CHAPITRE IX

Archimède.

JxRCHiMEDE était contemporain d'Eratosthène , puisqu'il périt à Tâgf de 75 ans ^ à la prise de Syracuse qu'on rapporte à Tan 21a avant J. C II était donc né l'an — 287 ^ et l'on place en l'an — 276 la naissance .d'Eratosthène. Archimède est donc de onze ans plus ancien qu'Eratosthène qui ne mourut que i5 ou 16 ans après lui. Mais si notre attention s'est portée d'abord sur le dernier , c'est que nous avons pensé qu'il appartenait plus véritablement à TAstronomie^ tandis qu' Archimède est connu principalement comme géomètre , et dans ce genre^ comme Tun des plus grands génies qui aient jamais existé. Mais ici nous ne verrons en lui que l'astronome , et nous n'extrairons de ses ouvrages que ce qui nous concerne plus particulièrement. Archimède voyagea, dit-on, en Egypte pour s'instruire à l'école des prêtres du pays. On ne voit pas ce qu'il a pu apprendre d'eux ; mais il se lia d'amitié avec Conon , géomètre et astronome d'Alexandrie , à qui Callimaque attribue la constellation de la chevelure de Bérénice. C'est là qu'il imagina la vis qui porte encore son nom , et qui avait pour objet de dessécher les terrains après les inondations du Nil. 11 est encore le premier auteur du jla^ nétaire; c'est-à-dire de cette machine qui est destinée à représenter tous les mouvemens célestes.

Arte sjrracusid suspensus in aëre clauso S tôt globus y immensi parva figura poli ,

dit Ovide au sixième Livre des Fastes. Claudien entre dans ptua de détails:

Jura poli , reramque fidem ^ legesque deorum

JEcce Sjrracusius transiulit arte senex.

Jnclusus variis fomulatur spiritus astris ,

Et vipum ceriis moribus urget opus f

ARCtnMEDË. tôt

Percurrit proprium mentitus signifer annutn;

Et simulata nopo Cjrnthia mense redit : Jamque suum volvens audax Industria mundwn

Gaudet y et humanâ sidéra mente régit.

n est donc certain que ce planétaire exposait non- seulement led tnouyemens du Soleil et de la Lune , mats celui de la sphère étoiiée; Il n'est pas aussi clair que les planètes y fussent représentées; mais rien n'empêche de croire qu'Archimède a pu les y faire marcher suivant leurs mouvemens moyens à peu près connus. C'est ce que pourrait indiquer le vers

Inclusus variis famulatur spiritus astris*

C'est à lui qu'on doit le théorème du centre de gravité du triangle j €t à cette occasion Eutocius démontre que si des trois angles on mène des droites au milieu des trois côtés opposés^ elles se rencontreront toutes trois en un même point.

C^est Archimède qui trouva que la surface parabolique est les | du triangle inscrit ^ qui a même base et même hauteur (propos, ^j)^ théorème qui dut alors paraître bien étonnant j et dont les astronomes font un usage continuel dans les calculs des comètes.

Ses théorèmes de la sphère et du cylindre sont trop connus pour que nous ayons besoin de les rapporter ici ; mais nous ne pouvons omettre son rapport de la circonférence du cercle au diamètre déterminé par des polygones inscrits et circonscrits dont les côtés sont un nombre multiple de 4- Allant ainsi de polygone en polygone jusqu'à celui de 96 côtés , il démontre par ce dernier que si l'on prend le diamètre pour unité , la circonférence sera plus grande que 3 ff et moindre que 5 j^. Ajoutons que ses calculs développés par son commentateur Eutocius d'Ascalon^ sont les seuls restes que nous ayons aujourd'hui de TArithmétique usuelle des Grecs.

Dans son Traité des Conoïdes et des Sphéroïdes ^ il a prouvé que la surface de Fellipse est à celle du cercle circonscrit dans la raison du petit axe au grand axe y qui est aussi le diamètre du cercle^ proposition dont les astronomes se servent dans le problème de Kepler,

Son Arénaire , *flt/M/t/T)i^ , est un jeu de son génie , une espèce de récréation mathématique qui doit principalement intéresser les astro*

