Livre II

Proposition /. Quand le Soleil va du Cancer à Téquinoxe^ la sommé de la nuit et du jour va toujours diminuant.

Proposition II. Quand le Soleil est dans le quart qui commence aux Serres ^ la somme de la nuit et du jour va toujours en augmentant.

Proposition III. Quand le Soleil est dans le quart qui commence au Capricorne^ le jour et la nuitj pris ensemble, font une somme variable qui va diminuant.

Proposition IV f Lorsque le jSoleil est dans le quart qui commence 9u Bélier^ Iç jour et la nuit, pris ensemble, forment une somme va« fiable qui va en augmentant.

L'auteur suppose que le Soleil décrit toujours en a4^ on arc égal, ce qui est .en contradiction avec ce qu'il veut démontrer 3 car il vent prouver que les nychthémères sont variables.

Soit AB (fig. 8) cet arc diurne , et P le pâle. Dans un jour il pas* çera par l'horizon Sôo^'-f-AB. L'angle APB réglera le tems que l'arc AB mettra à traverser l'horizon. Cet angle sera donc d'autant plus ouvert qu^il ser^ plus près des pôles de l'équateur et moins oblique aux deux perdes de déclinaison. Or, du point nr au point dp, cet arc se rap« proche du pôle et devient moins oblique; de dp à «a., il s'en éloigne { de tdbr à ;(> , il se rapproche de l'autre pôle ; enfin de % à r , il s'en éloi^e, ce qui démoptre les quatre propositions de. Théodose, et les démontre à sa manière. Nous en donnerions la démonstration suivante;

J^e triangle nous donne, en feisimt (PB-r-PA)=j^,

gîn^» p— ■«^(iAB--^)8iD(iAB4>^^ ain*! AB-sin'y

* co«Dco8(D4-j^) cos^Dcosy— «inDcosDsby

3 in' j AP séc'D — siny tapg y aéc^D , ,|^ /sin* \ AB — sin y tangy^ .

i — taugD tangjf •— ec |^ 1 — tang D tang jT"/

JI est évident que «in» \ P augmentera avec séc* D, et par conséquent avec la déclinaison D. L'auteur suppose AB une quantité constante; sin*7 AB est plus grand que sin^ tangj^ , car AB est le mouvement diurne , tour jours plus que double du mouvement de déclinaison j".

Proposition F. Après le tropique d'été, le jour et la nufi, pw

THÉODOSE. ù4t

tn^emVbe , fontnne somme plus grande qu'après le isolslîce d^hiver^ quand on les compare en des points diamétralement opposés.

Proposition VI. Après le tropique d'été, le jour et la nuit , pris ensemble , fout .une somme égale à celle de la nuit et du jour diamé' tralemeol opposé.

A la démonstration de Théodpse y que nous ne connaissons que par la traduction latine, nous allons en substituer une qui sera plus claire et qui sera puisée dans des principes qui nous sont plus familiers.

Après le solstice^ d'été , le Soleil s*est levé aujourd'hui en A (fîg. 9) avec la distance polaire PA. Si PA était constant , le Soleil se le verait encore demain en A, après que (Sôo^^+l^g') auraient passé au méridien. Mais le mouYementea déclinaison fiiit que PA devient PB; le lever est retardé de APB ; entre deux levers il passera au méridien (SGo"" 59' + APB). Soit PA'=:i8o*~PA. Le Soleil se lèvera aujourd'hui en A'; mais comme ici le Soleil se rapproche du pôle ^ il se lèvera demain en B', et le lever sera accéléré de A'PB' ; il aura passé au méridien (560"* 59' — A'PB^) ; ainsi le premier jour et nuit surpassera le second de (APB + A'PB'). Les points A et A' de l'écliptique seront diamétralement opposés , nous aurons cptqparé le jotir-nuit ^n jour-nuit ; mais conservant le jour^nuit d'été, comparons^le au nmV-your d'hiver, el pour cela portons à l'occident le PA' \ le Soleil qui s'est couché en À' se couchera demain en B', parce que le Soleil se sera rapproché du pôle; le nuit-jour sera (56o* ^9'+ A'PB'), comme lejonr^nuit, en sup^ posant A'PB'=APB. .

Nous dén^OQtrons ainsi les propositions Y et YI , mais c'est dans des suppositions assez inexactes, celle de l'égalité des mouvemens et dWe darée de l'année qui ne renferme que des jours entiers.

