aS • 45 . 69 . loi 8 • i4 . ao • a6 . 5a

€/ — 6 = n' — • an* -|- 1 doit avoir les différences des cubes.

On peut donc continuer à volonté^ si Ton ne vent que des solutions en nombres entiers.

' Nous aurons , par ce moyen y toutes les solutions dans ce système où n dépend àt a, car a doit être entier ; n = a + i sera doue aussi en entier.

Mais les valeurs de c ont des différences toujours croissantes; d les a de même ; ( d — c) y ( b — à) de même : c'est pis encore pour ah. On ne peut donc prendre pour donnée que a ou 1» ; le reste mènerait à trop de solutions impossibles en nombres entiers.

Ce problème n'est là que par hasard , car il n'est pas de Farithmétiqo^ indienne plus que de toute autre ; il est de l'arithmétique générale.

Voici encore un autre procédé que Planude donne en terminai}/ 5oa ouvrage. Il diffère du précédent en ce que net a sont indépeaibos l'un de l'autre ; ce qui augmente le nombre des solutions.

Prenez arbitrairement un nombre a; puis un nombre ("n -V- 1") ^9 si vous voulez que la seconde surface vaille n fois la première* Ce second nombre sera donc c = (/t-f"i)^-

Puis un troisième nombre d := n^a.

Puis un quatrième nombre b ^ n.{n-^ i) a.

Les périmètres seront donc égaux ^ et les surfaces dans le rapport de I : /z.

La solution limitée peut se ramener à la solution générale. Nous avions

ainsi, au lieu d'une seule arbitraire n y nous en introduirons deuX| n tla^ Nous aurons donc

bzzzn^—'n ^=zn(n* — i) s=s »(/i— i) (n + i) = »(»-|- i)a.

Les premières expressions étaient réellement identiques à ces dernières. Pour revenir des dernières aux premières, on rétablira la relation(/i— i )=a; les quatre termes renfermant a; a peut rester indéterminée arbitraire.

^? = (/i -!• I ) a croîtra comme na ; e sera 5^, 4^, 5a, etc. d = n^a ; il sera donc 4^ , ga , lôa, aSa , etc. b s=^n(n'4^ i)az=:(n^ ^n)a sera

6a y i2a , 2oa , 5oa , ^2a ; 56a , 7 ^a , etc» Diff. descoefficitos... 6 8 10 la i4 ^^^

Les périmètres seront (»• + n 4- i ) ^*

Les surfaces seront /i (;i + i ) a et /i*(/i4- i ) a».

7» ne peut être moindre que 2, car /i=i donne

^=33, a =s c, et d ssz ab.

Les périmètres seraient Sa, les surfaces 2a^ seraient égales , les deux

rectangles seraient identiques , on aurait dz= a et i = c.

Tout cela est exposé d'une autre manière; mais tout ce que nous venons de ^ire se trouve dans Planude^ ou s'en déduit avec j&cilité. Ces deux problèmes seraient ce qu*on trouverait de plus -curieux dans son ouvrage, sans lés mots xAt^ fvJhvç, selon les Indiens, qui se trouvent dans le titre, et paraissent décider une question qui parait encore don- 'teuse à quelques personnes ; mais nous croyons qu'elle va ê^tre décidée ^ar un ouvrage récemment traduit de l'indien , et dont pn verra l^ex* «trait dans le chapitre suivant.

BisL de VJsL anc. Tom. /» 63