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Antécédents de Vàbacusde Boèce chez les Grecs et chez les Romains.

Telle me paraît être l'histoire vraie de notre notation arithmétique depuis l'époque de Boèce, où on la trouve sous une première forme imparraite et peu répandue, jusqu'au XIU* siècle, où cette

(15S) En d'autres termes, en télé* des colonnes de Vahacus^ Boece lisait et écri» valt de gauche ^ droite , suivant l'ordre décroisiant^ la série des chiflh^ 9, 8 , 7 , 6, 5, 4, 3) 2, 1, et II son exempte les auteurs ôe& traités De Vdbaeut et De Valgorisme ont lu et écrit de même cette même série de chiffres. Au contraire , les Arahes ont lu , suivant l'ordre croissant, la série des chiffres 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7. 8, 9, mais en écrivant cette série de droite à gauche, parce que telle est la direction hahittielle des écritures («émiliques. A l'exemple des Arabes , tous les traducteurs européens de leurs traités d'arithmétique ont lu de mème,ftttt7an( Vordre croissant , cette même série 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, mais en écrivant de gauche à droite, parce que telle est la direction constante des écritures européennes. I! est donc bien clair que, dans cet usage parfaitement indifférent de ranger les neuf chiflires suivant Vordre décroissant^ les auteurs des traités De Vahacus et De Valgorisme ont suivi l'exemple de ïioèce, et nullement l'exemple des Arabes, qui avaient adopté l'ordre contraire. Voyez M. Chastes , Développements et détails historiques sur le système de Vabaeus, § 5, p. 7-9, et note supplémentaire, p. 27-28. Quant li l'usage d'énoncer les grands nombres en commençant par les unités de l'ordre le plus élevé, par exemple, de dire mil huit cent cinquante-six, et non râ, cinquante, huit cents et mille; cet usage général , et qui n'est pas du tout indifférent, a une raison d'être non moins générale et indépendante de la variété des systèmes de chiffres et des manières de les poser de gauche à droite ou de droite à gauche en vue des calculs à exécuter. En effet, quand on parle, c'est pour se faire comprendre le mieux et le plus promptement possible. Or, en commençant par énoncer les unités de l'ordre le plus élevé, dès le premier mot on apporte à Pesprlt une notion approximative delà grandeur du nombre total, et ensuite on complète progressivement cette notion par l'énonciation successive des unités des ordres inférieurs.

(159) Voyez le traité inédit de Maxime Planude, intitulé : Yii^oçopCa xax Iviovc, dans les manuscrits grecs 2381 et 2382 de la Bibliothèque impériale de Paris. Gomp. M. Chastes, cité dans la note 158.

notation a reçu sa forme définitive et où elle est employée partout en Europe.

Essayons maintenant de faire remonter nos recherches au delà de répoque de Boèce. M. Arneth (160) pense que le système de Yabacus^ tel qu'il a été décrit par Boèce, avait été connu de tous les mathématiciens grecs depuis Pythagore, mais qu'ils n'en ont tiré aucun parti à cause de l'incommodité de ce tableau à colonnes, qui, suivant lui, n'a jamais dû être employé réellement dans la pratique. M. Chastes (161), qui du reste parait croire aussi à la haute antiquité de Vabacus dit de Pythagorcy montre fort bien que ce tableau n'était pas si incommode, et qu*il a été bien réellement en usage chez les nations occidentales au moyen âge, où on le traçait habituellement avec le doigt sur une table pojje et couverte de poudre pour recevoir les calculs. Il ne faut pas s'étonner que cette méthode se soit propagée en Occident plus qu'en Grèce ; car, en Occident, le système de Ydbacus était venu disputer la place à la numération écrite des Romains, à laquelle il était préférable. En effet, dans cette numération, il fallait deux ou plusieurs caractères pour exprimer tel ou tel nombre au-dessous de 10, tel ou tel des multiples les plus simples de 10 ou de ses puissances : ce qui était très-incommode pour écrire les calculs.

M. Chastes (162) remarque avec raison que le système de Vabacus aurait été bien moins utile aux Grecs, dont la notation arithmétique, employant les lettres de leur alphabet jointes à un petit nombre de caractères complémentaires, exprimait toujours, comme la nôtre , par un seul caractère chaque nombre d'unités d'un ordre décimal quelconque. Hais ce savant semble croire que la numération écrite des Grecs, hxxi l'inconvénient minime d'employer un nombre total un peu plus grand de signes, équivalait à la nôtre dans la pratique. Cette opinion me parait trop favorable au système grec. En efifet, tandis que dans chaque opération partielle nous pouvons ne considérer que la valeur individuelle de chaque chiffre, ou du moins de chaque tranche de deux chififres, indépendamment de sa valeur de position , pour les Grecs, au contraire, chaque nombre partiel représenté par une lettre entrait toujours dans chaque opé-

(160) Geschichte der reitien Mathematik, p. 207-209.

(16i) Développements et détails historiques sur divers points du système de Vàba^ eus, $ 17, p. 25-27. Comp. Aperçu historique, etc., note xii, p. 540^541 de la trad. aUem. de M. Sobnke, et Éclaircissements sur le traité De numéro aren» d'Àrchimède,

(162) Aperçu historique, etc., note xii, p. 640-541 de la trad. allem.