Proposition VII. Les jours^-nuits sont égaux slux jours^nuits , à distances égales de l'équinoxe ^ après le solstice d'hiver çon^nae après celiai d'ét^..

Cela est évident^ dans les mêmes suppositions, PA' = ido"* — PA; mais le mouvement en déclinaison se fait dans le même seps avant et ,après Téquinoxe, et à même distance, soit que le Soleil soit dans les lignes aseeudans , soit qu'il se trouve dans les signes descendans. Les points ne sont plus diamétralement opposes.

Proposition VIII. Le jour-nuit sera égal au nuit jour ^ à distançef égales de l'un ou de Tautre tropique.

Yojez la démonstration de la proposition Ylf

Xlist. de VAst. Qnç. Tom, f. ' 5tc

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à4a ASTRONOMIE ANCIENNE.

Proposition TX. Si ïe èiolslic^ airiVe a mîdî bti ViKihtiit^ le fôÛMàii çera ë^al au huityour, jpris clâds lés demi-cercles bpfibiiés ^ c*ës(-k-îàtfe les jours kux joui's et tes ûmis^SLUx nuits ^ j^barv'ii tjtte 'ce isàît li 'î^me dislande au tropique cft âa toîstîce qui est ârrîVé^à ^ibldi dalitàîntih.

Proposition X. Dans aucun autre point le Soleil ne se UfôuVèrà in niérî^en au milieu dfu jour ou iàe la nuit (c'eSt«à-^fe que les irbs ^mi« diurnes seront iùégaùx entr^eui^ ïu^si liièti que les Wrcs sèiài-nbct'ûrtiés); ,mais lorsqu'après le solstice d^étë il traverse Tare entre lliorMOn orièiitâl et le méridien, c^estlàque le npîdi arrïVefa aussi ^l>ien qàe letùlduit. (L'arc sémi-diuriie oriental sera le plus grand ^ l'aire isemi-docttuHe oriental sera le plus grand.)

Proposition XL Lorsque le Soleil va du solstice dliivèr 'au1s<$Is[îie d^été 9 je milieu du jour sera dans Tare compris entité le âërîdièa et rhorizon occidçrital.

. Proposition XII. Si le solstice d'ëtë arrive Au lever du Solefl^ 1c milieu dû jiour ne ^era pas âù méridien . mais eto' deçà, eritrc VhùrkOn Oriental et le rdenijien.

. ' Proposition XIÏJ. Si lè^sblslicé'cTiétë arrÎTe aVànt le rniHeb Au ionr, le tûilièu uù jour hauriaf^asiiëa au méridien, mais à Torient du b^ ridîèn : il en «fa de'nii^me'àu hiîliea delahait

Proposition Xir, Si 'le solsOce «Télé arrive après le miU'éu îià joôr, .|e,ïnilîea du 'Jour aura lî'ëu entre )e be'ridiëa él Hiorizoa occidéotai : il en sera de mériôe du milieu de la 'nuit.

.. Proposition Xr. Si Tannée jetait d'un nombre complet de féTiJlttlwb "sôiaues, 'c*eist-a-di^^^ d*Hn nombi>e eiilter de njc^i/îé/nc/vj ,ctà%' année lés joui's revîend/aîent égaux aux joVirs, et les nuits" aux ùuUsjïôil pn nonabre qu'en d'urée. Lès sdlslicës, les levers etîés ébùcbéfsîeviëi- 'draîèni aux mêmes points de lliorizon et du cercle Béîîààùe ;'''tt ^nssi à 'ia line'hïe beui^e le S8léîl rèpàà'êrait jiai^ fes' iro^^iés et r^^Oxlk , Proposition XFI. Si l'année n'est pas d'un nombre complet de wib&rs au mendieri^ mais' Ju'lly^ ait â^p^^^ une'fraclîôn'de jour , le^ffiiirs et les nuiîs" seront' dilTéreris en durée,' daris^îes 'années conse'îrnâVés; ^m soïslïceé, ïW levers ,'îes couchers ne rèviendrbht' nî'aûx inéra'ès Wéf^ctfons ■ de fborîzon' et du ' cerbte beliàqué , 'et le Soleil ne ' rèpâslehi'^ * la méme.beurQ par les trôpi<}ûes et Téqùateur.

