aire de la base , qui , multipliée par la hauteur 6 feet', donne 216 pour le nombre de feel cubes d’eau qui pressent sur le fond ; ce ijpmbre étant multiplié par 62,5 fournit i35oo pounds , pour la valeur de la pression totale sur le fond du vase.

Problème II. Etant donnée la hauteur.3i,5 feet de l’eau contenue dans un tube rectangulaire dont lçs dimensions de' . la base sont au fond, 3 feet sur 3 feel , <|ans ^intérieur, on demande la pression de l’eau sur 3 feel de haut de l’un de scs côtés, et à partir du fond. 1 ,

« Alors 3 X3 = 9 feet carrés est l’aire de la portion de paroi verticale proposée, laquelle étant multipliée par 3o feft , hauteur verticale de la colonne d’eau au-dessous du milieu de la hauteur des 3 feet de paroi , donne 270 feet cubes d’eau , qui exercent ainsi une pression de 62, 5 X a7° ouide 16876 pounds. Cette pression sur un yard’ carré de paroi , fait voir quelle grande résistance il est nécessaire d’opposer à l’eau , pour la contenir sous la pression d’aussi grandes colonnes.

§ Ht. RÈGLE POUR TROUVER LA. VITESSE D’ÉCOULEMENT DE ’ LflÊAÜ.

L’expérience a démontré que l’eau s’écoule sous la pression d’unç colonne d’eati de 4 feet de hauteur, avec une vitesse égale à 16,2 feel par seconde, et sous une colonne de 16 feet aVec une vitesse de 3a, 4 feel pair seconde.

Le théorème suivant, ou règle générale pour trouver la vitesse de l’eau s’écoulant sous la. pression d’une colonne d’eau donnée, repose sur ces expériences et sur la deuxième loi de

l’écoulement des liquides. (

v -y 6 ' GLlte DK- MEUNIER,

Théorème II. La racine carrée, 2 de hauteur fifiel , d’uheco- . loritac d’eàn , est à îG , S feet, vitesse de l’eau qui s’écoule sous la pression dé cette, colonne, ctfmine la râcihc carrée de la hauteur de toute autrç colonne , exprimée aussi en feet, est à la vitesse d’écoulement de f eau correspondante. i '•

Problème I. On demande la vitesse de l’eau qui s’écoule ' sous la pression d’une colonne d’eau de 1 6 feet ?

Dans ce cas , on a toujours la proportion , 2 est à 16,2 fett,

’ comme la racine carrée de 16, c’est-à-dire 4- * est a un quatrième terme 3a, 4 fret, qui exprime ainsi la vitesse de l’eau soüs la pression de 16 feet , proposée. t Problème II. On demande lî vitesse de l’eau qui saoule sous la pression d’une colonne d’eau de 1 1 feet. ' , ' ■

Alors 2 : 16,2 ou 3,3x6 : 26,73 feet, vitesse cher-

• chée par seconde. .

§ 5ï. RÈGLE POUR TROUVER L’EFFET DE L’EAU S'ÉCOULANT 1 PAR UNE OUVERTURE DE VANNE DONNÉE, SUR UNE ROUE

EN DESSOUS. ‘ • ’ ' i

On déduit de,s lois de l’écoulement des liquides , théorème 1 ét |I,§.4a, de la théorie pour trouver la charge et la vitesse maximum des roues en dessous, et du principe de la nôn élasticité , le théorème suivant , pour déterminer l’eflqt que 1 • l’eau qui s’écoule par une ouverture de vanne quelconque, sous une colonne d’eau donnée, produit sur la roue d’un , . moulin en. dessous. ' \ -

Théorème 111. Calculez par le théorème I , §5q , la pression - instantanée de l’eau , c’est-à-dirç r la charge d’équilibre, dont ■les | sont la charge au maximum , qui étant multipliée par les 0,577 de la vitesse de. l’eau, s’écoulant sors la colonne, d’eau donnée , et trouvée parie théorème il, fournit un produit qui 1 exprime l’effet cherché. . ^ • *’•

Problème. Une vanne de 4 fiel de large étant levée de

0,25 fut, sous la pression d’une colonne de 16 fut, on demande l’effet de l’eau par seconde, sur une roue en -dessous: la mesure de l’effet dtant exprimée par la quantité d’eau multipliée par l’espace qu’elle parcourt, c’est-à-dire par sa vitesse ou par son ascension verticale.

