REVUE ARCHÉOLOGIQUE

ralioli pnrliclle du calcul avec sa valeur complèle comme mulliple d'une des puissances de 10; or, ainsi que Delambre (163) l'a expliqué parfaitement et en détail par des exemples, il résultait de là des complications qui rendaient les calculs plus lents, plus incommodes et plus pénibles qu'ils ne le sont pour nous. Je pense donc que, si Pylhagore avait élé Tinvcnteur de Yabacus qu'on lui attribue, et si les Grecs avaient connu cet abacus pendant toute l'époque florissante et progressive de leur science mathématique, ils n'auraient pas dédaigné cette invention de leur grand philosophe, mais ils s'en seraient servis, et surtout ils en auraient parlé, et un auteur latin de la fin du V* et du commencement du ¥!• siècle de notre ère n'aurait pas été le premier à nous en transmettre le souvenir. II est vrai que dans YArénaire d'Archimède il n'y a aucun texte qui prouve d'une manière positive que l'auteur ignorât le système de Vabacus dit de Pythagore (164). Mais, devant le silence de tous les auteurs grecs et latins jusqu'à Boèce, il faudrait de bonnes preuves pour admettre la haute antiquité de cet abacus. Or, en faveur de celte antiquité, on ne peut citer qu'un seul témoignage, celui de Boèce. Voyons ce que ce témoignage signifie. Boèce (165) nous dit avoir tiré le système de Yabacus d'un géomètre latin non méprisable, nommé Archytas. Il est évident que ce géomètre latin n'est pas le célèbre pythagoricien grec Archytas de Tarente. Un peu plus loin (166), Boèce nous dit que Yabacus a été imaginé />ar des pythagoriciens; il ajoute que ces pythagoriciens, dont il n'indique nullement l'époque, donnèrent à Yabacus le nom de table de Pythagore, en Vhonneur de leur maître, parce qu'ils tenaient de lui la première indication de ce qu'ils avaient tracé {quia J^ quod depinxerant magistro prxmonstrante cognoverant). Or, on sait que les pythagoriciens de toule.^ les époques aimaient h rapporter à Pythagore la première origine de toutes leurs découvertes et lui en faisaient honneur. D'ailleurs, les anciens pythagoriciens avaient remarqué (167) que la numération grecque se replie sur elle'méme,quand elle est arrivée d 10, pour compter les dizaines comme dos unités d'un ordre supérieur;

(163) Histoire de l'astronomie ancienne, livre UI, chap. i, Arithmétique des Grecs.

(164) Voyez M. Chastes, Éclaircissements sur le traité De numéro arenœ d'Archimède (Comptes rendus de l'Académie des sciences, 11 avril 1842).

(165) GeometriœWh. I, p. 1516 (Œuvres, Bâie, 1570, «n-^).

(166) Ibidem, p. 1518.

(167) Voyez le faux Plularque, Des opinions des philosophes, 1 , 3 , § 16 ; la Théologie arithmétique, c. 10, p. 59 d'Asl (p. 6>3 de Wechcl), et Arislole, Métaphysique, XUI, 8, p. 1084, col. 1 , 1. 12 (Œuvres d'Arislole, éd. de Berlin.)

qu'arrivée à dix dizaines, elle se replie de nouveau sur elle-même pour compter les centaines comme des unités d'un ordre plus élevé encore, et ainsi de suite. Celte remarque, qui pouvait fort bien remonter réellement à Pythagore lui-même, n'impliquait pas nécessairement la notion de la valeur de position des chiffres ; mais elle pouvait en être considérée comme une indication anticipée {prœmonstratio)^ suivant Texpression même de Boèce. Le texte de cet auteur, même en supposant qu'il doive être pris au pied de la lettre comme expression d'un fait historique, ne nous empêche donc nullement d'attribuer à des néopythagoriciens d'une époque peu antérieure à la sienne la première application de la méthode deYabacus telle qu'il l'expose. En effet, les noms et les figures des apices expriment des idées pythagoriciennes. Mais ces idées sont mêlées de gnosticisme; ces noms sont empruntés les uns à la langue grecque, les autres à l'hébreu, et ils sont très-altérés ; et quelques-unes de ces figures appartiennent à récriture antique des Égyptiens (168). Cette invention porte donc le cachet d'une époque où la fusion s'était opérée sous la domination romaine entre les idées grecques et les symboles des Égyptiens et des Orientaux, c'est-à-dire le cachet de l'époque du néoplatonisme alexandrin, par exemple de l'époque de Proclus, qui est peut-être aussi celle du géomètre latin Ârchytas. Cette invention a été faite peut-être par des Grecs ou du moins dans un des foyers de la science grecque ; elle a élé faite en Égyple, probablement à Alexandrie; mais elle a été faite surtout au profit des peuples latins, qui en avaient grand besoin à cause de l'incommodité extrême que leur numération écrite présentait dans les calculs: ainsi s'explique naturellement la présence des lettres grecques à côté des chiffres romains dans certains manuscrits des textes latins relalifs à Vabacus (169). Faite ainsi surtout pour les Latins, peut-être par quelque grec écrivant en latin, comme le géomètre Archytas cité par Boèce, il est peu surprenant que cette invention tardive ait eu peu de cours chez les Grecs, à qui leur numération écrite, moins imparfaite que celle des Romains, pouvait plus facilement suffire pour la pratique des calculs.