Proposition Xriliti nous suppôsoiis Tes rèWrs^u SoleilIsSclifbBes ou d'égale durée, ce qui est vrai sensiblement, 'et que râiineVsoit'd'ùa certain nombre de ces retours, tout reviendra de même cbaque innée

edj^meJI i| été 4ît cl *- dessus* Mais» s'il Q*<n ^at p4S ^im^et^qu^il y ait uae fraction de jour^ $i cette fractîoft est ^a mi^ios upe aliquole exacte,, oa ne verra pas. les mèni^s.phéaofxièiies. revêtais etxacteqienc ch;aqQe année, mab. seulement en un certaîa nombre 4'aqnéesy (tous. le|i quatre ans, par exemple, si la fraction es^ vn quart).

ProffOiSÀHBn. XVIli. Shcrani Métioi et Euctemon , Tannée i^oraîk^ à!t 565^ -^ , ainsi tout reviendra de mémeiauiboui de i^ana.

PropoMion XIX. Ifiai» si là fraction n'est pas une afiqnote de k ré«- Yolation , c'est-à-dire du jour , jamais on- ne verra revenir les phénor mènes exactement les'mémes^; jiimais leSoleil ne se retrouver^ exactement dans. la même position à-la-fois' fKmr tous les cercles de la sphèw«

Ces trois dernières proposi;(k>ifs* sont simples et bonnes^ a connaître ; dans le reste, on oq voit que de vaines* s«btiiUéa qui n cmt paa nàètne té xnérite de l'exactitude.

Tous ces théorèmet ne supposât qui'u^ connaissaneè fort^ovdinaiiae . d^ eoNlee du ta aqpllOTe;; ils ne. pen^vent senvir de fèn^emént à^ avemi caicni' ;, ils. sont te^p Mii%méa;dan» 1» Ibmule. cosF?» — tangJD tangH^ de Varc semi-diurne, qui en fournirait des démonstrations^fbrt sioipiiea et q^ doaneratl de-phi^ les- valeurs mmàénques' al^sofeaésv On serait tenté de croire que Théodose ignorait absolument* les principes de^ la tpigo« nonueCne sp^ériqno^ et qn'â n^avatt-arae^îi^ ccmBâissance des* oiiwagês d'Hipparqne.

On peut st^oscp que TWodose était un géomèti^ spéculatif qui peut* èlpe dédaîgQait>la pratique et se bornait à cberd^ des démonstrations^ géométriques , des remarques fiaitte» par les astronomes dont it avait lU , les omrpages. Ik avaîl pn augmenter le nombve de ces théorèmes^ déjà trouvés^ ou leur domier pKis de certitude et de généralité.

Quoi qn'il en soit , ses trois IVaites ont- peu fait pour Favanèeâienl; dè^ l'Astronomie; ils sont aujourd'hui presqn'inutiles même k l'histoire de la science. Ils ne prouvent guère que le goût des Grecâ pour les enbtâites métapbyÂques, qu'ils portaient jusqm dans la Géométrie.

M^spelaufi* ^aU apsfd cf^mpf^ sisLi^^P: IVi^Uf (palpai») dM VVtàsH. Cûs hisxoÊ j|<|nt i^duK^ vpjjsst T^k^^y pagp % Çp: gépna^tre vivait en Tan-JhJlo.; il nQus.re^t»'de. lui troi» Livres intitpléa Si^ériques. IIa «ont toat entiçjns. connoré^ i^ttXf l^n||;l«i|B|. un^: les tljtéQrègi,^ e^ soDt

a44 ASTRONOMIE ANCIENNE.

presque tous de pure spéculation et d'un usage pres<jue nul pour la pratique. Voici ceux qui peuTent avoir quelqu'ulilité.

Le triangle sphérîque est l'espacée compris entre trob arcs de grand cercle Bàr la aurface d'une sphère. Ces arcs sont toujours moindres que de i8o'. On les appelle c6tës du triangle.

Leâ angles sont ceux que forment entr'eux les c6tëSi Ussont^gaux quand les côtés sont également inclines.

Dans tout triangle spbérique qui a deux c6tés égaux ^ les deux an^es opposés k, ces côtés sont égaux.

Si deux angles sont égaux^ les côtés opposés le seront aussi.