Alors, selon le théorème I, § 5o, on a 4X°>25 ou i^fool carré pour l’aire de l’ouverture de vanne , qui , étant multipliée par îG feel, hauteur de la colonne d’eau, donne îG pour le nombre de feel cubes d’eau qui pressent; si , pour avoir des , nombres ronds, nous prenons le poids du foot cube d’eau pour unité , et si nouS nous rappelons que , quoique 32,4 feet cubes ■ d’eau frappent la roue en -dessous, durant une seconde^ cependant, à cause de la non-élasticité des liquides , la charge d’équilibre est seulement de iG feet cubes, on aura, pour la charge au maximum, les f de iG, c’est-à-dire io,GGG.

Mais d'après le théorème 1I,§ 5i, la vitesse est 32,4 f&t par seconde, dont les 0,577 donnent 18,71 feel pour là vitesse de la roue au maximum , en sorte que ce nombre étant multiplié parla charge 10, GG, conduit à la valeur 199,4 8c l’effet cherché. , .

Ceci s’accorde avec les- observations de Smealon, qui dit, § 67 : « Il est assez remarquable que, quoique la vitesse de la roue comparée avec la vitesse de l’eau en soit plus de 4» cependant l’impulsion de ce liquide, dans le cas du maximum, est plus, du double de celle indiquée par la théorie , c’est-à-dire qu’au lieu des £ de la colonne, elle est presque égale à la colonne entière. » Je cohclus.de là que la non-élasl*cité n’influe pas assez, dans cette application, pour réduire la charge à moins des Et lorsque nous considérons que 3a, 4 fut cubés d’eau, ou qu’une colonne d’eau de 32,4 Jeei de longueur frappe la roue, pendant qu'elle parcourt seulement 18,71 feet par se- J conde : ou que la vitesse de la roue est à celle de l'eau, comme 577 est à 1000 , ne serait-ce point là la raison pour laquclle'la charge est juste les ? delà colonne d’eau dont la vanne est chargée, ce qui amène l’effet à être juste o, 38, ou un peu plus de 4 de

la puissance. C’est ce que j’admets, parce que cela s’accorde avec l’expérience , quoiqu’il soit difficile d’en donner la véritable raison. Vpyoz la note du § \i.

Ainsi, les 0^7 7 de la vitesse del’eau, c’est-à-rdirc 18,71 feet , multipliés par \ de 16, colonne entière ou pression instantanée sur la roue, § 5o, c’est-à-dire par 10,66^ donnent un produit jy44, qui est l’expression de l’effet. 11 paraît que c’est là sa vraie valeut-, et s’il en est ainsi, le véritable théorème sera le suivant.

Théorème. Trouvez par le théorème I , § 5o , la pression instantanée de l’eau , et prénez-en les § pour la charge maximum; multipliez cette charge par les 0,577 de la vitcsse ^ l’eau, qui doivent êlfc la vitesse de la roue , et le produit sera l’expression de l’effet cherché.

Ainsi 16 feet cubes ou la colonne d’eau, multipliée par 18,71 feet , vitesse de la roue , produit 199,4 pour l’expression de l’effet.

Si nous essayons des colonnes d’eâu et 4es ouvertures de vanne differentes , nous trouverons que le rapport des effets entre eux sera conforme aux lois de l’écoulement des liquides.