Du reste, dans l'histobre de l'arithmétique grecque et romaine, on trouve les antécédents et la préparation du système de notation arithmétique décrit par Boèce. En commençant par les Grecs, nous voyons qu'ils ont eu plusieurs modes de numération écrite pour les

(168) Voyez plus haut, § 6.

(169) Voyez M. Chasle^:, Développements et détails historiques, etc., § 5, p. 7.

46 RBVDE ARCBÉt^LOGIQOB.

inscriptions et dans l'usage littéraire; mais atlaciions-nous à leur numération écrite la plus générale et reçue dans l'usage scientifique. Elle était strictement décimale, comme letir numération parlée. Les lettres qui tenaient lieu de nos chiffres s'y plaçaient exactement de la même manière que dans notre notation moderne, à laquelle les Grecs seraient immédiatement arrivés, si, au lieu de prendre de nouvelles lettres pour représenter les divers nombres de dizaines, de centaines, de milliers, ils avaient repris les lettres qui expriment les nombres d'unités simples, et s'ils avaient introduit aux places vides le zéro, qu'ils employaient à cet usage dans l'expression des divisions et des subdivisions du cercle (170). Ce qui a empêché les Grecs d'arriver de bonne heure à ce changement si simple, qui aurait été pourtant un perfectionnement notable, c'est qu'ils en étaient précisément trop près pour en sentir ;^ivement le besoin. Cependant leur numération parlée et écrite se prêtait difficilement à l'expression des nombres très-grands : elle procédait par tranches de quatre chiffres, dont la première contenait les nombres jusqu'à 10000 exclusivement ; la seconde les myriades; la troisième les myriades de myriades ; la quatrième les myriades de myriades de myriades, et ainsi de suite. Cette répétition du mot myriade était incommode dans la numération parlée. Dans la notation écrite, on se débarrassait quelquefois de la répétition de ce même mot ou de la lettre initiale M, en séparant simplement les tranches par un point; il y avait donc là une valeur de position attribuée aux tranches. Dans chacune d'elles, plusieurs ordres d'unités pouvaient manquer(171); quand une tranche manquait tout entière, un intervalle vide entre deux points servait peut-être à en marquer la place. Archimède, dans son Arénaire (172), ne s'est nullement proposé de remplacer le système grec par un autre, mais bien de modifier ce système de manière à s'en servir pour exprimer par la parole et par l'écriture des nombres énormes, dont il avait besoin pour l'objet spécial de cet opuscule (173) : il a réuni les deux premières tranches de quatre chiffres en une tranche de huit chiffres allant jusqu'aux myriades de myriades exclusivement ; les nombres de cette tranche ont été

(170) Voyez plus haut, § 6.

(171) Voyei Delambre, Histoire de l'astronomie ancienne y liv. III, chap. i, Arith'métique des Grecs ^ et H. Nesselmann, Die Àlgehra der Griechen^ chap. m, Ueber Zahlensysteme und Zahlenxeichen , p. 74*81.

(172) Wallisii operum t. lil, p. 513 et seq.

(173) Voyez M. Chasies, Éclaircissements sur le traité De numéro aren» d" Archimède {Comptes rendus de V Académie des sciences, 11 avril 1842).

OaiOlNE DE NOTBB SYSTÈME DE N0I1ÉRAT1ON ÉCRITE. 47

nommés par lui premiers nombres; les unités simples d'une seconde tranche de huit chiffres sont des myriades de myriades ;\es nombres de cette tranche sont les seconds nombres; et ainsi de suite pour les tranches de huit chiffres suivantes. 11 est donc évident que c'est \h une extension et une simplification de la numération parlée dès Grecs en ce qui concerne les nombres très-grands, plutôt qu'un perfectionnement de leur numération écrite. Pour arriver du système grec à notre numération écrite moderne par la modification des tranches, bien loin de donner à chacune de ces tranches huit chiffres au lieu de quatre, il aurait fallu, suivant la remarque de Delambre (174), les réduire chacune à un seul chiffre, ce qui serait revenu à les supprimer, de telle sorte que la valeur de position se produisit dans le passage de chaque chiffre au chiffre suivant.

La numération parlée des Romains était décimale, comme celle des Grecs et comme la» nôtre. Mais leur numération écrite n'avait que cinq signes individuels, savoir: I pour 1,V pour 6, X pour 10, L pour 50, G pour 100; auxquels on peut ajouter deux signes composés : 13 pour 600 et CI3 ou M pour lOOO; on exprimait les nombres intermédiaires en répétant ces mêmes signes, comme additifs, à la droite du signe d'ordre immédiatement supérieur, ou bien en les plaçant , comme soustractifs , à la gauche de ce signe ; et pour exprimer un certain nombre de milliers, on mettait le signe de ce nombre, comme multiplicateur, à la gauche du signe GI3 ou M- On pouvait aussi écrire les nombres de milliers à la gauche des centaines, en les en séparant par un point, ou bien en mettant une barre audessus. On pouvait réunir ces deux moyens, et mettre à la gauche des centaines les unités de mille et les dizaines de mille séparées des centaines par un point, et plus à gauche encore les nombres de centaines

de mille surmontés d'une barre. Ainsi les signes XVI LXVI.IOCLXVI signifiaient 1 666 666. On trouve ici, comme dans la numération écrite des Grecs, une analogie très-imparfaite avec la valeur de position de nos chiffres (175). Dans une compilation byzantine faussement attribuée à Julius Âfricanus, dont les Gestes sont seulement une des sources où le compilateur a puisé (176), on lit (177) que les

(174) Histoire de Vastronomie ancienne^ liv. UI, chap. i, t. Il, p. 8-10.

