LE NOMBRE PARFAIT DE PLATON

EXPLICATION D*UNE ÊNI6MB MATâÉMATIQUB QUI SB TROUVE AU COMMENCEMENT DU Yin* LIVRE DE LA RÉPUBLIQUE*

Après avoir exposé Torganisalion de sa cité idéale , et spécialement les règlements étranges qui concernent la famille , Platon, au commencement du VHP livre delà République, prétend indiquer les cauaes qui produisent les révolutions des États , causes fatales qui, de son propre aveu, finiraient nécessairement par détruire même la constitution, réputée par lui si parfaite et si solide, dont il vient de Iracer le plan. Cette altération commencerait, suivant lui, par l'oubli des lois mystérieuses qui doivent régler les mariages et la procréation des enfants. Ici, après avoir invoqué lés Muses, et s'inspirant des conceptions de Fécole pythagoricienne , Platon dit quels sont les nombres sacrés d'où dépend, suivant lui, cette partie fondamentale de Tordre social ; mais , d'après la tradition de 'celte école, un si profond mystère ne devait être présenté que sous un voile impénétrable pour les profanes. Voilà pourquoi, dans ce passage, Platon, sous le personnage de Socrate, ne fait que proposer une énigme mathématique qu'il a voulu rendre très-difficile à deviner, et il faut avouer qu'en cela il a parfaitement réussi ; car, dès l'antiquité, r obscurité du nombre de Platon était passée en proverbe(l) . Quelques commentateurs modernes sont allés jusqu'à douter |que cette énigme eût une solution , et jusqu'à supposer que Platon

(1) Voy. Cicéron, Epistolœ ad Atticum, VII, 13. Comparez Marsiglio Ficino. Àrgumenl du VIIP livre de la République^ p. 150 de sa traduëtion latiDe de Platon» édition de Josse Badius d'Assche (Paris , (3a, in-fol.).

2 RBVUB ARCBiOLOGlOUB.

avait voulu tout simplement se jouer de ses lecteurs. Que Platon n'ait pas eu une foi bien profonde dans l'influence politique des nombres qu'il avait en vue , je suis assez disposé à le croire (2) ; mais, qu'il n'ait eu en vue aucun nombre déterminé , et qu'il ait voulu faire des phrases dépourvues de sens, c'est ce qu'il me parait impossible d'admettre. D'ailleurs, Âristote, Aristide Quintilien, Plutarque, l'auteur de la Théologie arithmétique anonymi) et Proclus attachaient sans doute un sens précis à ce passage , puisqu'ils ont saisi rocca«ion d'eu expliquer quelques parties (3).

Pour nous, la difficulté est compliquée, comme nous le verrons, par une petite faute que les copistes ont commise en transcrivant ce texte , qu'ils ne comprenaient pas. Deux savanfs allemands. Pries et Schneider, ont échoué dans l'interprétation de ce passage ; pourtant ils ont ouvert la voie et commencé à éclaircir quelques points du problème. Schleiermacher, qui les réfute, avoue lui-même qu'il n'a bien compris qu'une partie de ce passage, à cause duquel, dans l'espoir d'un meilleur succès, il avait interrompu pendant douze ans la publication de sa traduction allemande de Platoh ; et M. Cousin, à son tour, avoue que ses efforts n'ont pas été plus heureux sur ce problème plus mathématique que philosophique. Enfin un mathématicien helléniste, M. Vincent, me parait avoir le premier trouvé une solution complète et satisfaisante, du moins dansFensemble, sinon dans tous les détails. Il y est parvenu principalement en fixant le sens de plusieurs locutions obscures, qui étaient comme le pivot de la difficulté , telles que ETriipito; icvôf^nv neiJLirâSt ou^uyc^c, puis SiafjLCTpoç employé arithmétiquement , puis fxTov à mettre à la place de £xaxov, et en même temps en distinguant bien les deux parties de l'énigme et en marquant bien la transition de la première partie à la seconde, à laquelle elle prête ses résultats. Mais il me semble que divers points de Texplication philologique laissaient encore à désirer: pour la compléter et la rectifier, j'ai eu le bonheur de réunir quelques textes anciens que mon savant devancier n'avait pas eus sous les yeux ; marchant ainsi sur ses traces avec des secours qui lui ont manqué, je crois avoir apporté à la solution qu'il a trouvée quelques amendements et une confirmation utile. Ensuite, pour l'interprétation philosophique de cette solution et pour la recherche des conséquences historiques qui peuvent s'en déduire, les principaux développements m'appartiennent. En outre,

(2) Voy. plus loin, $ 6.