§ 53. De L’EAU APPLIQUÉE AUX ROUES POUR AGIR PAR LA GRAVITÉ,

Lorsque les liquides sont appliqués aux roues hydrauliques, de'manière à produire des effets mécaniques par leur gravité, ils agissent sur des principes dtffé'rens; aussi produisent -ils des effets doubles de ceux auxquels donne ljeu la percussion. Leur puissance est alors directement proportionnelle à leur quantité ou poick , multiplié par leur descente verticale.

Démonstrutiçn. supposons que BAB,fig. 27, représente un levier pouvant pivoter autour de son point d’appui^, supposons encore que le grand bras AB de- ce levier représente une descente verticale de 16 feet, et que le petit bras AB représente une descente verticale de Infect: imaginons que l’eau

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sortant d’un réservoir F, au taux de 5o pounds par seconde, tombe ^ans les augets de la roue FBC, fixés au bout B du levier : il est évident, d’après les principes du levier, § 16 , que 5o pounds par seconde, en B , feront équilibre à 200 pouncls par seconde, sortant du réservoir G pour entrer dans les augets de la roue GDI, fixés sur le bout U , du petit bras du levier ; parce que 5oX 'G— 4X200=8oo.

Cela paraîtra plus clair si nous supposons que, les diamètres verticaux FC, GI des deux roues, représentent respectivement les chutes de 16 et de l+feel. D’après les lois du levier, § 16, il est démontré qu’il faut multiplier 5o par sa descente verticale ou espace parcouru , iG feet , et multiplier 200 par sa descente verticale ou espace parcouru, Infect; mais on a5oX>6 = 20oX4— boo, c’est-à-dire que les puissances sont comme les-quantilés' d’eau multipliées par leur- descente verticale; ou, en d'autres mots, une chute de l\feet doit fournir 4 fois autaut d’eau qu'une chute de 16 feet , pour produira des puissances et des effets égaux ; ce qu’il fallait démontrer.

Le théorème suivant , qui enseigne à mesurer la' puissance d’un moulin en-dessus, ouduue quantité quelconque d’ eau agissant par sa gravité , sur une roue de moulin , est fondé sur les principes précédens.

Thoréme IV. Faites couler l’eau dans un canal régulier, et multipliez sa largeur par la profondeur d’eau exprimée en feet, le produit indiquera le nombre de feet carrés, valeur de l’aire de la section transversale de l’eau ;■ multiplie/, ensuite . ce produit par la vitesse de l’eau , par seconde , eu feet . et ce deuxième produit exprimera le nombre de feet cubes d’eau écoulés durant une seconde, lequel, étant multiplié par 62, 5 poutuls , poids du fool cube' d’eau , donnera pour produit le poids de l’eau qui tombe sur la roue pendant le même temps; ce poids, multiplié enfin par sa chute verticale, fournira la véritable mesure de la puissance.

Problème F1. Etant donne un emplacement 'd.ç moulin présentant une chute de 16 feet, et dont le canal a 5,333 feet de * * 7*

largeur sur 3 feet dè profondeur, la vitesse de l’eau étant de a,o3 /ce* par seconde, dans ce canal, on demande quejje est la

puissance disponible par seconde ? '

Alors on a 5-,333><3= 15,999 feet carrés pour l’aire de la section du courant, laquelle étant multipliée parla vitesse 2,o3 feet, donne 3a, 4 feet cubes pour la quantité d’eau écoulée par , seconde. Multipliant enfin cette quantité d’eau par 16 feet, descente verticale quelle parcourt , on a un produit 3a, 4.00 , qui est l’expression de la puissance de l’emplacement par seconde.

Problème II. Etant donné , la chute verticale i8,3 feet , la largeur de l’ouverture de la vanne 2,66 feet , la hauteur 0,145 feet de cette ouverture , et la vitesse 15,76 feet par seconde de l’eau arrivant sur la roue , on demande la puissance?

