CHAPITRE V

( La feuille précédente était imprimée depuis bien long-temi , lorsque riosti tut a refo ,

de la part du traducteur, Touvrage intitulé ) :

LilatH^ati or a freatîse on Arithmetic and Geometrf hj Bhascanr ^cimy^a y translatedfromihe original sanscrit bjr John Tajlor. M.D.BQmhaf, 1816^

il ous allons extraire de ee traite curieux tout ce qui peut £aîre nîAfca: Touvrage de Planudè^ et qui aura quelque rapport à rAstronomie et au questions que nous avons eu occasion de traiter.

On lit dans Tintroduction que Bhascara Acbarja^ auteur du traite^ était né à Bildur^ ville du Décan y Tan io56 de Saltvahna, ee qui réponit à Tan 1T14 de notre ère. Il composa ce livre ^ et lur donna le nom de sajille Lilawatij {)Our la consoler de ce qu'il a*avah pu la marier; il devait donc être âgé d'environ 40 ans; ainsi la date d«Liilawftti dett remonter entre Tan ii5o et »i6o'de notre ère.

Bhascara est encore auteur de plusieurs ouvrages. Les plus célèbres sont le Bîja Gannita et le Sîromani. Le premier est un traité d'Algèbre dont M. Edward Strachey a donné une notice qui est en partie une traduction littérale 9 le reste un simple extrait avec des notes.

Le Siromant est un traité d'Astronomie plus complet et plus huxuacan que le Sourya Siddhanta. Il est en grande réputation parmi /es asironomes de Décan, et c'est le seul dont ils fassent usage. Uest <U.V\sé eu deux par lies : le Gola Adya, qui traite de la sphéricité de la Terre, et le Gannrtta Adya, qui traite du cacul astrcmomique.

Le Lilawaliy si Ton considère le terne où il a été écrit, présente un système d'Arilhmétique.profond, régulier et bien Ué. U contient plusieurs proposîiions utiles de Géométrie et de Géodésie. H est le premier livre qu'étudient les astronomes oupIut6t les astrologues de lin de; car, dans ce pays, les deux professions sont inséparables, et en gëoénd la première n'est considérée que comme un accessoire.

Les règles sont écrites en vers, d'un style concis et elliptique, diss

LILAWATL 559

lequel on trouve au plus haut degré cette obscurité qui est la marque caractéristique des ouvrages sanscrits de science et de philosophie.

L^empereur Acbar fît traduire ce livre en persan en i5Sj , par Fyzy. Une copie de cette version a été remise k M. Taylor^ par MuUaFiroz^ savant parsis , qui a hit une étude particulière du système astronomique des Arabes. La traduction de Fy zy est souvent très-obscure ; on y remarque des omissions considérables, particulièrement à la fin del'Arith* métique et dans les opérations géamétriquea qui précèdent le chapitre des cercles.

11 a pareillement omis les chapitres des problèmes indéterminés et des permutations. Le style est diffus ^ et fait penser queFyzy n'a fait qu'écrire sQÙs la dictée les paraphrases qui lui étaient faites par les savans du pays^ <]u'il dit avoir consultés.

M. Taylor a vu chez M. Erskine une traduction de ce même traité^ en langue murwar* Elle parait &ite pour l'usage des prêtres du Jaina qui professent l'Astrologie. La ressemblance du sanscrit et du murwari fait <}ue la traduction est plus concise, et qu'on y trouve en plus grand nombre les termes technique^ de l'original. Il y a cependant aussi des onodssions importantes^ telles que celles des problèmes indéterminés et des permutations.

L'objet de M. Taylor, en donnant cette traduction, a été de fournir des docuniens authentiques sqr les connaissances mathématiques des Indiens au douzième siècle, et de montrer leurs principes et leurs manières d'opérer, qui pourront rendre un peu douteuses leurs prétentions au titre d'inventeurs en matière de science. Cette traduction a été long-tems de-* 6Srée. M. Burrow ne put l'achever; M. Taylor croit qu'il n'aurait pas été plus heureux, sans le secours de trois commentaires qu'il a su se procurer. Il avait en outre trois copies de l'original. La plus anfciienpe ^^st de l'an 1675; c'est celle qui a servi k la traduction; elle a depuis 'ef emportée ^n Angleterre et déposée k la bibliothèque de la Compagnie des Indes.' Les règles et les exemples se trouvent en entier dans deux des trois commentaires; ensorte que M. Taylor avait cinq copies de l'ouvrage; elles €ont d'une conformité remarquable. Il a cru inutile de traduire les préceptes en Algèbre européenne , parce que les notes tirées des Commentaires sont assez claires, et que son objet principal était de montrer la xnarche et les pensées de Fauteur indien.