(3) Leurs explicalions partielles soqt citées plus loin, SS 3 et 5.

LB NOMBRE NDPTUL BT LE NOltfBRE PARFAIT DE PLATON. 3

j*ai trôairë chez un auteur ancien l'explication très-probable d'un nombre auquel Platon s'est contenté ici de faire allusion, et qui ne se rattache qu'indirectement h son énigme, savoir, du Tiombre par-^ fait, qui, suivant lui, préside aux révolutions célestes: cette expli-rcation confirme celle qui concerne^Ie nombre nuptial ^ objet spécial de l'énigme de Platon, et ces deux explications me conduisent à montrer rimporlance de ce passage du VIII^ livre de là République pour l'histoire des mathématiques avant l'école d'Alexandrie , tant chez les Grecs que chez les Égyptiens et les peuples de F Asie.

Je termine ce préambule en renvoyant le lecteur aux deux édi-. lions successives du remarquable travail de M. Vincent sur le problème difficile que j'ose aborder après lui (4), Ce renvoi me dispensera de signaler en détail c^ que je lui en^prunte et les points où je qi'écarte de lui.

Je commence par reproduire ici fidèlement le texte grec de ce passage , d'après l'édition in-4| publiée en 1«39 par MM. Baiter , Orelli et Winckelmann (5), qui n'ont fait ici que suivre scrupuleusement Vautorité des manuscrits. Seulement j'ai indiqué entre cro^ cliets mes corrections, qui consistent en deux virgules ajoutées et dans la substitution du caractère ç ou du mot ^xtou au mot Ixarov. En regard du texte, je donne ma traduction littérale, qui sera justifiée par la suite de cçtte dissertation. Je justifierai également le texte que j'ai suivi.

VIfP livre de la fiépublique de Platon , p. 5^6 3 C.

^E(rct Si ÔEiw |xàv yêvvtitw 11 y a, pour ce qui est divin et en-

^cpt'oSoi;, ^v apiôfAbç irepiXafx- gendre, uue période qu'un nombre

^b^vEi T6'X6toç , àvôpcoTretV Si Iv parfait embrasse; mais, pour les gé-

r / ,r / Si ' ' nérations humaines, il y a un nombre

^ \ ' , n - qui est le premier dans lequel des puis-

Te xai 5uva(TTfuot..v«t[,] xpetc sances commandantes et Commandées ,

àiroaTaffetç , wxapaç Se «pouç recevant trois intervalles et quatre ter-

Xoêoùffat ôuoiouvTwv te xai àvo- més, de ccux qui rendent semblable et

(4) Sur le nombre de PlaXon. Parts, 1899, jn-8 (extrait du journal 17n«(ttul» u* section, Sciences historiques, archéolftsiqu^ et philosophiques , u* 45, septembre 1839), et surtout Notice sur divers manuscrits grecs relatifs à la musique, Supplément à la note L, Sur le nombre nuptial de Platon {Notices et extraits des manuscrits y etc., t. XVI, u* partie, p. 184-194).

(5) P. 509. Zurich, 18.39, in-4.

4 RBVDE AECHiOLOGIQUI.

|AoiouvT(iiv xql\ ùâHnfT^^ xa\ (le ceux qui rendent dissemblable, de

fOivovTMv , iravra it()oa^Y<>P« ^^^ 4^^ Croissent et de ceux qui dé-

Koi M If po< «^^^ «iri?i|v«v croissent , ne présentent que des choses

r y , ^ V * ,^ en proportion et rationnelles les unes

(TuCuYtk «uo é?|wvia« 7rapéx«ai rapport ^pi/fife réduit à ses termes les Tpi; aù^Y)Oetc, TJjv {liv t(n)v plus simples et joint au quinaire, [le ladlxK, Ixdwv ToaauTtixi;, t^v *oul] étant élevé à la troisième puis- ^. . / , ^ 'X' sance, donne deux harmonies ^ Tune (joiAUixt) f& , tt) itpofAïjxtc f, j^^jijpi j^g pgj. elle-même et Tautre mul-

lx«Tov liàv <lpi6(ASv dttà 8i«. tipiiée par cent ; l'une carrée et égale (jLSTpwv ^Twv miAirà^oc, 8to(ii- suivant une dimension à l'autre , qui

vwv lvb<; éxblffTwv, iff^Twv oé[,] ^^^ allongée, f la somme étant] de cent

j . r 1- j^ nombres formés avec les diagonales ouetv, ixaTov [au lieu de .. n j • • j a u