(175) Voyez les exemples tirés des manuscrits des auteurs anciens et cités par Heilbrooner, EitUrria matheseos univeraBj IV, l, $ 9 et 10, p. 73!2-734, et M. Nesselmann, I. c, p. 86-91.

(176) Voyez mon Mémoire 5ur Héron d'itfexandne, p. 337 -3G4, surtout p. 360-361. . (177) CestesdeJuUtts Âfricanus, c. lxxyi, p. 1 35 des Veteres mathematici (Paris, 1693,

in-f').Gomp.M. Vincent, Notices et extraits desmanuser. , t. XVI, ii* partie , p. 360-363.

48 REVUE ARCOÊOLOGIQUE.

Romains, daos leurs signaux par ie feu, représenlaient à l'aide dun petit nombre de feux tous les nombres jusqu'à 1000, en convenant que chaque feu de la station de droite valait 1 , que chaque feu de la station du milieu valait 10, et que chaque feu de la station de gauche valait 100. Mais ce fait n'entraîne aucune conséquence générale sur la méthode de numération écrite des Romains : dans ce cas particulier, une nécessité absolue les avait forcés de recourir d'une manière exceptionnelle à la valeur de position, pour ne pas multiplier les signaux plus qu'il n'était possible de le faire. Du reste, on ne sait pas de combien de temps cet usage romain est antérieur à la chute de l'empire d'Occident, ni s*il a précédé l'époque du géomètre latin Archytas et l'usage de Yabacus décrit par Boèce.

Cet abacus lui-même avait été précédé d'un autre abacus ou âSa; employé sous ces noms chez les Grecs aussi bien que <:hez les Romains (178) et connu sous le nom de suan-pcmchez les Chinois (179). C'était une machine à compter^ pour faire les calculs usuels sans employer l'écriture; cette machine ofTrait des cases distinctes pom* recevoir les boules représentant les unités de différents ordres et les fractions de ces unilés, savoir : chez les Grecs, les oboles on sixièmes de la drachme^ les tiers, les moitiés de la drachme, les unités simples de drachmes, les dizaines de drachmes, les centaines de drachmes ou mines^ les milliers de drachmes, et enfin les talents; et chez les Romains, Yonce ou douzième de Vasy les unités, dizaines, centaines, milliers, dizaines de mille, centaines de mille et millions d'as. On pouvait ainsi, sans rien écrire, calculer de très-grands nombres avec un petit nombre de boules, qui avaient une valeur différente suivant la case où on les mettait. Le moine Richer nous a parlé d'un abacus de cette espèce fabriqué au X* siècle par les soins de Gerberl (180). L'usage de ces machines à compter s'est conservé en Russie et dans quelques parties de la Pologne; depuis quelques années, celte machine a été introduite de nouveau en France, sous le nom de boulHer^ pour l'instruction des petits enfants dans nos salles d'asile (181) : c'est l'imitation d'une machine à compter des

(178) Voyez M. Vincent, Lettre à M, Letronne sur un abacus athénien (Revue archéologique , ni« année, p. 401).

(179) VoyezM.de Humboldt, Ueher die hei verschiedenen Vœlkem ûhlichen Système t'on Zahlenaeichen (dans Crelle*s Journal fur die' reine und angewandte Mathemalik, 1829, l IV. j). 205 et suiv.).

(180) Voyez plus haut, § 5.

(181) Voyez M. Chasles, Développements et défaits historiques sûr divers points du système de Vahacus, § 10, p. 17. note 1.

anciens. Or, il semble qu'il était bien facile aux Grecs et aux Romains d'appliquer la même mélhode à la numération écrite, en remplaçant les cases par des colonnes tracées sur le papyrus, sur le parchemin, sur les tablettes, ou bien stir le tableau couvert de poudre, où l'on écrivait les calculs avec le doigt (182), et en remplaçant les boules de chaque case par neuf signes graphiques représentant les nombres de ces boules depuis 1 jusqu'à 9 inclusivement, et d'arriver ainsi précisément à Vabacm décrit par Boèce. Nous avons vu que les Romains, dans les derniers temps de leur empire, ont réellement fait cette application. Pour la faire, il suffisait d'en avoir la pensée : chose difficile quelquefois précisément pour les inventions les plus simples. Cette invention une fois faite, il restait à la propager. Pour avoir chance d*y réussir, il fallait s'adresser à des hommes qui en sentissent vivement le besoin à cause des défauts de leurs procédés antérieurs. C'est pourquoi cette invention devait mieux réussir près des Romains que près des Grecs, qui s'en sont tenus à leur numération écrite, plus commode que celle des Romains, jusqu'à l'époque où le système indien avec le zéro et sans colonnes tracées d'avance, c'est-à-dire notre système moderne, leur est venu par les Arabes (183), tandis que les peuples chrétiens de r Occident arrivèrent d'eux-mêmes à ce système par un perfectionnement du système de Vabacus, Mais la propagation générale et vulgaire de ce système au XIII' siècle est due en grande partie à l'influence puissante que les études arabes exercèrent à cette époque pour le progrès des sciences chez les nations chrétiennes.