nomes. L'objet de ce Traité est de prouver^ contre ropinion vulgaire , que le nombre des grains de sable n*est pas innombrable. D'autres uu peu plus mathématiciens , avaient avancé que si ce nombre n'est pas intini , il est du moins impossible de Fexprimer en quantités connues ou qui aient des noms. Il entreprend de démontrer que les dénominations numériques qu'il a indiquées dans ses Livres à Zeuxippe , sont pins que suffisantes pour le nombre de grains de sable qui composeraient un: globe gros non-seulement comme la Terre y mais comme une sphère égale à celle du monde. On sait y dit*il , que suivant les astrologues y le monde e^t une sphère dont la Terre est le centre. C'est ce qu'Aristarque a réfuté dans le Livre qu'il a écrit contr'eux. 11 y prétend que le mondée est bien plus grand encore. Il y suppose que le Soleil est immobile aussi bien que les étoiles , et que la Terre décrit un cercle autour du Soleil ^ qui demeure inomobile au centre du monde , et que la sphère des fixes dont il occupe le centre , est tellement grande y que le cercle décrit par, la Terre est à cette sphère dans la même raison que le centre est à la surface de la sphère. Or il est évident, ajoute Archimède, que cela est impossible ; car le centre d'upe sphère n'a aucune étendue ; il ne peut donc être en aucun rapport avec la surface. Il faut supposer que Tintenlion d'Aristarque a été de dire que si nous prenons la Terre pour le centre du monde, le globe de la Terre sera à la sphère du monde dans la même raison que la sphère dont l'orbe annuel de la Terre est un grand cercle, \ la sphère des étoiles. C*est dans ce sens qu'il dispose ses démonstrations , et il parait qu'il entend que la sphère dans laquelle il fait tourner la Terre égale en grandeur celle que nous supposons aux étoiles. Il parait , par ces derniers mots , qu'Archimède n'adopte pas l'opinion d'Aristarque , quoiqu'il la prenne tout aussitôt pour base de ses calculs. Supposons , reprend-il , que la sphère des étoiles soit eu eflet telle que Ta dit Aristarque, il nous sera facile de démontrer que le nombre des grains de sable qui remplirait la capacité de cette sphère , pourra s'exprimer Ëicilement par les nombres dont nous avons donné l'idée.

Ceci posé, admettons d'abord que le périmètre de la Terre est de 3oo myriades de stades ou de Soooooo stades^ et non davantage. Vous n'Ignorez pas qu'on a tenté de prouver que ce périmètre est de 5o myriades seulement (Eratosthène ne lui donnait guère que:i5 myriades); pour moi, je le fais dix fois plus grand qu'il n'est réellement. Je suppose encore que le diamètre de la T<^rre est plus grand que celui de la Lune

ÂRCHIMÊDË. 16?

ttino!ii<Ire que celui dn Soleil ; et ces hypothèses sont setnUaLles à celles des astronomes plus anciens qu'Aristarque ; que le diamètre du Soleil est 3oo fois celui de la Lune , et pas davantage , quoique quelques Anciens , et Eudoxe entr'autres^ ne le fassent que g fois plus grand ; que Phidias ne le fasse que 12 fois celui de la Lune; et qu'Aristarque ait essayé de prouver qu'il est plus de 18 fois et moins que ao. Je supposerai qu'il soit 3oo fois celui de la Lune , pour qu'on ne puisse opposer aucune objection aux conséquences que je vais tirer de mes suppositions.

Je supposerai de plus que le diamètre du Soleil est plus grand que le côté du chiliagone ou polygone inscrit de 1000 côtés. Je sais qu'Aristarque le fait — (c'est-à-dire de 3o' ou d'un demi-degré ^ au lieu que

suivant la supposition d'Archimède^ il ne serait que =0. 36=2 1 '56').

(( J'ai cherché moi-même à déterminer ce diamètre au moyen d*un ins- » trument , ce qui n'est nullement aisé; car ni nos yeux ^ ni nos mains ^ )) ni aucun des moyens qu'il nous est possible d'employer^ n'ont la )) précision qu'il faudrait dans une pareille mesure. Ce n'est pas ici le }) lieu de m*étendre sur ce sujet. 11 me suffira^ pour prouver ce que }) j'avance^ de mesurer un angle qui ne soit pas plus grand que celui ï> qui enferme le diamètre apparent du Soleil , et qui ait son sommet D dans nos yeux (dans notre vue ) ; et de prendre ensuite un autre angle » qui ne soit pas moindre et qui ait également son sommet dans nos » yeux. Ayant donc dirigé une longue règle sur un plan horizontal^ » vers le point (de l'horizon ) où le Soleil devait se lever ^ et ayant }) placé un cylindre fait au tour, perpendiculairement à la règle, à }) l'instant même du lever, et ayant répété l'expérience à l'instant du j) coucher , lorsqu'on pouvait sans danger envisager le Soleil ; dans cet » état^ ayant placé la vue à Textrimité de la règle, je fis placer le a cyVindre de manière qu'il couvrit le Soleil tout entier, puis je le }> fis éloigner ^e manière qu'on aperçût un mince filet de lumière aux }) deux côtés du cylindre.

» Si notre vue n'était qu'un point, il suffirait de mener du lieu de }) lavue^ des lignes tangentes aux deux côtés du cylindre. L'angle compris jB entre ces lignes serait un peu iboindre que le diamètre du Soleil , » puisqu'on voyait un filet de part et d'autre ; mais comme nos jeux )} ne sont pas un point unique , j'ai pris un autre corps rond non moindre >) que la rue (il entend sans doute l'intervalle entre les deux prunelles).

io4 ASTRONOMIE ANCIENNE.

