CHAPITRE nL

Euclide.

il ous n^avons rencontré dans Autolycus aucun veslîge de la Trigonométrie, qui seule aurait pu lui donner la théorie complète et la solution précise des diverses questions qu'il a mises en théorèmes vagues et souvent obscurs. Nous trouverons dans Euclide des propositions d'un usage indispensable en Astronomie , mais aucune règle positive et usuelle pour la solution des triangles. Le premier Livre des Elémens renferme des théorèmes importans sur la nature des triangles ^ sur la somme de leurs angles , sur leur surfiice ^ et enfin la fameuse proposition du carré de l'hypoténuse, qui est le fondement de la doctrine des cordes et des sinus. On trouve dans le Livre second ces propositions remarquables :

Dans le triangle obtusangle ^ le carré du grand côté est égal à la somma des carrés des deux autres côtés plus deux fois le rectangle de l'un des côtés par le prolongement de ce même côté compris entre le sommet de Tangle obtus et la perpendiculaire abaissée du second côté sur le premier^ proposition qui en langage trigonométrique moderne s'exprime par réquation

C"* = C*4- C'»4- aC.C'cos(i8o-— A") = C*+ C»— aC.C cos A".

Dans le triangle acutangle , le carré du côté opposé à l'un des angles aigus est égal à la somme des carrés dès deux autres côtés moins deux fois le rectangle d'un des côtés sur lequel tombe la perpendiculaire , parle segment compris entre l'angle aigu et la perpendiculaire; propo* sition qui s'exprime encore par la même équation

C* =0+ C* — aCC cos A".

Toute la différence est que dans le premier cas Tangle A" est obtus , son cosinus négatif , et le double rectangle est additif, au lieu que dans le second, il reste soustractif. La formule moderne est bien plus générale, Hist. de VAsU anc. Tom. I. 7

5o ASTRONOMIE ANCIENNE.

puisqu'elle donne également le côté opposé à un des angles aigas dans le

triangle obiusangle ^ et sert de plus à trouver les angles par les coté^»

Les propositions d^Euclide ont encore Finconvénient de ne pas se prêter au calcul numérique; car elles ne donnent aucun moyen pour évaluer le segment C cos A".

Dans le troisième Livre on trouve ce théorème utile y que si deux cercles se touchent , soit intérieurement soit extérieurement , les deux centres et le point de contingence seront dans une même droite. On y trouve des notions indispensables sur les cordes , les tangentes , la mesure des angles , soit au centre soit à k xrirconférence ; enfin sur les segmens des cordes qui s'entrecoupeut. Sans ces diverses proposvtions y il serait impossible de calculer les Tables des cordes ou éç$ ainus^ des tangentes et des sécaïUes. Mais Eudide n'indique aucua de ces msages : an est ea droit de soupçonner quUl n'en avait jpâs la moindre idée.

Le quatrième traite des polygones inscrits ^u circonscrits au cerck, et cette théorie est fondamentale pour la Trigonométrie; jmais riea do tout cela n'^st encore une véritable Trigonométrie.

Le sixième expose la théorie des proportions sans k(pieUe la science du calcul serait trop bornée.

Le septième contient^ sur la similitude des triangles et des polygones en général ^ les théorèmes les plus féconds et les plus imporlans qui font Ja partie la plus utile et la plus indispensable de la science ma^ thématique.

Les Livres huit , neuf et dix ne sont que d'une utilité fopt médiocre^ et presque nulle pour TAstronomie.

Le onzième offre sur les plans ^ ies an^es plans et solides , et sur Isa solides , des propositions très-utiles , mais insuffisantes à la Trigonoxoé* trie sphérique. *

Le douzième livre n'y a presqu'aucun rapport.

On trouve dans le treizième des théories sur Thexagone , le pentagone et le décagone, dont les Grecs ont tiré bon parti pour le calcul des cordes»

Le reste de l'ouvrage ne traite que des solides réguliers inscriptibles à la sphère , et les deux derniers Livires passent pour être d*Hy psiclès , astronome d'Alexandrie dont nous aurons lieu de parler par la suite.