*- rationnelles du qumaire, dont chacune

Ixatov, lisez ç, ou peut-être manque d'une unité et qui sont irra-

IxTou] Bi xu&ov TptaSoç * (ufi- tionnelles , de deux et d'un sixain de

TraçôioÎToçàpiOixoçYecoiiLeTpixdç, cubes du ternaire. Or ce nombre tout

, entier est un nombre géométrique, qui

Toio^tou xupio^, ifAcivovwv Tt ^ ^^ pQuvoir, dc déterminer des géné-

xa\ x^tp^v Y<^'<'c<*>^ rations meilleures ou pires

8 ni.

Expliquons maintenant le sens littéral du texte et de la traduction.

Ce qui est divin et engendré, ce sont les astres, suivant la doctrine de Platon (6). Les révolutions des astres sont embrassées par un nomhreparfaity que Platon ne définit pas ici , mais sur lequel nous reviendrons cependant plus loin.

Les générations humaines sont réglées, suivant Platon , par un nombre moins parfait et qu'il définit en termes énigmatiques. Je vais montrer que Platon, comme H. Vincent l'a bien compris , a entendu former ce nombre d'après le tableau suivant :

(6) Voy. le Timée, p. 26 B, G, p. 96 D, E, p. 37 A,C, p. BSC, p. 40 B, p. 4t A, B, elc.

En effet, dans ce tableau» chaque ligne horizontale présente une progression géométrique de quatre termes^ entre lesquels il y à, par conséquent, trois intervalles. Chaque colonne verticale comprend de même quatre termes et trois intervalles. Dans chaque ligne horizontale, Tunité est suivie de trois puissances d'un même nombre : ces puissances sont les unes commandantes et les autres commandées, ou, en d'autres termes, le dernier nombre, non-seulement de chaque colonne horizontale , mais aussi de chaque colonne verticale , commande géométriquement les trois précédents, c*est-à-dîre qu'il est égal à leur produit. En effet , 1X1X1 = 1; 1X2x3 = 6; 1X4X9= 36; 1X8X27=216. Cette expression , puissances com~ mandantes et commandées, était en usage chez les pythagoriciens ; car Alexandre d'Aphrodisie (7) nous apprend que Thypoténuse était appelée par eux commandante (ouvafjLsvri} et les deux côtés de Tangle droit commandés (ouvadTeuoijLEvai) , parce que la seconde puissance de rhypoténuse vaut la somme des secondes puissances de ces deux côtés : seulement le carré de Thypolénuse commande arithmétiqu^ment les carrés des deux côtés, dont il est la somme, tandis que les puissances de 6 dans le tableau ci-dessus commandent géométriquement les puissances de 1 , de 2 et de 3, dont elles sont le produit.

Parmi les seize termes du tableau , sept sont de ceux qui rendent semblable, c'est-à-dire qu'ils sont égaux à l'unité, et neuf sont de ceux qui rendent dissemblable, c'est-à-dire qu'ils diffèrent de l'unité. En effet, Nicomaque (8), Théon de Smyrne (9) et l'auteur de la Théologie arithmétique (10) remarquent que l'unité seule a la propriété de maintenir semblables à eux-mêmes et de confirmer dans leur identité les nombres qu'elle multiplie, tandis que tous les nombres autres que l'unité produisent un changement par la multiplication. Nous avons trouvé tout à l'heure , parmi lés puissances commandées, des facteurs égaux à l'unité : c'est à ces facteurs conservateurs de l'identité que Platon fait ici allusion , en les opposant aux facteurs qui produisent des changements.

Les termes du tableau vont en croissant de gauche à droite dans les lignes horizontales et de haut en bas dans les lignes verticales ;

(7) Sur la Métaphysique, l, B, p. 56^ éd. de M. Bonitz (Berlin, 1847» in-8), ou bien dans le t. IV, p. 561 , des Œuvres d'Âristote, édition de Berlin. Proclus {sur le pre* mier livre d^Euclide, p. 2, 1. 14 en remontant, éd. grecque de Bâte) cite aussi ces expressions, en renvoyant au texte de la République, mais sans les expliquer.

(8) Anthmétique , Il , 7, p. 130-131 d'Ast (p. 67 de Wechel).

(9) Arithmétique, c. 3, p. 25 de Boulliau.

