C.cosâ

langB = i58.33.i3 — 9.69424

comme ci-dessos. Ce moyen pour trouver B et B' serait beaucoup plus long ; mais si les Tables étaient construites , on y prendrait à. vue . rfA, rfA, i/A', R et R' qui donneraient (B — B') par de simples additions ou soustractions.

Nous avons donc tout l'ouvrage d'Autolycus dans les formules

, , , ^ sin • tang H

cotB = col » cot (A — rfyii; -- ^iTïjeî^djRy

/ -n j ■D \ sin «1 tang II

cot B' = cot û) cot ( A+ «^ } -r S^,fi+diÉ) »

. - /$ini5"\ sinB

auxquelles il feut joindre les huit combinaisons de ces quatre quanlîlés qui nous donneront les quatre levers et les quatre couchers (voyez page 41 ) Mais ces formules , en vérifiant les théorèmes d Aulolycus ,

nous donneraient encore les tems absolus des phénomènes dont FanteBt grec n'a donné que la métaphysique. Le Livre d*Autolycus est aujourd'hui fort rare^ et probablement il ne sera jamais réimprimé*

Nous avons promis une démonstration générale des dernières propositions d^AutoIycus ; la voici y elle est extrêmement simple.

L'ordre naturel des phénomènes qu'il considère est celui-ci ; I 2 S 4

Coucher du soir» Lever du matin. Lever du soir. Coucher du matin.

B'— iS'

B+iSo"— jS

ou bien , en faisant comme Autoljcus ^ jS=jS'= iS",

B'— 15« B+i5«. . , . . .B+I65» B'+ig^*

intervalles 5o+(B— B') 1 5o' 5o— (B-^B'). ...—ai o*=5-f-i 5o*

ce qui suppose B > B' et B — B' < So".

Donnons à (B — B') les valeurs suivantes : nous aurons pour le» intervalles les valeurs ci-dessoas.

intervalle.

3' intervalle.

intervalle.

Somme des quatre^

36ao 36o 36o 36o

So 0

La sixième supposition rend nul l'intervalle entre le lever du sofr et le coucher du malin. On les observera donc tous deux à une même longitude du Soleil^ c'est-à-dire dans la même nuit.

La septième rend ce même intervalle négatif^ ce qui montre que Tordre est interverti; que le coucher du matin sera visible avant le lever du soir; et quand ce lever sera devenu visible à son tour , on les verra tous deiioc dans le cours d'une même nuit.

Supposons maintenant B<B'; (B — B') sera n^atif. Au fiea de

OUVRAGES D'ATJTOLYCUS. 4^

B'), mettons — (B' — B) dans les formules qui deviendront (B' — B), i5o% 50' 4- (B' — B), i5o*; alors en formant pour B) les mêmes hypothèses , nous aurons ce qui suit.

1 1 la i3

intervalle.

Somme des quatre.

Voîlk donc treize formules qui sont équivalentes aux treize dernières propositions d'AutoIycus , et qui au besoin serviraient à corriger les fautes d'impression : elles sont bien plus faciles à comprendre. Au resté, quoique les Grecs ne connussent pas l'usage des équations , il n'est pas impossible qu'Aotolycus ait trouvé ses théorèmes par des raisonnemens tout semblables à nos calculs. Ses commentateurs les ont démontrés par des Ggares ; je ne dirai pas avec quel succès , je n'ai pas eu le courage de les vérifier.

(B — B') peut avoir toutes les valeurs entre i8o* et — i8o*. Pour le prouver et compléter cette théorie , nous allons montrer comment on peut déterminer les étoiles pour lesquelles (B — -B') sera de (i5**zfc:jc)', de (So^'rfcj:) , ou telle autre valeur quelconque positive ou négative.

Soient L la longitude de l'éfoile^ A sa latitude, dL=L—B, dWz=sR'^L, TOtts en conclures^

L = B + rfL,

L =î B' — dL'i doù

o = (B— B')-f-i^L + JL' et <;L4- JL' = (B'— B)^

de plus ,

sin dL =. tang A côt ce et sin dW = tang A cot a^

a et af sont Iw angles que récliptique fait avec l'horizon aux points* B et B'.

Ifi ASTRONOMIE ANaENNE.