On ne voit donc aucune trace de trigonométrie dans Euclide boa plus que dans Autolycus. Les deux auteurs étaient presque contemporains , puisqu'ils vivaient Tun et Tautre trois cents ans avant J. C. £o

ÈVCLWR. Si

céderai Icf tbéorèmé» dTQcIide' ne sont que de pure spéculation ; ils donnent les moyens de mesurer quelques lignes et quelques surfaces ; ib peurent conduire à quelques solutions graphiques toujours très-imparfaites quand on ne sait pas y appliquer le calcul.

Ëuclidenousa laissé un ouvrage plus astronomique intitulé Phénomènes {<btttfOfiivcL). Ce livre est précieux comme monument historique et comme un dépôt qui doit être à peu près complet ^ des connaissances qu'on avait en Grèce à cette époque* Il est naturel de penser qu'Euclide aura lui-même ajouté à la masse de ces connaissances ^ et nous pourrons regarder comme postérieur à Tan — «5oo tout ce qui ne sera pas consigné dans le livre des Phénomènes. En Toici un extrait.

On voit que toutes les étoiles se lèvent invariablement aux mêmes points de l'horizon ; que celles qui se lèvent ensemble un jour de Tannée^ se [lèvent ensemble tous les autres jours; que celles qui se couchent ensemble, font toujours de même , et que dans leur mouvement elles conservent toujours les mêmes distances entr'elles ; c'est ce qui ne peut avoir lieu que pour les objets qui toiu*neBt par un mouvement circulaire y lorsque Tœil est placé au centre de la sphère qui se compose de tous ces cercles y ainsi qu'on le démontre dans FOptique. U £aiut donc Supposer que le mouvement des astres est circulaire ; qu'ils sont enchâssés dans une sphère solide , et que l'œil est à égale distance de tous les points de la périphérie sphérique.

On Toit au milieu y entre les Ourses y une étoile qui ne change point déplace, mais qui tourne dans le lieu où elle est fixée; et puisque cette étoile est toujours à égale distance d*une étoile quelconque parmi celles qui tournent autour d'elle, il Êiut en conclure que les étoiles décrivent des cercles parallèles qui ont cette étoile pour pôle.

Nons pourrions contester le fait de l'étoile placée exactement au pôle. Enclide s'exprime ici en géomètre qui n'a guère examiné le ciel ; mais admettes le fait , tous verrez dans tous ces raisonnemens une marche méthodique , claire et parfaitement géométrique.

Quelques étoiles ne se couchent ni ne se lèvent, leurs cercles sont trop élevés; ce sont celles qui sont placées entre le pôle et le cercle arctique. Leurs parallèles sont d'autant moindres qu'ils approchent plus du pôle. Le plus grand de ces cercles parallèles est le cercle arctique. Les étoiles qui sont Sur ce cercle , ne font que raser Thorizon.

On voit que tous les astres qui sont au-dessous de ce cercle et plus loin du pôle , se lèvent et se couchent , parce que leurs parallèles sont partie

5i ASTRONOMIE ANCIENNE-

au-dessus dé l'horizon y partie au-dessous ; les segmens v}«l>Ie$ sont pkl grands quand les cercles parallèles sont plus près de Farclique ; alors par une suite nécessaire, les segmens invisibles sont plus petits. On en juge sur ce que le tems que ces astres passent sous Fhorizon y est plus petit que celui qu'ils passent au-dessous. ( Ceci suppose une manière de diviser le tems, mais il n'est pas nécessaire qu'elle soit de la dernière précision.) A mesure que les parallèles s'éloignent du cercle arctique , le segment visible diminue, le segment invisible augmente.

Au milieu de ces parallèles, on en voit un dont les étoiles sont autant de téms au-dessus qu^au-dessous ; nous appelons ce cercle équinoxiaU Les astreis également éloignés de part et d'autre de Téquinoxial, ont les tçms égaux dans les segmens alternes, c'est-à-dire que les étoiles de l'un de ces cercles sont visibles autant de tems que les étoiles de l'autre sont invisibles , et réciproquement ; ensorte que les deux tems de chaque cercle font toujours une même somme.