Les deux livres du Rutacha ou des problèmes indéterminés et des permutations, sont plus obscurs enoore que les précédens«

Les Indiens opèrent sur un tableaa de 12 ponces de long sur 8 de large} Un fond blanc est formé ayec nne poussière de pipe ; on le recoui^re d'un sable rouge; les chiffres sont tracés avec un style de bois q«i, déplaçant le sable rouge ^ laisse voir le fond blanc. En passant le doigl sur le sable rouge ^ on efface ce qui est écrit ^ et Ton peut recommencer une autre opération. D'ailleurs^ comme l'espace est borné et les caractères nécessairement grands , on est obligé d'effacer à mesure qu'on avance , pour gagner de la place.

Les Indiens font l'addition en commençant parla droite, comme Dons; mais ils ont^ pour commencer par la gauche , une manière qui n'est pas trop incommode. M. Taylor dit qu'ils ignorent la preuve de 9, bien connue des Arabes y qui l'appelaient iarazu ou balance; cependant Planude emploie cette preuve dans les quatre opérations de l'Arithméàffue ; il la donne comme venant de l'Inde^ ainsi que tout le reste. Les Âr^^ ne sont pas une seule fois mentionnés dans son ouvrage*

La sousiraction se fait de deux manières exposées aussi dans Planade. A l'article de la multiplication^ il remarque 'qu'on n'y trouve poîat la Table de multiplication qu'on dit cependant avoir été apportée de l'Inde par Pythagore. Il explique cette apparente contradiction , en disant que le livre n'étant pas destiné aux enfans^ on a cru la Table inutile; il ajoute qu'on s'en sert aujourd'hui dans les écoles , ou même on en a de plus étendues.

Le texte donne cinq méthodes de multiplication^ les Commentaires en ajoutent deux autres; il y en a aussi plusieurs dans Planude , qui les expose avec plus de détails.

On ne voit dans le Lilawati aucun symbole pour indiquer Yaddiûon, ni la multiplication. Nous avons fait une remarque pareille^ mMÎs p/us étendue, en extrayant Planude. Suivant M. Taylor, un zérop/acé audessus d'un nombre signifie qu'il faut le retrancher. PlanciJe ne dVl xîeu de semblable.

Un xéro placé auprès d'une somme , signifie qu'elle a été payée y et que la ligne est annulée. C'est la manière des marchands marattes.

Les Indiens ignorent la méthode des barres pour séparer la somme d'avec les parties ajoutées^ eu le reste d'avec la somme soustraite; dans les fractions mêmes, on se contente de placer le numérateur au-dessus du dénominateur, sans aucun trait qui les sépare.

Après cet exposé sommaire des méthodes indiennes, le traducteur passe à celles des Arabes. 11 lea pi^end dans deux livres persans : ic

LtLAWATI. 541

Hisala-Hisal) et le Khalasat-ul-Hisab ; ce âont les deux plus anciens et les plus renommes.

Le Aisala-Hisab est un court traité d'Aritbmélique et de Géométrie, composé par Kazizadel-el-Rumi, surnommé Ali Kushchi, l'un des astronomes d'Ulug-Beg^."^

Le Khalasat-ul-Hisal) fut composé en araï>e par Baha^ud-din ^ né à fialbec en iByS, et mort à Hispahan en i655. M. Strachey en a donné un extrait dans le second volume des traités de Mathématiques de Hutton. M. Strachey dit que les Arabes ont quelque chose qui ressemble aux logarithmes ; mais ce n'est rien autre chose que la méthode des fonds substitués aux arudogues, que j'ai expliquée dans mon Arithmétique des Grecs-

Pour éviter de se servir de la Table de multiplication^ les Arabes ont quelques règles qu'on peut renfermer dans les formules suivantes : Soient mein deux nombres moindres chacun que 10, faites

pour les nombres entre 10 et 20 à multiplier par un nombre au-dessous de 10, soit /?i>io et /kC 10^

m/i = (m 4" ^ ■*" ïo) 10 "— (''' "^' lo) (10 — ri) < si les deux nombres sont entre 10 et 20^

(/ï-j-m— 10) 10+ (w — 10) (/w— io)='i07i4- I07W—- 100

+ mn «^ lo/î — • 10m + 100 = mn.

Pour multiplier m par 5, 5o, 5oo, 5ooo, etc., vous multiplierez {m par 10, 100, 1000, loooo^ etc.; si les deux nombres sont, l'un entre 20 et 100^ et lautre entre 10 et 20^ soit l'un 10^*4- '^'^ ot l'autre lo-f-n ^

(1094-/71) (lo^-;^)==loo9 + 107^4- iom+/wn=z=io(io<7+<7/ï+/7i)+m7i. En général^

les Arabes eux-mêmes trouvent ces moyens plus curieux qu'utiles.