Pour connaître ces angles on fera

sin H = CCS m ces a — sin û) ces B s!q a ^ sin H sec e»= cos a — tanga>cosBsiii et = cosflt — tang^sîaa^ ' éinHsëcâ»cos^=: cos« cos^ — sin A6in9 = cos(« + 9) = €OSX;

on aura donc

H tang(p;=tangû)CosB^ cos x = sÎQ H sec û» cos (p , tt=X-^f;

pour Tangle af vous aurez ' tang ^'=3= langâicosB'^ cosx' = sinHsec é» co$^' et «' = x'+?-

Les angles subsidiaires ^ et ^%% et%' sont toujours aigus; mais ^ et ^* peuvent être négatifs : or^

^ sin^L : sin JL' :: tang A cota : tangA cot a' :: cot « ! cot a!\l tanga' : tangtf,

I tang i (iL-H/L') : tang ^ {dL—dV) :: sin (a +a) : sin (*'—«),

^ tangi(JL-^LO = ^-î^^^^^.^"l^

tang A = sin dh tang a = sin JL' tang a'j L = B-hiiL = B'— rfL'.

Si B'> B y la latitude sera boréale; si B >B^, elle sera australe.

Ces formules vous feront connaître la longitude et la latitude de ré toile qui se levant avec B se couche avec B^ Voulez*vous connaître ' cette étoile par son ascension droite et sa déclinaison ? Faites

cosû»tangB=:tangA, sinû)sinB = sin cT, sin «fA :=: tang cT tang H, cos £» tang B'= tang A'^ sin /» sin B'= sin ^'^ sin </A = tang J^' tang H ,

AH-JA=A'+rfA', A=A'H-rfA — rfyR,

.^ = 1 (A'+A) + -: (d/i'—dX) , tang D = sin djR cot H,

dAi = $A'—A) + i{dA'+d$i

jR, sera l'ascension droite et D la déclinaison de Tétoile cherchée. Soit h la hauteur du pôle de Fécliptique sur Thoriaon^

/i=90** — a, A'=90' — a', sin ^L= tang X tang A, sin ^L=tangA tang h\

On voit qu'il y a une grande analogie entre les^L et lesrfill;B=L — dL pourrait s'appeler la longitude oblique de Tcloile , comme yft — djR s'appelle l'ascension oblique ; r/L pourrait s'appeler diflereuce longiludinelle , comme dJR. difl'érence ascensionnelle.

Ot/VRAGES D^AUTOLYCUS. fyT

AppIî(pions-ces formules à Arclurus, c'est-à-dire cherclions l'éloile qui se levant avec B = 158"* 53' lo*" se couche avec B'= a35* i4'2o''.

taugâ».... 9.64517 siuHséc. ûi ♦••• 9.831:17

ces B — 9.96884 cos ^. . • 9.96608

tang^= — !i2*2i'6''.. 9.61401 cos%= 5r. 9.40 9.79735

— ç = 4-22.31. o B=233. 14.20 % — ^ = a= 73.50.40 B=i58.55.io

langûf... 9.64519 sinHséca... 9.85127 co* B' — 9-777o5 cos (p' 9.98555

tfDgip'sî:— i4''48'3a".» 9.42224 cos%'= 49** 2.20... 9.8166a

X' + ip'sA'ss 54.15. 5a

d = 73* So' 40^^ fit' = %l\.\^.So

«-f-ât' = 107.44-5Ô. ... Csîn... 0.02116

OL — a' = 39.16.5a.... sia 9.80148

i(B' — B) == 57.20.55.... tang.... 9.88251

i(iL'— ^L) = 26.55.55 tang 9.7o5i5

dV = 64. 14.1a B =: i58* 53' ïo"'

JL = 10.27. o JL = 10.27. a

iiL' = — 64.14.ÏO

(voyez ci-dessns , page 55 ) L = 169. o . lO

sîndl^ 9.25858 sîn ^L' 9*95455

langa 0.52870 tang <t'.... 9.83275

tang A = 9.78728 tang X O'?^?^^

A = 51*29' 52" (voyez page 55 ).

A est boréale , parce que B' > B.

ç et ^' sont négatifs comme cos B et cos B'.

Les f et les % sont toujours moindres que de 90*.

Cherchons rétoile par son ascension droite et sa déclinaison.

cosa..%. 9.96139 sin».... 9.C064Ô tangB = i58»33' 10"— 9.59429 sinB 9.565o6

langA = 160. 15.54 — 9-55558 sio J^ 5= 8* ag 46* 9- 16962

dX = 6.46.52 tangcT. .•. 9.17415

A — dA := i53.a7. 2 = A — i/A langH... 9.89801

êindA. . . • 9.07216

cosûû...* 9.96129 9.60646

tang B' = a53* i'4' 20'+ o . 1 2666 sin B' — 9 . goSy i

tangA'=: 250.45.45 0.08795 sinj^sz: — 18.53.17 9.51017 dA' =— i5.4i.45

A'+^A' = 2i5. 4. o = A + ^A tang «T' — 9.53420