Origine indienne du système arabe , antiquité de ' ce système dans llndé, et rapports du système indien avec l'Egypte pour les figures des chififres seulement.

Mais où les Arabes eux-mêmes avaient-ils pris cette méthode de numération écrite avec valeur de position des neuf chiffres, et avec le; séro consistant en un point pour marquer les places vides ? Les Arabes eux-mêmes nous déclarent qu'ils avaient emprunté cette méthode aux Indiens (184). En effet, il est parfaitement certain qu'a-

(182) Voyez M: Ghasles, ibidem, § 11, p. 18-20.

(183) Voyez plus haut, fin du § 6.

(184) Voyez îfontucla, Histoire des mathématiques, part, ii, liv. I, chap. vm, t. I, p. 375 et suiv., et M. Reinaud, Mémoire sur VInde antérieurement au XI* siècle

50 BIfOI ARCHiOLOGlOOI.

vant d'étudier les sciences mathématiques dans les ouvrages grecs, les Arabes les avaient étudiées d'abord dans des livres indiens (185). De même que tous les peuples sémitiques, les Arabes ont eu un système de numération écrite analogue à celui des Grecs, et les Arabes Tout même gardé concurremment avec le système indien, qu'ils ont adopté au YIII' siècle (186).

{Institut^ Académie des iracriptioM, t. XVHI, ii' partie, p. 298-301). Comp. Eayer, Historia regni Gr$georum haetriani, $ 49, p. 127 et suW. (Saint-Pétersbourg, 1738, in-4). Ainsi, Maxime Planude, moine grec du X1V« siècle, dans son traité intitulé Calcul suivant les Indiens , a raison d'attribuer aux Indiens le système arabe. Voyez plus haut, note 159.

(185) Voyez M . Reinaud, Mémoire sur l'Inde, etc. (Institut , Âcad, des inscr., t. XVin , n« partie , p. 205 et suiv.) ; M. Weber , Akademische Vorlesungen ûber die indische Literaturgeschichte , p. 225 (comp. p. 202 et p. 178), et dans les Indische Studien, t. U, p. 200 et 277; Golebrooke, MisceUaneous essays, t. Il, p. 365, 367 , 368, 410-413; Lassen, Indische Alterthumskunde , t. U, p. 1130-1131, et mon Mémoire Sur Héron d'Alexandrie, etc., p. 164-176, et p. 397-398.

(186) VoyezM. Nesselmann, Die Algébra der Grieehen, p. 72-81. Suivant un texte de la Chronique de Théophane (dans le Corpus hist. Byxant., p. 314, éd. Paris.; p. 250, éd. Venet.), le sultan Walid I", en l'an 706 de notre ère , défendit aux populations grecques soumises à son pouvoir d'écrire dans leur langue les comptes oî~ ciels, et ordonna de rédiger ces comptes en arabe. Ce fait s'accorde avec ce que rapporte Aboul-Maharen (cité par M. Quatremère, Becherches sur la langue de VSgypte, p. 32), que Tan 96 de l'hégire (714-715 de notre ère), le gouverneur de l'Egypte ordonna que les registres du divan , qui jusque-là étaient tenus en copte , fussent écrits en arabe. Cependant, suivant Théophane, Walid «excepta les calculs, attendu que dans la langue arabe , dit ce chroniqueur , il est impossible d'écrire un, ou deux, ou trois ^ ou huit, un demi, ou un tiers» (xo»pU tûv «J/ili^Mv, iimSii à8vvaTOv T^ èxsCv6ov ykd^troTi) |jiovà8a fj SudSafj TpidBa^ éxTw, ^|jli9\) fi TpCa ypA^taOai, Au lieu des mots ^ TpCa, il me parait évident qu'il faut lire fj tpitov). Or Théophane, qui s'est mal exprimé , ne peut pas avoir voulu dire que dans la langw arabe il n'y avait pas de mots qui pussent être écrits pour signifier ces nombres; mais il a voulu dire sans doute que, dans V écriture arabe, il n'y avait pas de caractères destinés à exprimer chacun de ces nombres par un seul signe. Ainsi, d'après ce témoignage, s'il était digne de toute confiance, les Arabes, en l'an 706 de notre ère, n'auraient eu ni le système indien de numération écrite , qu'en effet ils n'empruntèrent qu'un peu plus tard, ni même un système analogue à celui des autres peuples sémitiques et des Grecs. Or, ce dernier point me parait diflSeile à croire ; mais, d'un autre côté , il me paraît difficile de révoquer en doute le fait de la permission accordée par Walid d'employer les caractères grecs pour exprimer les nombres dans des pièces officielles qu'il prescrivait de rédiger en arabe. Or, cette permission paraît supposer que le système de numération écrite des Grecs était reconnu préférable à celui que les Arabes possédaient en 706 , avant d'avoir emprunté celui des Indiens: et telle est la conclusion que je crois pouvoir tirer de ce texte du chroniqueur byzantin. C'est à la bienveillance de M. Brunet de Presle que je dois l'indication de ce texte , qui , je crois , n'avait pas encore figuré dans l'histoire de l'arithméliquei