. Pour la multiplication, les Arabes forment une figure qu'ils appeUent shaback^el dont l'usage ressenoJble à celui des bâtons de TSéper.

mn

Ils forment un rectangle qu41s divisent verticalement en aotaiH de co« lonnes qu'il y a de cbiflfres dans le multiplicande; et honzonUtlemeot en autant de tranches qu'il y a de chiffres au multiplicateur. Ds ûrent ensai/e des diagonales qui partagent chacun des carrés en deux triangles éganx. Us placent les chiffres du multiplicande ^n tète de leurs colonnes -, ceux du multiplicateur à gauche de leurs tranches. Hs font toutes les nmlùp^* cations partielles en mettant les unités dans le triangle inféneut , les dixaines dans le triangle supérieur^ ensorte que chaque produit partiel réponde aux deux facteurs qui l'ont produit^ comme dans la Table de Pythagore; ils additionnent ensuite les tranches obliques entre chaque diagonale, reportant d'une tranche à l'autre les dixaines que la première produit. Cette méthode a passé dans l'Inde , et on J'enseigne dans les écoles; mais elle ne se trouve dans aucun livre sanscrit; les astronomes n'en font aucun usage^

L'arlicle de la division u'ofire rien de remarquable, qu'une longue %ore rectangulaire, divisée en colonnes verticales^ dans lesquelles ils encadrent l'opération, qui n'en est guère plus facile.

L'article qui concerne la racine carrée est fort ebseur ; il est ekir, am bien prolixe dans Planude. Le traducteur cherchant à deviner, oiti tire que le procédé détaillé par Théon, procédé qui avait déposer ?su( Arabes avec les écrits des Grecs.

L'alrticle de la racine cubique est encore plus long et plus cjbseur.

Les Arabes avaient un/e Arithmétique littérale, ainsi que les Grecs e( les Hébreux.

Les nombres arabes , quand ils sont écrits en lettres alpbabéti^ aes , sont écrits de droite à gauche ; mais quand ils sont exprintiés en chiffres, ils vont, comme chez nous, de gauche à droite; ce qui est une asseï forte présomption que la notation décimale , où les chiffres ont une valeur de position^ est étrangère chez les Arabes , et qu'elle a dû leur être cooh muniquée par \m autre peuple. (Qetjle remarc^ ^ été faite plus d^nne tiÀi

LÏLAWATt. è4i

M fesfe, les AraBes en conviennent ea^'^mémes ; il ne reste doâc aucun doute sur ce point.

Excepté pour le i^ le 5 et peut-<étre le 4^ les Arabes ont adopté les figures indiennes avec très-peu de changement dans la forme. Le traducteur ne donne pas les chiffres indiens ; on les voit dans Planude.

Les deux auteurs arabes commencent leur Géooiétrie par les définitions^ du point) de la ligne ^ de la Burfece^ du solide^ des angles droit, aigu et obtus, de la circonférence, dn rayon et du secteur. Tous deux font usage des lettres de l'alphabet dans leurs démonstrations , pour désigner les lignes, ce qui montre une grande affinité entre la Géométrie des Arabes et celle de Grecs, et ne ressemble en rien à celle du Lilawati, dans lequel on ne fait aucune attention aux angles. Toutes les opérations y sont faites d'après les relations entre les trois côtés du triangle rectangle. Il est à remarquer que les Arabes nomment Hindasi ou Arithmédque indienne, l'Arithmétique où les chiffres ont une valeur de position. Cette idée heureuse^ qui paraît due aux Indiens, peut devenir le sujet d'une recherche intéressante. Les Indiens sont-ils en effet les auteurs de cette notation, ou Tont-ils reçue d'un peuple plus avancé dans la science du calcul? Nous penserions que Tidée est tellement simple , qu'elfe a pu venir à des ignorans plus aisément encore qu'à des savans. Dans toutes les langues^ quand on dit 967 , ou 9 cent, cinq dfxaines et 7 unités ^ et qu'où; veut écrire ce nombre, l'idée la plus naturelle est d'employer 9> 5, 7, que les mots 9 cent, cinquante et 7 semblent appeler. ï^lus un peuple sera ignorant , moins il aura de signes pour exprimer ses idées, plus il sera porté à la notation indienne. Ce moyen ne paratt-il pas plus aisé à trouver que celui d'employer quatre caractères différens^ pour etprimer 5555, comme faisaient les Grecs. Dans la manière indienne, on n^écrit que les racines cimi de cinq mille, de 5 cents, de 5 dizaines et de 5 unités; la position rend inutile la différence de terminaison et tout mot additionnel. 11 nous paraîtrait donc superflu de chercher un peuple plus savant qui ait pu instruire les Indiens. M. Taylor pense qu'il faudrait considérer l'état de la science mathématique ehes les peuples voisins, qui, par leur religion et leur philosophie ^ paraîtraient avoir eu de grandes communications avec l'Inde. Mais il faut observer que si l'Arithmétique de position n'est pas originaire de l'Inde, elle doit au moins y. avoir existé de tems immémorial ; car on ne trouve , chez ce peuple , aucune trace d'une notation alphabétique, telle que celle des Hébreux , des Grecs et des Arabes. Plusieurs siècles se sont écoulés avant que la notation indienne ait péné-