Si deux triangles ont deux côtés égaux^' chacun à chacun^ et Fangle compris égal , les troisièmes côtés seront égaux.

Si les trois côtés sont égaux chacun à chacun^ les angles compris entre les arcs égaux sont égaux.

Deux côtés quelconques sont plus grands que le troisième.

Di^s. tout triangle spbérique, si on angle est plus grand qu'un antre^ . le côté opposé au plus grand angle sera plus grand <|U€ le côté oppoee au petit aogle.

Deux côtés étant ccmstans , le troisième côté augmentera avec Fan^ compris qui lui e$t opposé.

Dan/9 tout triangle , le plus grand côté eut opposé au plusgraud angle.

Dans tout triangle^ si deux côtés pris ensemble sont égaux à nue. demi-circonférence, et que l'on prolonge le troisième côté, l'angle e»* térieur sera égal à Faiigle intérieur sur le même côté* Si (AB+BC) (6g. lo) =: i8a-, on aura BDC = BCD =BAD.

Dans tout triangle spbérique, si vous prolonges un côté, Tangle exlé^ rieur sera moindre que la somnie des angles intérieurs ; d'où il résulte que 1^ trois angles d^un triangle valent toujours plus que 1 8o^

Dans Iç cas où AB-f-BÇ = 180% on a BCD = A; donc BCD < .

A+ABD; l'angle extérieur est moindre que la somme des intérieurs /

opposés. Prenons BC tel que AB+BC'> i8o*; C<Aj donc C'<A 4- ABC^ Le théorème est encore vrai

Si AB-|-BC> 180"* (fîg. 11), prolongez AB jusqu'en D, et menés dans l'angle extérieur BCD l'arc CE, tel que ECD=D=A; EGsssED; BE+EC=:BÈ4-EDari8o*— ÀBj donc BE^-EC < iSo*^; donc CBA=£BF est plus grand queTintérieur BCE; mais BCD=:B£E -^ECD = BCE-hl>=BGE + A,v donc BàD<CBA + A; donc BCDH-BCA<CBA+BCA+BAC, bu i8oV<B+A-|-C-

MÊNELAÛS. , ^45

^i deux triangles rectangles ont même bypotenufee et même angle, k )a base y ces triangles sont parfaitement égaux. Menelaus le démontre . synthéliqoement^ comme tout le reste. On petit le démoâtrer par la. superposition, si les deux triangles vont dans le même sens; dans tous les cas , c*est un corollaire nécessaire de nos formules modernes, ^

Si deux triangles ont les trois angles égaux chacun à chacun-, les côtés le seront aussi. Ce théorème était plus difficile à trouver, parce qa'il n'a pas son analogue dans les triangles reclilignes qu'on ne sup-- ^ pèse pas inscrits an même. cercle; mais en les supposant inscrits s(a même cercle, les triangles rectilignes seront égaux pqisqu'ils seront com^ posés de trois cordes égales. C'est ce qui a lieu pour les triangles sphé* riques qui sont toujours supposés à la surface d une même sphérie , el ^ dont les côtés sont exprimés en parties de la circonférence. Ce théorème est encore une suite nécessaire de nos formules pour trouver les^ côtés par les angles.

Si deux triangles ont des angles égaux chacun à chacun , et le troi-^ sième angle plus grand dans le premier que dans le second , le premier triangle, aura le troisième côté plus grand que le second triangle/

La formule cos C" r=: ^ — jt; coa coa — conduirait à ce théorème ^

mais elle le rend inutile..

Ce théorème a dans Menelaus deux autres parties moins utiles encore.

Dans tout triangle, si un angle droit ou obtus est compris entre deux . arcs moindres chacun que de 90% les deux autres seront aigus.

Notre formule cos C cos A' = cotC'siaC — sinA"cotA" donne > sîn A'cot A" = cot C" sinC — cos C cos A'r

Si A' :;= go"", nous aurons cot A'' ==: cot C sin C ; tout seraposilif sV C et C^ sont <90*,

Si A' > 90% le terme cos C cos A' deviendra positif. Sip A' co^ A'^ sera positif^ et par conséquent A'' aigu. . >

Ce théorème est donc un corollaire que la formule, nous dispense^ de connaître.