(10) C. 1, p. 3 d'Ast (p. 5 de Wecliel).

8 UYUB ARCBÉOLOGIQUI.

nUmiâ seule, qui ainsi savait multipliée d'abord par elle-même et ensuite par 100; et les mots tj|v ôà Uoikt^Ki^ fxlv tyjj icpopLi^xifi ^ s*appli^ queraient à la seconde /Mrmonie seule , qui aiusi serait de même longueur que la première, mais avec une largeur différente , que rien dans la phrase ne ferait connaître. Or celte phrase ainsi altérée ne peut s'accorder ni avec ce qui précède , ni avec ce qui suit ; car le carré de la première harmonie multiplié par 100 donnerait déjà un nombre beaucoup trop fort , 6400. M. Schneider a oublié qu'avant de changer un texte contre Tautorité de la très-grande majorité des manuscrits, il faudrait d'abord être bien sûr de comprendre la pensée de l'auteur. 0*un autre côté» M. Vincent lit par correction djv TrpofAijxY) Bi, Alors le sens est clair et vrai ; car Y harmonie multi* pliée par elle-même est carrée (tao^AiixTiOy et Vharmonie multipliée par 100 est allongée (icpoai{xr,ç}. Mais je crois que Platon a voulu être obscm*, et que les copistes n'auraient pas introduit la leçon obscure x^ ispoïk^xu Bi , au lieu de la leçon plus claire tt^v irpo;Ai{xri de, si cette dernière avait été donnée par l'auteur.

Après les mots que nous venons d'expliquer, la phrase se termine par des génitifs , souvent employés ainsi dans les évaluations et qui expriment ici une nouvelle décomposition du total trouvé, c'est-à-dire de 864. D'après cette fin de la phrase, ce total est de cent nombres formés des diagonales rationnelles du quinaire ^ de deux et d'un sixain de cubes du ternaire. Ce que Platon appelle ici diagonale rationnelle du quinaire ^ c'est, comme M. Vincent Ta très-bien expliqué, la partie entière et rationnelle de la diagonale du carré dont le côté est ô, ou de l'hypoténuse du triangle rectangle isoscèle qui est la moitié de ce carré. Platon ajoute que ces diagonales rationnelles , c'est-à-dire ces parties rationnelles des diagonales, manquent ehacune d^une unité. S'il avait voulu être clair, il aurait ajouté au moins le mot ouvdcfjiEi, pour signifier qu'd la seconde puissance elles. manquent chacune d'une unité pour égaler le cdrré de la diagonale vraie. Enfin il ajoute qu'elles sont irrationnelles : c'est aux diagonales vraies que s'applique cette remarque parfaitement juste, mais contradictoire à dessein et seulement en apparence avec ce qui précède. En effet , dans le carré dont le côté est 5 , la diagonale est ô\/2, quantité irrationnelle, et le carré de cette diagonale est ô'X 2 == 50. La partie rationnelle et entière de la diagonale est 7, dotit le carré 49 est trop petit d'une unité; car 49=^=50 — 1. Platon a donc voulu désigner le nombre 7, qui^ pris 100 fois, donne 700. Il prescrit d'y ajouter le nombre 2, plus 6 fois le cube de 3^ c'cst-à-.dire 162. En effet , 700 -}- 2 + 162 :?= 864.

' le ne pensé pas que cette dernière décomposition rdu nombre 864 soit, comme M. Vincent le soupçonne, une glose explicative ajoutée par un. scoliaste. Car celte explication prétendue présenterait bien dés obscurités préméditées et des expressions évidemment énigma^ tiques^ par exemple, les mots à^pixia^ oé, de quelque manière qu'oi^ veuille les entendre. D'ailleurs, il faut remarquer que Platon traite le nombre 864 exactement comme il avait traité le nombre 216 : il désigne le nombre 864 par trois égalités : 216X^1^ = 864; 8*+ 8 X 100= 864 ; 7 X 100 + 2+ 3'X 6=864. De même, le quart de 864, c'est-à-dire 216, avait été désigné précédemment par trois égalités : 6»=2i6; 1»X2»X 3» = 216; 3' + 4»-|-5'=216. Cette triple indication de chacun de ces deux nombres exclut toute espèce de doute sur Tintention que Platon avait de les indiquer, et je croîs avoir expliqué d'une manière satisfaisante toutes les obscurités préméditées des expressions qui les concernent dans tout le texte tel que je l'ai donné et traduit ci^lessus. .