et plaçant ce corps à la place de la vue au bout de la règle , et menant des lignes tangentes aux deux corps dont l'un était cylindrique y j'ai pu obtenir l'angle qui comprend le diamètre du Soleil. Or voici comme on détermine le corps qui n'est pas moindre que la vue. Oa prend deux cylindres égaux , l'un blanc et l'autre noir. On les place en avant y le blanc plus loin^ l'autre tout près y de manière qu'il touche au visage de l'observateur. Si ces deux cylindres sont moindres que la vue (que Tespace entre les deux yeux), le cylindre voisin ne couvrira pas en entier le cylindre éloigné^ et l'on verra des deux cèles quelque partie blanche du cylindre éloigné. On pourra par divers essais y trouver des cylindres de grandeur telle y que l'un soit exactement caché par Tautre. On aura donc la mesure de notre vue, et un angle qui ne soit pas plus petit que le diamètre du Soleil. Ayant porté ensuite ces angles sur un quart de cercle, j'ai trouvé que l'un était

moins que -^ , et Tautre plus que — • Il est donc démontré que le

diamètre du Soleil n'est pas -^ , et qu'il est plus que -^. » (C'est-a-dire

qu'il n'est pas de 3a' 56% et qu'il est plus que 37' o'; ce qui fait près de 6' de l'une à l'autre limite. )

. Ce passage est extrêmement curieux \ d'abord il nous montre l'état de la science , tant pour l'observation que pour le calcul. 11 n'existait donc aucun instrument connu qu'Archimède crût susceptible de donner , à 4 ou 6 minutes près, le diamètre du Soleil, puisqu'il a cru nécessaire d'imaginer des moyens auxquels il s'est arrêté après un essai si peu satisfaisant. Nous voyons ensuite qu'il porte ses angles ou leurs cordes sur un quart de cercle. Il ne dit pas expressément que cet arc ait été divisé ; il suffit pour rendre ses expressions , de dire qu'ayant porté l'une des cordes 200 fois sur l'anc, il se trouva épuisé, et que lautre corde ne pouvait s'y placer que 164 fois. Il aurait pu de même employer les arcs de 60 , de 3o et même celui de SG"*, puisqu'on savait calculer le côté du décagone.

Quoi qu'il en soit, nous voyons qu'Archimède n'a pas les moyens de calculer l'angle au sommet d'un triangle isoscèle dont il connaît la base et les deux côtés égaux. Il est obligé de recourir à une opération graphique aussi incertaine que l'observation même. Ainsi la Trigonométrie, même reclillgne, était entièrement ignorée ; on n'avait pas encore eu l'idée de calculer les cordes des arcs du cercle. Nous verrons dans peu d'années Hipparque composer un long Traité sur les cordes ^ et

ARCHIMEDE, io5

faire des opérations très^eompliqaées qui supposeront Tune et Tautre Trigonométrie. Les moyens qu'Archimède emploie pour prouver ensuite qne le diamètre du Soleil est plus grand que le côlé du chiliagone^ sont da même genre que ceux d'Aristarque. La science était à cet égard restée «tationnaire. Au reste^ puisque Tare du chiliagone n'est pas de 22' et que le diamètre du Soleil surpasse 27^^ il était prouvé d avance qu'il surpassait le c6té du chiliagone.

Il en conclut que le diamètre du monde n'est pas dix mille fois celui de la Terre ; qu'il n'est pas de cent myriades de myriades de stades , ou de 100.0000.0000 stades. Il suppose qne loooo grains de sable ne scient pas plus grands qu'une graine de pavot , et que cette graine soit ^ de^oigt.

Il expose ensuite les unités de divers ordres qu'il a imaginées et qui forment la progression géométrique dont i et i. 0000.0000 sont les deux premiers termes. Ce second terme sera Tunite du second ordre. L'unité du troisième ordre serait suivie de i6«éros; celle du quatrième^ de s4 zéros. Il partage ainsi ses nombres en tranches de huit figures^ en commençant par la droite. ( Voyez dans notre Arithmétique des Grecs, ci-après, tout ce calcul d'Archimède,dont la conclusion est que le nombre des grains de sable qui tiendrait dans une sphère d'une capacité égale à celle du monde qu'il a supposé y ne serait encore com-* pQ5ée que d'unités des sept premiers ordres. Il n'a véritablement donné aucun nombre déterminé; il se borne à indiquer les rangs des divers chiffres dans la notation qu'il a imaginée, et qui n'était qu'un prolongement du système arithmétique des Grecs.

Voilà tout ce qui concerne l'Astronomie dans ce qui notis est resté des OEuvres d'Archimède. Nous verrons dans les écrits de Ptolémée qu'il avait observé ou au moins calculé quelques solstices pour en déduire la longueur de l'année. Nous pouvons ajouter que la manière dont U a calculé ses polygones inscrits et circonscrits , était un achemlnçiuent au calcul des cordes, imaginé depuis par Hîpparque ; mais, c'en est assez pour que Fhistorien de l'Astronomie soit autorisé à placer ce grand géomètre dans la liste de ceux qui ont le plus efficacement contribué aux progrès de la science.

Nous avons vu, pag. 76, qu'Aristarque donnait a* de diamètre à la. Xiun^. Nous venons de voir, pag. io5 , que ce diamètre n'est plus que de . Zo\ Il en faut conclure qu'Aristarque avait postérieurement reconnu son erreur^ en prenant des idées plus justes sur le système du monde. H Ut. de l'A si. anc. Tom. /. i4 *