Le zodiaque et la voie Lactée , qui sont des cercles obliques aux cercles parallèles , se coupent dans leurs circonférences , et une moitié de ces cercles est toujours au-dessus de l'horizon.

Ëuclide dit au-dessus de la Terre , comme Autoljcus.

En conséquence on doit supposer le monde sphérique. S'il était cy-^ lindrique ou conoïdique, les astres placés sur des cercles obliques qui coupent en deux également l'équinoxial , ne paraîtraient pas toujours faire leurs révolutions dans des demi-cercles égaux, mais seraient tantôt dans un segment plus grand et tantôt dans un segment plus petit ; car si un cône ou un cylindre est coupé par un plan non parallèle à sa base , la section est celle d'un cône oxygone, elle est semblable à un bouclier.

On voit que l'on avait déjà quelqu'idée des sections du cône et du cylindre; que les noms d'ellipse, de parabole et d'h3rperbQle n'avaient pas encore été imaginés. Il parait que ces noms sont dus à Apollonius. Avant ce géomètre, l'ellipse était la section du cône acutangle ^ la parabole la section du cône rectangle^ et Thyperbole la section du. cône obtusangle ou amblygone. (Y oyez ^rchimède.)

Or il est visible , continue Euclide j qu'une pareille section coupée par le milieu tant en long qu'en large , produit des segmens inégaux^ Les segmens seraient encore inégaux quand la section serait partagée au milieu par des lignes obliques : ce qu'on ne voit pas dans la mondé, c'est-à--dire dans lesmouvemens célestes. . Cette démonstration est d'un géomètre qui ayant bien conçu le mou*

JEtTCLIWS. ^ 53

téiAezrt spiierîqlie ^ tire de cette hypothèse des conséquences rigoureuses/ TJn astronome aurait établi la même conséquence sur des faits plus aisés à yérifier par Tobservation. Euclide raisonne fort bien^ mais ea homme qui n'est pas sorti de son cabinet^ qui donne des conséquences incontestables pour des faits observés , sans s'inquiéter si l'on avait de son tems des moyens assez précis pour faire avec succès les observations qu'il suppose.

Nous dirons donc que le monde est sphéroïde ( ce qui signifie chez les Grecs ^ d^une forme sphérique , et non pas comme chez les modernes , a peu près sphérîque ) ; qu'il fait sa révolution autour d'un axe dont Tuu des pôles est toujours visible et l'autre toujours invisible.

Nous appellerons horizon un plan passant par notre œil et qui coupera la sphère céleste et qui séparera l'hémisphère visible d'avec l'hémisphère invisible.

Euclide pourrait bien être l'auteur de cette dénomination , horizon , qui ne se trouve pas dans Autolycus,

Ce plan est celui d'un cercle; la section d'une sphère par un plan est toujours un cercle.

Nous appellerons méridien un cercle passant par les pôles, du monde ^ perpendiculairement à Thorizon. Nous appellerons tropiques deux cercles qui ont pour pôles les pôles du monde , et qui touchent le cercle oblique qui passe par le milieu du zodiaque.

Il est évident qu'JEuclide ne fait qu'énoncer des vérités reconnues longtems avant lui.

Le cercle oblique du zodiaque et l'équateur sont deux grands cercles ; ils se coupent en deux parties égales. Le commencement du Bélier et celui des Serres sont diamétralement opposés; leurs levers et leurs couchers sont conjugues ^ c'est-à-dire que l'un se lève quand l'autre se couche y et réciproquement. Entre ces deux points d'intersection , il y a six des douze signes qui divisent le zodiaque. L'équateur est donc partagé par le cercle oblique en deux demî*cercles ; et comme les deux points d'intersection ont la même vitesse tant au-dessus qu'au-dessous de la Terre ^ si la sphère tourne d'un mouvement égal autour de son axe^ tous les points de la sphère décriront dans le même tems des arcs semblables sur leurs parallèles. Des arcs semblables de 1-équateur tra* verseront l'horizon en des tems semblables. Les arcs au-dessous et ao-dessua de la Terre sont donc semblables; ils sont donc des demicercles : l'arc compris entré le couqhant et le. levant^ joint à l'arc centre

le levant et le ccmchani ^ font un cerdk entier^ Aîftsi VéqtMlmt et le zodiaque se c^ourpedt réciproquement en demi-^cercles ; ils sont donc des grands cercles. Mais Theriz^n et Féqnâtenr se coupent aussi eu deikii-cercles ; donc l'horizon est aussi un grand cercle.