Dans ce cas x 2,66X°,'14-5=o,3857 , valeur de l’aire de l’ouverture de vanne en feet carrés, multipliant par 1 feet , vitesse de l’eau, ôq^obtient 6, ifîfeet cubes, ou 6,178X62,5= 375,$ pountls, pour la quantité d’eau dépensée par seconde. En multipliant encore ce poids d’eau dépensé, par 18, 3 feet , descente verticale à parcourir, on trouve le produit 6,877 pour la mesure de la puissance par seconde.

' Celte force suffit pour moudre pounds de blé par minute , ou 3,75 bushels par heure, avec une paire de meules de cinq feet de diamètre.

§ 54. Recherche des principes des moulins en-dessus.

' Bien des personnes ont avancé , et bç^ucoup croient que l’eau est appliquée avec désavantage quand elle agit sur le principe des moulins en-dessus, parce que, disent-ellés, il n’y a jamais plus de deux augets à la fois qui agissent comme il faut suri’ extrémité du levier, nom que l’on donne aux embrassures des roues, djins ces argumentations. Mais nous devons bien prendre en considération les lois du mouvement des corps qui descen- < dent sur des plans inclinés ou sur des surfaces courbes. \ oy.

, , HYDRAULIQUE../ fai

§ io et § 1 1. Ce sujet sera éclairci si nous remarquons que la é circonférence de la roue est une surface courbe .^ct que dans le fait, l’eau agit avec le plus d’avantage et produit des effets égaux à ceux qu’elle produirait, si toute sa masse agissait sur l’extrémité du levier-, durant toute sa descente' verticale (i).

Démonstration. Supposons que ABCD,Jig. 28, représente une roue hydraulique, elFJIlà surfacesupérieure d’une colonne «l’eau de iü Jeel. Supposons encore que , FG et III sont deux buses, le long desquelles l’eau descend sous des pressions égales, . pour agir d’après le principe des. roues en dessous et en sortant par des ouvertures de vanne égales, sur les côtés opposés «le la palette C, de la roue. 11 est évident, par les principes ■ d’hydrostatique démontrés § 48 , et par la première loi de l'écoulement «les liquides, § 45» que, les impulsions dues à l’eap de chaque buse seront égales cnlr’clles. Quoique l’une d’elles soit inclinée et «jue l’autre soit verticale , les forces sont égales, parce «jue les hauteurs de l’eau y sont les mêmes. Ainsi la roue restera en repos, parce que chaque côté de l’aube sera pressé par une colonne d’eail de base et de hauteur égaUs. Cela étant, supposons que nous remplaçons la buse incliuée FG par la buse circulaire' rxs, embrassant qn côté de la roue, et touchant le dehors des augels dont celle-ci est garnie. H est évident, d’après les mêmes principes , que la roue sera tenue en équilibre, parce que les hauteurs verticales de liquide de chaque côté de l’aube C,' sont égales entre elles ; et en effet , «juoique la buse circulaire ait plus «1e développement que la buse verticale, comme une partie du poids de l’eau presse sur la paroi inférieure de cette buse, la pression sur l’aube 11’est due «ju’à la hauteur verliçale.

J imagine encore que l’eau «le la buse circulaire passe subitement dans les augets de la roue, il est évident que cette roue sera toujours tenue en équilibre ; cha«juc auget supportera alors une partie de la colonne que l’aube C soutenait

(4) Cette erreur a fait commettre, dans l’application mécanique de l’ean,

11 ii grand nombre de fautes très-coùtcuscs.

auparavant: et celte partie du poids de la colonne circulaire, qui était supportée par la paroi inférieure de la buse rxs , agit maintenant sur les tourillons de la roue. Cela démontre que l’effet d’un courant appliqué à une roue en-dessus, est égal à l’effet du même courant appliqué à l’catrémité du levier pendant toute sa descente verticale, comme on voit que cela est dans le chapelet représenté par la fig. ag, où l’eau se jette .dans des augcls attachés à une courroie , ou aune chaîne sans fin, qu’elle fait tourner sur deux tambours.