Mais d*où venait aux Indiens eux-mêmes ce système de numération semblable au nôtre? M. Vincent (187) incline à croire qu'ils l'avaient reçu des Grecs par l'intermédiaire surtout des marchands et des médecins juifs. Je ne pense pas que cette supposition puisse être acceptée. En effet, on peut suivre chez les Indiens, en remontant jusqu'au ¥• siècle de notre ère, l'emploi de la notation arithmétique que les Arabes leur ont empruntée au VIII» siècle, c'est-à-dire d'une numération écrite avec neuf chiffres, avec la valeur de position dans le système décimal, avec le point jouant le rôle du zéro et sans les colonnes de VcUfocus (188). Or, il est vrai que des emprunts faits par les Indiens aux sciences de la Grèce avant le V** siècle de notre ère sont parfaitement constatés (189). Mais les Grecs n'avaient pas un système de numération écrite pareil à celui des Indiens et au nôtre; il est même très-douteux que la méthode ,de Vabacus de Boèce ait été en usage chez les Grecs, ou du moins cette méthode ne fut chez eux que très-peu employée, et une notation arithmétique sans valeur de position est la seule qui se rencontre chez les auteurs grecs jusqu'au XIII* siècle (190). Par conséquent, il est impossible que les Indiens doivent aux Grecs leur système de numération écrite semblable au nôtre, et il est extrêmement invraisemblable qu'ils leur aient emprunté la méthode de Vabacm de Boèce. Cette dernière supposition, très-difficilement admissible, en nécessiterait d'ail*leurs une autre, d'après laquelle, dès avant le V* siècle, cette méthode elle-même aurait été transformée par les Indiens en notre système moderne, qu'on trouve dominant chez eux dès cette époque. Il est probable que nous pourrions suivre plus haut encore dans les antiquités de llnde Texistence de ce système, si nous avions des arithméticiens indiens d'une époque plus reculée.

Cependant je dois dire que, sur certaines médailles indiennes du IV« siècle et des siècles antérieurs, les nombres se trouvent repré-

(187) Sur Vorigine de nos chiffres (Notices et extraits des manuscrits, t. XVl, II* partie, p. 150).

(188) Voyez M. de Humboldt, cité dans la note 179, et M. Reinaud» Mémoire sur l'Inde^ 1. c, p. 301.

(189) Voyez Âlbirouni, traduit par M. Reinaud , Fragments arabes et persans sur VInde, p. 144 (Paris, 1845, în-8); M. Reinaud, ibidem, et Mémoire sur VInde, etc. , (1. c); M. Chastes , Recherches sur Vastronomie indienne (Comptes rendus de l'Académie des sciences, t. XXHI, 2 novembre 1846); M. Biot, Sur les Nakchatras (Journal des fovonto, janvier 1845>; M. Sédillet, Matériaux pour servir à Vhistoire des scieneeSy etc., p. 430-455, et Histoire des Arabes, p. 358; Colebrooke, Miscellaneous essays, t. H, p. 427 et suiv., p. 467 et suiv., p. 504, 508 et 509, etc.

(190) Voyez plus haut, fin du $ 6 et § 7.

52 aiYUE AaCHiOLOGiQUB.

sentes par des signes lires des consonnes de l*alphabet sanscrit , sans valeur de position (191). Mais de même, dans les ouvrages d'Aryabbatta, mathématicien indien de la fin du Y* siècle, les nombres sont représentés par des combinaisons de lettres où les voyelles jouent le rôle de multiplicateurs sans valeur de position (192), tandis que dans le Sourya-siddhanta^ poème astronomique sanscrit du V* siècle, les nombres sont exprimés mnémoniquement par des vers techniques où les syllabes représentent les chiffres avec valeur de position. Cependant Aryabhatta a conunenté le Sourya-siddhanta (194). Ces deux modes de numération écrite coexistaient donc au V* siècle dans l'Inde, et par conséquent ils ont pu y coexister aussi pendant les siècles précédents. Mais il est certain qu'après le V* siècle le système pareil au nôtre fut généralement employé dans l'Inde pour les calculs arithmétiques (195), tandis que ce même système ne se montre que sept pu huit siècles après chez les Grecs, de même que chez les peuples d'origine latine, qui antérieurement n'avaient que la vieille notation romaine et la méthode de Vabacusy forme imparfaite de la numératien écrite avec valeur de position. Il est donc vraisemblable que les Indiens, très-éloignés sans doute de la méthode des sciences inductives, mais habiles calculateurs et très-adonnés aux spéculations sur les nombres (196), ont possédé de très-bonne heure et ont trouvé eux-mêmes le système que les Arabes leur ont emprunté. En effet, l'invention de ce

(191) Voyez M. Lassen. Indische AltenhutMikMndê , U H. p. 1139-1140.