"ï^outei éés notions sont pTus ancieiffles qn'Enelîde; elles n'âvaiefnt péùt-étre jamais éxé éf posées avdc cette clartë et cdite conciÂon; mais nous dirons encore que cette marche est d'un géomètre plus que d'un astronome.

Théorème I. La Terre est au milieu du monde ; elle en est comme le centre.

Soît(fig. 2) ABCThorizon^ D notre œil, C Torient , A roccîdent. 01)servez par une dioptre (règle garnie de pinnules) le Cancer qui se lève en C^ vous verrez par la mieme dioptre le Capricorne se coucber en A. A, D, C sont trois points en ligne droite , ADC sera le diamètre commun de l'borizon et du zodiaque. Déplacez la dioptre j observez le Lion se lever en B, vous verrez au même (ems le Verseau se coucher en Ë; £DB sera encore un diamètre commun de lliorizon et du zodiaque; ainsi D sera le centre de la sphère céleste. On fera le même raisonne-* ment de tout point de la Terre : la Terre est donc le centre de l'univers.

Ce sont là des observations de cabinet ^ et qui vont fort bien sur le papier. Euclide raisonne ici comme si le Cancer et le Capricorne, le Lion et le Verseau étaient des étoiles uniques placées diamétralement dans le cercle du milieu du zodiaque.

Théorhnie II. Dans une révolution du monde, tout cercle qui passe par les pôles sera deux fois perpendiculaire à l'horizon . Le zodiaque sera deuit fois perpendiculaire au méridien, mais jamais à Thorizon, tant que le p61e de l'horizon sera entre l'arctique et le tropique d'été. Si le pôle dé rhorizon est sur l'un des tropiques, le zodiaque sera une fois à chaque révolution perpendiculaire à l'horizon. Si le pôle de Thorizon est entre les tropiques, le zodiaque sera deux fois perpendiculaire à l'horizon.

La démonstration d'Euclide est fort longue ; on peut y suppléer comme il suit. Tout cercle qui passe par leS pôles du monde Se confondra deux fois avec le méridien, et sera par conséquent perpendiculaire à l'horizon , puisqu'il passe par le zénit.

Le zodiaque est perpendiculaire au colure des solstices. Quand le colure sera dans le méridien , le zodiaque sera perpendiculaire au méri<dien; ce qui arrivera deux fois par jour<

Jamais le iodl«|oe ne pa^^cum pur h mnt §i h T^it .^l Im^ des tropiques; ainsi jamais le zodiaque ne sera perpendiculaire à l'horizon*

Si le zéoit eaft sur le tr<^iquje quaud le point solçtieial pasiser^^ au ;c^Qit, le zodiaque sera popeadicuUke k YhofizéWi m^s il n'aura cçtjte positicHI qa'une £ûs par jour , car le tropique n'a qu'un point cqmmiiin aTec féclipdque. Mais si le zéfiài se troUTe sur un parallèle entre Jie^ deuic tropiques , ce parallèle coupera l'écliptique .en deux points ; le zodiaque sera donc deux fois perpendiculaire à l'horizon en un même jour*

Théorème III. Les étoiles qui se lèvent et se couchent, se lèvent toujours au même point de Thorizon , elles se eoûcfaent toujours ^n 4Raêrae point de l'horizon ^ mais ce point n'est pas le même que celui du lever,

Euclide y dans 5a démonstration ^ suppose que l'étoile eat toujours sur le même parallèle ^ qu'elle ne s'éloigne ni ne se rapproche du pôle. La precession des équinoxes lui était donc inconnue. Nous pourrions en inférer qu'^elle n'était connue de personne de «on tema j ce dont noua avons bien «d'autres preuves*

Théorème IV* Si plusieurs astres sont sur la circonférence d^un même grand cercle qui qe touche ni ne coupe le cercle arctique , ceux qui se lèvent les premiers se couchent aussi les premiers , ceux qui se Couchent les premiers s'étaient aussi levés les premiers. Théorème vrai ^ mais peu utile.