. Dans tout triangle sphérique ABC (fig. i ^) , si vous partagez en deux éga-*lement les côtés AB et BC par Tare ED.^ ED sera plus grand que .^AC. .

JTomettrai la preniière proposition du troisième Livre, que vuous i^-* trouverons dans Ptolémée. Elle était le fondement de la résolution destriangles sphériques chez les Anciens. 11 est très-probable que Menelaus^ et Ptolémée l'auront prise dans les livrés d*Hipparque. Il est certain

d'abord qi^^çllç n'^ppurtient pafs k Ptalémée^ puisque Menekns est pkf ancien ; e)Ie est U seigle 4u li vce de Meaelaus qui ait une utilité pra-, tique^ et Ton voit as^ez, pv tout le reste , que le but d^ Meoelaos n'était p^fr d'euseigii^c ^ résoudre des triangles; et mêipe en. rapporUutt cette proposition/, comme tant d'autres , il. ne dit paa un 9U>t dis Tusage qu'pn en peut fiiire. On trouve ensuite djeux théorèmes dont on. ùit encore un usage fréquent , et qt|i paraissent ici pour la preipière fols.

Si Ton partage en deux éga|emeqt Tangle au sommet, d'un tnaugle^ par un. arc qui forme sur le côté opposé deux segmens , les oordes d^ ces deux segn^ens seront entf 'elles comme. les. Qord^. dep c6tés ad^ar cens» qui renferment l'angle.

Si l'ou divise, deux angles d^up triangle en deux; également par des arcs y cea.arcs se rencontrecoot; et si^ des points de rencontre, on mène un arc au sommet du troipièna.e nngle , ce- tfoiaième ^ngle se trouvai: divisé en deux également , comme les deux premiers

Mjr/psiclès. 'T'4/iicAfbuç wfafoftXfOÇ.

giUiis per Jacobwn Menttdium^ Parisiis , Cramoisy , 1,657 , kàré^.

Hypsiclès d'Alexandrie vivait sous Ptolémée Pkyscou ^ vere Tau i45. avant J. C. Il fut élève. d'Isidore*le-Grand ; Qn a de luj les i4f ^ i$^ Livres qu'il a ajoutés aux Elémens d'Euclide , et qui ont. poqr oï^t I0 dodécaèdre et Ttcosaèdre , et ensuite l'opuscule des ascensions , quîj dans quelques exeraplairea , porte }e titre «ssez peu juste à'Astrommi^^

Ce Livre ne renferme que 0 propositions, et même les trois pne^' mièMS^ ne sont que des lemmes quî démontrent trois propriétés des. progressions arithmétiques; ainsi l'ouvrage ne consisjte yérit^blement ' queib trois propositions , dans lesquelles il donne une méthode pour calculer en combien de tems se lève chaque degré de l'écliptique ; cette métlKKfe n'est qu'approximative; elle aurait pu avoîi: quelqae mérite avant la découverte de la Trigonométrie Wbis l'auteur ét«it contemporain d'Hipparque à foFt peu près, a pu ignojejr la méthode qui donnais une solution rigoureuse du problème. •

H' suppose que, si les arcs sont en progresstAU vithmétîque, les tems qu'ils emploient à se lever doivent fprmer une pro^ssiou aritbméltque^ ce qui revieol 4 Stipposer que les différences SACondeasiiat

'HYPSICLÈS. -ytn

"linlTes^ âù lieu qu^eîfjci Sont très-s^ensîblés. "Sa mëfhoSe ite .^onpTrâil ft«ic servir tout au plus que pour interpoler et étendre à cfasrque liegré , 'par exemple, Une Î^Ate <:afoulée Yigdureusetnetrt pour Tes- écgrés, *èe ^dîx en dix. Voici cette méAiode*

Proposition I. ^i vous avez une suite de termes dont les diflerences soieni égales et en nombre pair, Texcès de 'la'smnme de laq^rtmière moitié sur \^ seconde y en commençant par les plus forts ^ sera proportionnel au carré ^de la moitié du nombre des termes.

Soi t la profgressioti ^triihmétique,

a y a^dy a'\^:id, a^i-^Sd «4-(2n— i)if ,

sn élant lé mnabre^es Mrmes, et i/ la différence eommune.