(192) Voyez M. Lassen, ihiâem, p. 1138-1141.

(193) Voyez M. rabbéGuérin, Astronomie indienne ^ cbap. xii, p. 138-140 (Paris, 1847, ia-8). Gomp. ï&tdem, chap. ii et chap. xi.

(194) Voyez Wilson {Maekefisie coUecftoti, 1. 1, p. 1109, n* 5), cité par H. Lassen, ïndiiche AUerihumikwndet I. U, p. 1137. Le Sourya-ttddhanla. d'après des considérations astronomiques que je développerai ailleurs, ne peut pas être antérieur au V* siècle. Aryabhatta est cité par des auteurs du commencement du VI* siècle, et il a commenté le Souryc^sidàhanîa, Le poSme et le commentateur sont donc du V* siècle.

(195) Voyez M. Reinaud, Mémoire sur Vlnde^ etc., {Institut^ Acad. des «lacr., t. XVIU, u* parUe, p. 301). Dans leur système de numération. les Indiens emploient pour les calculs neuf chiffres analogues aux chiffres arabes et le point serrant de séro. Dans les traités scientifiques en langue sanscrite, même postérieurs au V* siècle, on trouve des vers techniques destinés à rappeler les résultats dfes calculs : les chiffres y sont remplacés soit par certaines syllabes, soit par les noms de certains objets, dont les figures tenaient aussi lieu de chiffres. Ges figures hiéroglyphiques, ces noms et ces syllabes représentant les chifftres, ont leur valeur de position, comme les chiffres eux-mêmes, en commençant par les unités de Tordre le moins élevé. Voyez M. l'abbé Guérin, Astronomie indienne , chap. xii.

(196) Voyez M. Bohien, Das alte Indien , I. Il, p. 398.

système, ne supposant que des notions élémentaires d'arithmétique, a pu être le produit d'une conception très-heureuse sans doute, mais extrêmement simple, et par conséquent celte invention a pu être contemporaine de Fenfance des sciences mathématiques. M. de Humboldt remarque cependant que cette invention est postérieure à la séparation de la race hindoue et de la race ariane, puisqu'on ne la trouve pas chez le peuple zend; il remarque aussi que, dans Tlnde même, le système de numération écrite caractérisé par la valeur de position et par remploi du zéro est étranger aux signes numériques tamouls et cingalais (t97).

On n'a découvert aucune trace de ce système dans les monuments de rÉgypte pharaonique, qui pourtant employait des chiffres analogues aux nôtres et aux apices de Yabacus de Boèce, mais sans valeur de position. Je ne pense pas qu'on ait découvert non plus aucune trace de ce même système et de la valeur de position dans les monuments antiques de la Phénicie et de l'Assyrie. Les Chinois ont emprunté ce système aux Indiens, mais après le ¥• siècle (198). Chez les Juifs, M. Nesselmann (199) en signale un exemple, mais unique et imparfait : il le trouve dans Tindication du nombre des versets du Pentatmque en tête de la Massore (200); ce nombre, 6845, y est, ditil, écrit de droite à gauche, comme lisent les Hébreux, par les lettres qui signifient 5, 8, 40 et 5. Ainsi, de ces quatre lettres prises comme chiffres, la troisième est la seule qu'il faudrait changer pour que le nombre fût écrit tout entier d'après notre système moderne, si ce n'est que, lisant de gauche à droite^ nous placerions dans l'ordre inverse les chiffres correspondants. Mais je dois faire observer que dans la notation hébraïque, où les lettres de l'alphabet fournissent neuf signes pour les neuf premiers nombres, puis neuf autres signes pour les dizaines, puis neuf autres signes encore pour les centaines, on reprenait pour les mille, pour les dizaines de mille et pour les centaines de mille les nftmes lettres surmontées de deux points, et que ces deux points se supprimaient souvent, quand il n'en pouvait résulter aucune amphibologie, c'est-à-dire quand les ordres in-

(197) Voyez M. de Humboldt, Cosmos^ t. \\ , ii* partie, chap. v, note 19, p. 543 de la traduction française ; le même, Uebev die hei verschiedenen Vœlkern ûblichen Système von Zahlxeichen und ûber den Ursprung des Stellenwerthes in den indischen Zahlen (dans Crelle's Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1826, t. IV , p. 205 et suivOt et Examen critique de l'histoire de la géographie du nouveau conti^ nent, t. IV, p. 276.

(198) Voyez M. Reinaud , Mémoire sur Vlnde , etc., I. c, p. 301.

(199) Die Àlgébra der Grieehen j Zusxtxe , p. 494.

(200) Le texte de la Massore a été publié par Daniel Bomberg (Venise , 1525).