Théorème V. Si plusieurs astres sont sur un même grand cercle qui touche ou qui coupe le cercle iirctique , ceux qui seront plus près de rOurse (il veut dire du pôle) se lèvent les premiers et se couchent les derniers. Même remarque.

Théorème VI. Les astres qui sont dans le zodiaque^ et diamétralement opposés^ ont des levers et des couchers conjugués : il en est de mêipe des astres qui <sont diamétralement opposés dans l'équateur.

Théorème VII. Le zodiaque se lève et se couche dans tous les points silués entre les tropiques.^ quand l'arctique n'est pas plus grand que le tropique. Si 1^ point du lever est vers l'Ourse, le point du coucher est sers le midi^ et réciproquement ( car ces points sont diamétralement opposes).

Théorème J^III. XiCS $igqes du zodiaque se lèvent en des segmens divers de l'horizon ; c'est-à-dire que les arcs de Tborizon compris entre Je lever et le coucher, sont plus grands pour les points voisins de l'équa-^ teur, plus petits pour. ceux qui sont voisins des tropiques. (Four que et

56 ASTRONOMIE A]>fCIENNE.

diéorème soit vrai ^ il faut prendre celui des deux segmens qui est pbs petit que i8o*.)

Théorème IX^ Les demi-cercles du zodiaque qui ne commencent pas au même parallèle , ne se lèvent pas en des tems égaux. Celui qui suit le Cancer emploie le plus de tems , ceux qui viennent après en emploient moins ; celui qui suit le Capricorne en emploie moins que tous les autres; mais ceux qui commencent au même parallèle emploient le même tems.

Plus le commencement du demi*cercle est loin du pôle élevé , rooios de tems il est sur l'horizon^ moins de tems Tare de iSo"* met à traverser rhorizon.

Théorème X. Si deux demi-cercles du zodiaque emploient a se lever des tems inégaux et qu'ils aient une partie commune^ les arcs opposés se lèvent en des tems inégaux^ et il y aura entre les tems des différences égales pour les demi-cercles et les parties différentes. Si les demi-cercles qui se lèvent dans le même tems ont une partie commune , les parties qui sont différentes se lèveront aussi dans le même tems.

On peut dire que tous ces théorèmes sont la métaphysique de la Trigonométrie sphérique, et que la pratique n'en retire aucun fruit. On voit qu'Euclide avait réfléchi sur le mouvement diurne, mais qu'il ne lavait pas observé ; ses idées auraient pris un autre cours. Ou bien on peut dire que jusque-là on n'avait observé que des levers et des couchers ; que ces théorèmes sont les résultats d'observations qu'on ne savait pas encore calculer , et qu'Euclide a voulu démontrer qu'ils étaient des coroU laires du mouvement sphérique uniforme. Ainsi tout cela prouve la non** existence de la Trigonométrie.

Théoième XI. De deux arcs égaux et contraires du zodiaque y Tan em* ploie a se lever le tems que l'autre met à se coucher , et réciproquement.

Théorème XII. Dans le demi-cercle qui commence au Cancer, les arcs égaux se lèvent en tems inégaux. Ceux qui sont plus voisins du tropique emploient plus de tems; ceux qui sont plus éloignés en emploient moins ; ceux qui en emploient le moins de tous, sont ceux qui touchent aux équinoxes ; ceux qui sont également éloignés de l'équateur se lèvent et se couchent en des tems égaux.

Le Théorème XIII est tout semblable au XII*, en lisant Capricorne au lieu de Cancer.

Définition. On dit que l'hémisphère visible a changé ^ c'est-à-dire a été traçerséy quand le premier point d'un arc étant à l'horizon oriental , le