Le deifnier leJrme de la première moitié sera ^^ 4-^ (n—-*i).c/}.Jai

somme des férnïes de cette trioîtié [2a4-(/^— i)^/] -ftzina -H— H-^* La iottiikie fdt^e tsera \œ^a^{^n»*^\^d^^^'^sz'r^ Otez-ou la première moitié* • wt^-^d — -— .

La ' seconde ^moitié sefa. « ••• ^ ••»••• • ¥sa -+?|^*^ — — .

Uexcès'deia grande moitié sur la petite • • • 'I v/;^%

ou 7 fois la ilifierence ïnultipUée.par le carré deld mok^ du "nombre des lemies.

L'auteur démontre cette proposition d'une manière . plus ' longue el moins instructive; car elle* ne donne pas le Êicteur de>^^

Proposition II. Si le nombre total est impair, la sonime de tous les tefihès contiendra celui du milieu âutatit de fois qi^iF y atona- de- termes; mebi^èîtie ^ôotMu.

"Slftit (-fi>t'4^i )'^ '«i6ttAA*e'^^dos«lettees,)(^'+ ii4*^sjm2 Ja swHae de» extrêmes, la somme des termes sMa

{a -^Jmiy^gsnie «ërMe^dtj Mfifieu , (^:m-^ t ) <l^t4e «oddbreôfesrienms ^ c^st'lâ ^ô]^osît<6n^lIypë}dès.

Proposition III: Si le iioxid!>t€f^s teîttes'esr pair, Ur somme tolakptsi

i48 ASTRONOJVnE ANCIEPÏNE.

égale à celle des deux termes du milieu, multipliée par la moitié du Qooibre des termes. C'est encore une propriété connue.

Soit 2n le npmbre d^s termes^ la somme sera, par la propos. J ,

ana •+• :kn*d'^nd = ( aa + 2nd — d)n;

]es termes du milieu seront

a^(n''^i)d'\-a^ ndzn aa'j* (a/^-— i) d;s=^(2a'^ ^nd —

Voilà les trois lemmes ; le premier est lé seul qui ne soit pas dans tous les livres d'Arithmétique.

Proposition If^. Le zodiaque étant divisé en 36o* parties égales , que nous nonnrmerons degrés locaux j partageons de même cette circooference ou le tems qu'elle emploie à faire une révolution y en 56o parties de tems que nous nommerons degrés chroniques. Nous démontrerons , à Taide des lemmes précédons , que si l'on connaît pour un lieu donné de It Terre la proportion du jour le plus long au jour le plus court de Tannée, nous en déduirons le nomhre des degrés chroniques de chaqne nombre 4e degrés locaux. Ptolémée appelle tems les degrés chroniques.

Supposons le climat d'Egypte » dans lequel le plus long jour est au plus court comme 7 : 5 ; la demi--durée du plus long jour sera de 7 heures ; celle du plus court de 5 heures. Les 180*" de Técliptique qui passent dans le plus long jour répondront à -^ de SGo"" ou 7 . 5o =s 210 degrés jcbroniques; les autres 180* passent en -^.SGo^ssS^Sos i'5o degrés chroxriques. .Les moitiés de ces nombres seront io5^ et 75*; Vexcès de la première moitié sur la seconde sera de 3o^. Il y a six termes de So* chacun dans chaque moitié 4e Técliptique ; la moitié de ce nombre est 5^

dont le carré est 9 ; — s^ 3* ao : ce sera la différence constante^ à pe

que dit Hypsiclës. Dans le fait ^ elle diffère peu de la première des dH^ rences premières de la Table de Ptolémée ; mais 9n lieu d*étre constantCi elle varie depuis 5"" 4^' jusqu'à o*.5o^

De plus y au lieu de prendre six termes^ n*en prenons que trois; Ii somme ou U moitié du jour «era 4onc de io5^ dont le tiers est 55*; Face du milieu ^ celui du Lion ^ sera de 35* ; le suivant^ ou celui de h Vierge , 35 + 5* • ao s= 38"* . no ; le précédent sera de 35 •— 3 • ao = 5 1 * . 40'; le suivant 3i'4o' — 5* ao' = a8* 3o', le suivant a8*ao' — 3*ao'=a5*p j le deroi«r a5* — 5*ao'=:;2i*4o'. Nous aurons la Table sul^^nte,

HYPSICLE^.

Table I.

38*» ao 35. o 3i.4o a8.4o a5. o ai.40

DifF.

3*»ao'