54 UVUB ARGHtOUMIQnB.

férieurs d'unités ne manquaient pas dans le nombre donné (201). II n'est donc pas surprenant que les 5000 du nombre 5845 soient ex<*primés simplement à droite par la lettre qui signifie 5. Ensuite les 4 dizaines et les 5 unités sont exprimées à la manière grecque par les lettres hébraïques qui signifient 40 et 5. La valeur de position ne se montrerait donc ici d'une manière caractéristique que dans la lettre qui signifie habituellement 8, et qui serait employée ici pour signifier 800. Mais cette lettre ne diffère pas beaucoup de celle qui signifie 800, et il pourrait y avoir là une simple faute de copie, sinon même une simple faute d'impression dans l'édition du texte de la Massore. D'ailleurs, dans ce même nombre, les 4 dizaines sont exprimées sans valeur de position ; l'exemple serait donc imparfait. Enfin cet exemple isolé et tout à fait exceptionnel serait seulement du commencement du YI* siècle, époque de la rédaction définitive de la Massore. Cet exemple unique ne prouverait donc rien en faveur de l'antiquité de ce système chez les Juifs, qui, du moins habituellement, n'ont fait aucun usage de la valeur de position des chiffres avant l'époque de l'influence arabe (202). Ainsi, la priorité reste aux Indiens» qui sont probablement les premiers inventeurs de cette méthode de numération écrite.

Quant aux figures des neuf chifiRres, elles se présentent chez les anciens Égyptiens, chez les Indiens, chez les Arabes, dans les plus anciens manuscrits de Boèce , dans les manuscrits des traités latins écrits au moyen âge sur Vabacus et sur Yalgùrisme^ et dans notre numération moderne , avec une ressemblance qui est assez grande pour ne pouvoir pas être attribuée au hasard (203). Nous avons vu que nos chitTres viennent des apices de Boèce , et que ceux-ci , avec leurs noms bizarres, les uns grecs, les autres hébraïques , et avec leurs formes symboliques, sont venus de l'Egypte à une époque où les influences grecques , juives et gnostiques y étaient combinées

(201) Voyez Pierre Guarin, Grammatiea hehraica et chaldaica, lib. UI, c. m, art. 1, t. H, p. 376-378 (Paris, 1726, in-4). L'emploi liébraïque de ces deux points a été imité par quelques Grecs au moyen âge. Voyez Hontfaucon , PàUBographia grxea, Récent.^ p. xn-xm. Gorop. M. Nesselmann, Die Àlgehra der Grieehen,

(202) Voyez M. Nesselraann , L c. , p. 72 et suiv.

(203) Voyez et comparez les figures des chiffres indiens et arabes et des chif^ fres arabes de Planude, chez Bayer (HisUtria regni grœcorum hactriani, tab. i, flg. 2) et chez Montucla {Histoire des mathématiques, 1. 1, planche 11); les ùga* res des chiffl>es hiératiques égyptiens chez Gbampollion (cité dans la note 140) , et les figures des chiffres de Boèce et des traités de l'obacuf , chez M. Chasles (cité dans !a note 141).

ORIGINE DB NOTRE ST8TÉMB M NUMArATION ÉCRITE. 55

SOUS la domination romaine (204). Quant aux chiffres arabes, ils viennent des chiffres indiens. Mais les chiffres indiens eux-mêmes €t ceux des Arabes offrent une ressemblance qui ne peut être méconnue , d'une part avec les chiffres égyptiens de la vieille écriture hiératique du temps des Pharaons , d'autre part avec les apices de Boèce. L'intention symbolique , moitié pythagoricienne, moitié gnostique , qui a été parfaitement dévoilée par M. Vincent dans les figures des apices et dans les noms de plusieurs d'entre eux (206) , ne se montre bien clairement que dans une des figures des chiffres hiératiques égyptiens, et ne se laisse pas du tout apercevoir dans les figures des chiffres indiens. La secte alexandrine à laquelle ap*^ partient la méthode de Vabacus a donc modifié à dessein et d'après des idées préconçues les figures des chiffres égyptiens en se les appropriant.

Mais comment expliquer ce qu'il y a de commun , pour les figures des chiffres, entre les anciens Égyptiens et les Indiens? C'est là une question qu'il est bien difficile de résoudre , et sur laquelle on peut tout au plus hasarder quelques conjectures , comme je vais le faire ici. De très-bonne heure l'antique Egypte eut avec l'Inde au moins des relations indirectes par l'intermédiaire des Phéniciens , des Sabéens et des colonies indiennes des côtes de l'Arabie (206) ; elle eut avec l'Inde des relations directes sous les Ptolémées (207) et plus encore sous les empereurs romains (208). Il n'est donc pas im^ possible que , pour les figures des chiffres , les Indiens aient imité

(204) Voyez plus haut> % 6.

(205) Voyez M. Vincent (cité dans la note 137).

(206) Voyez le Périple de la mer Erythrée^ p. 156 et 159 de Blancanus; Lassen , Indiêche Alterthumskunde, t. H, p. 580-582, et Bohien, Das alte Indien^ t. U, p. 131-^ 141. Comp. Gardner Wilkinson, Manners and cusîoms of the ancient Egyptiansj 3* éd., 1. 1, p. 226, 231, etc., t. UI, p. 106-108 et p. 217, «t Lassen, Inâisehe Alterthumskunde^ t. H, p. 595-597. Sur la navigation des Indiens, très-florissante à une époque reculée, voyez Lassen, ibidem^ 1. 1, p. 748, et t. II, p. 578-582 et p. 620.