Ici toute la force de la gravité de la colonne d’eau agit sur l’extrémité du levier pendant toute la descente ; mais la hauteur de la colonne active n’est que de 16 feel, tandis que , sur une roue de 16 feet de diamètre, le développement de cette colonne est de 25, i5 feet; circonstance qui rend les puissances égales.

Si nous divisons la demi-ci|rconférence ABC de la roue fig. 28, en trois parties égales Ab, Le, eC, la verticale des centres de gravité des arcs supérieur Ab, et inférieur eC , passera par le point a, distant de 3 ,<yfeet de l'axe du mouvememenf, et le centre de gravité /le l’arc du milieu be sera situé à 7,6 feet de Ce même axe. Chacun de ces arcs a 8,38 feel de développement, d’où il résulte que, 8,38X2X3,g— 65,36 , est le momentum des deux arcs extrêmes mentionnés, et que 8,38 X7i6=63>69i est le momentum de l’arc du milieu be ; de sorte que la somme iag,o5 de ces deux momentums, sera la valeur du momentum de la colonne circulaire, selon les lois

du levier. Si l’on calcule actuellement le momentum de la co-

lonne d’eau verticale en multipliant son poids 16 par le rayon 8 feet de la roue, on trouve 128, d’où il paraît que; si nous pouvions déterminer exactement les points sur lesquels les arcs agissent, les momentums considérés seraient identiques. Cela montre que, la puissance de l’eaudans les roues hydrauliques cndessus, est égale à toute la puissance que cette eau peut produire en agissant pendant toute sa descente verticale, diminué de ce qui peut être perdu, pour obtenir de la vitesse, § 4-i ; pour

surmonter le frottement; et à cause qu’une partie de l’eau sort des augets , avant qu’elle n’ait atteint le bas de la roue ; ce qu’il fallaitgfémontrcr.

J’ajouterai que j’ai fait l’expérience suivante : je fixai et centrai bien exactement une roue, sur des pivots faits avec le plus grand soin , afin d’éviter le frottement; jepris-ertsuile du gros fil de fér bien cylindrique , dont je coupai un morceau de la longueur de la demi-circonférence de la roue ; je l’arquai convenablement et je l’attachai versle bord de la roue dans toute sa longueur , comme on peut se le représenter en Ce U b A: je pris alors un autre morceau du même fil de fer, de longueur égale au diamètre de la roue , je le suspendis en U du côté opposé à l’extrémité du levier, bras ou rayon de la roue, horizontal, et cette roue fut maintenue en équilibre; ce qu’il fallait faire voir.

§ 55. DU FROTTEMENT DES LIQUIDES CONTRE LES BORDS DES OUVERTURES PAR LESQUELLES ILS S’ÉCOULENT.

Les lois de cette espèce de frottement paraissent être les suivantes :

i° Le frottement des liquides qui s’écoulent par des orifices circulaires , est à fort peu de chose près proportionnel aux diamètres de ces orifices, tandis que, la quantité d’eau dépensée suit le rapport des carrés de ces mêmes diamètres.

2° Le frottement des liquides contre les bords d’un.e ouverture régulière ou irrégulière , est à peu près proportionnel à la longueur du contour ou au périmètre de celte ouverture , et la quantité de liquide écoulée est proportionnelle à l’aire de cette même ouverture (i).

(1) Cela paraîtra plus clair, si nous considérons que le frottement retarde sensiblement la vitesse du liquide a une certaine distance, je dis un* demipouce, a partir du bord de Touverturc, vers le centre , et nous pouvons avec raison conclure que cettcr distance est a peu près la même dans une ouver-

3° Moins il y a de pression et plus l’ouverture est grande , moins le frottement est considérable; ainsi : •

4° Le frottement est peu de cliosc dans les grandes^uvertures de vanne des riioulins cn-dessous, c’est-à-dire dans celles dontla plus petite dimension est de i à i5 pouces : mais il affecte très-sensiblement l’écoulement des eaux par de petites ouvertures des moulins en-dessous et en-dessus , lorsqu’une des dimensions est de o,5 à a pouces (i).