(207) Voyez Strabon, II, p. 118 A, et XV, p. 686 B de Gasaubon.

(208) Voyez le Périple de la mer Erythrée, notamment p. 174 de Blancanus; Pline, Hist nat. , VI, 23 (26), 1. 1, p. 439-441 de Sillig, et Ammien Marcellin, XXII, 7. Gomp. M. Reinaud, Relation des voyaget faits par les Arabes dans VInde, etc., 1. 1, Introd., p. xxYiii et suiy. ; Bohien, Das aXte Indien^ t. Il, p. 134-135, et M. Lassen, Indisehe Alterthumskunde ^ t. II, p. 343 et p. 589. Il y ayait dans Ttle de Dioscoride (Socotora) des Égyptiens, des Grecs et des Indiens. Voyez le Périple de la m^ Erythrée , p. 159 de Blancanus , et Gosmas Indico-pleustès, p. 178. Gomp. M.. Reinaud, 1. c, et M. Letronne {Institut^ Académie des inscriptions ^X, IX, p. 178). Non-Seulement des commerçants indiens, mais des brahmanes, visitaleot alors l'Egypte. Voyez Damascius, Vie d'Isidore , dans la Bibliothèque de Photius , p. 340 de Bekker.

56 RIVUI AECHiOLOGIQUl.

les ÉgyptieDS, ou les Égyptiens aient jmité les Indiens. Cependant j'incline à croire que ces figures, sous leur forme primitive, diversement altérée depuis, appartenaient à la race chamite, dont les Égyptiens furent le rameau le plus civilisé et le plus persistant , mais dont diverses branches paraissent avoir occupé, dans les temps les plus reculés, toutes les côtes méridionales de l'Asie depuis TAra- ^ bie jusqu'à l'Inde (209). Les Égyptiens ou Misraites sont probablement venus de l'Asie par le midi de TArabie , le golfe Arabique et la haute Egypte , à une époque où la race de Cham , n*ayant pas récriture phonographique ou alphabétique , dont l'invention paraît due surtout à la race de Sem, ne connaissait encore que récriture idéographique , à laquelle les neuf chifTres appartiennent , et qui s'est perfectionnée sur le sol de l'Egypte , en s'adjoignant des signes phonétiques. Les Indiens des temps historiques, c*est-^-dire les Indiens Aryas venus de Tlran, semblent avoir fait beaucoup d'emprunts aux races auxquelles ils vinrent se superposer en prenant possession du sol indien (210) : parmi ces emprunts, il faut peut-être compter celui des figures des neuf chiffres et celui des représentations hiéroglyphiques par lesquelles les Indiens les remplaçaient quelquefois (211).

Quoi qu'il en soit de ces conjectures , ce qu'il faut bien remarquer, c'est qu'il n'y a aucune liaison nécessaire entre notre système de numération écrite avec valeur de position et ces neuf signes numériques. En effet, c'était sans valeur de position que les Égyptiens les employaient, et ils avaient des signes particuliers pour les différents nombres de dizaines; ajoutons que, dans la désignation des jours de la lunaisoù ou des jours du mois solaire , ils exprimaient chacun des nombres ordinaux 5% 6% 7« et 8', par la juxtaposition de deux chiffres désignant les quatre premiers nombres ordinaux (212).

Ce n'est donc pas en Egypte, mais dans l'Inde, qu'il faut chercher les plus anciens exemples de notre méthode actuelle de numération écrite. La méthode de Yabacus , moins parfaite que la mé-

(209) Voyez la Genèse y X, S-20. Comp. M. Lenormant, Cours d^histoire ancienne ^ cbap.vi (Paris, 1838, in-S); M. d'EcVsiein , Du naturalisme dans les hymnes du Yéàa {Athenxum français ^ IV* année, p. 63, col. 2); les Éthiopiens de VAsie (ibidem, m* année, p. 364-368), et Questions relatives aux antiquités des peuples sémitiques ^ $$4, 5 et 7 {Revue archéologique , XU« année, p. 578-580, 583, 586 et 588), et M. Renan, Histoire générale des langues sémitiques, liv. I , chap. ii, $§ 1 et 3, p. 32-33 et p. 53-54.

(210) Voyez M. Weber, Àkademische Vorlesungen vher die indische LiterOtwrgesehichtejp, 145-148.

(211) Voyez la noie I95.

(212) Voyez Champollion cité dans la note 140.

ORIGINE DE NOTRE STSTÂME DE NUMBRiTION ÉCRITB. 57

thode indienne, est une invention gréco-romaine, qui, venue d'Alexandrie , s'est perpétuée au moyen âge dans l'Europe occidentale , où elle a fini , en se perfectionnant , par se fondre avec la méthode indienne importée par les Arabes (213).

H. Martin.

Doyen de la Faculté des leUres de Rennes, correspondant de rinstitut. (213) Voyez plus haut, § 6.

Ch. Lahure , imprimeur du Sénat et de la Cour dç cassation , rue de Vaugirard , 9, près de TOdéon.