tré chez les Arabes, et ail été par eux introduite en Europe. Mais, m en Europe y ni en Arabie , elle n'a fait disparaître les traces de la notatioa littérale. Les Européens et les Arabes emploient encore occasionnellement Jes lettres; et chez ces derniers, aussi bien que chez les Orientaux, qui ont adopté leurs sciences^ on considère comme une manière élé*gante de marquer la date d'un événement, celle d'employer un mot dont les lettres, considérées comme chiffres, soient propres à composer la date demandée. On ne voit aucun indien qui connaisse cet usage des lettres, à moins qu'il ne Tait appris dyn musulman. On ne trouve rien de ce genre dans aucun livre sanscrit, ni dans aucun livre écrit dans aucune des langues du pays. On y emploie les figures de différens objets , pour représenter des nombres , mais les lettres jamais.

Les extraits que M. Strachey a faits du Bija Gannila, et cette lraàiiic\lon du Lilawati , offrent sans contredit des renseignemens précieux sur ïélkl des Mathématiques chez les Indiens. Us ne donnent cependant qu'une idée imparfaite du sujet. Au reste, on ne trouve rien de mieux dans aucun autre livre du pays.

On dit que les Chinois ont des traités d'Arithmétique et de Géométrie; mais comme on n*en a publié ni extrait, ni traduction, nous ignorons jusqu'où s'étendait leur science. Toutes leurs opérations arithmétiques se font par le moyen mécanique du Swanpan..On ne trouveçhez eux aucun vestige d'Algèbre; et quoiqu'ils prétendent être très-habiles en Astronomie, il est reconnu , par les meilleurs écrivains chinois , qu'ils sont ineapaJS»les de calculer une éclipse avec quelque précision. Il en résulte que les Chinois, en Mathématiques , sont eneore bien moins avancés que les Indiens.

Quant à l'opinion mise en avant par des hommes d'un mérite émûifflt, que les premières découvertes en Mathématiques sont sorties deJkbxoX.^ Asie, nous dirons seulement que dans tout ce qu'on a pu nous apçveiidre des vastes régions du Tbibet, rien n'appuie le moins du monde ceWe conjecture; d'où il faut conclure que jusqu'au moment où l'on a^ura découvert dans l'Orient des livres d'une antiquité plus grande que celle du Lilawati et du Bi ja Gannita, et qui contiennent un système d'Arithmétique ou d'Algèbre aussi étendu et aussi complet, il faudra laisser aux Indiens l*hoiineur d'avoir découvert la notation arithmétique la plus simple et la plus commode qu'on put imaginer , et confesser qu'it l'aide de cette invention merveilleuse, ils ont fait dans la science du calcul, aix mmnsdepiÀ 700 ans, des progrès bien supérieurs à ceux d'aucun cintre peuple de YAàt

L^s savans d'Europe sont perwadés que les Indiens n^entendent pb

LILAWATI. 545

rien aux démonstrations des règles qu'ils suivent dans leurs calculs ; on en conclut qu'ils n'en sont pas les inventeurs , ou que les Mathématiques ont dégénéré chez eux au point qu'ils n'ont plus aucune idée des principes fondamentaux de ces pratiques qu'ils ont reçues de leurs ancêtres.

Sans enlrer dans la discussion de cette opinion (ou de cette erreur), M. Taylor nous apprend qu'il a en sa possession un livre intitulé Udahama, qui contient les démonstrations des règles du Lilawati. Ces démonstrations sont une assez bonne preuve de ce qui lui a été certifié d'ailleurs^ que toute cette Géométrie est fondée sur l'Algèbre > et que les Indiens n'ont jamais rien connu des méthodes des Grecs.

Au reste ^ il parait que depuis 200 ans la science mathématique et astronomique a toujours été en déclinant chez les Indiens. Les astrouomels de l'âge présent sont profondément ignorans en Mathématiques; ils ne considèrent pas TAstronomie comme science, ils se consacrent eptièrement à l'étude de l'Astrologie, et n'ont d'autre ambition que celle de devenir capables de dresser un thème de naissance, de déterminer l'heure favorable pour un mariage ^ et de pouvoir pratiquer les cérémonies en usage dans le pays, ^

A Poona , que Ton peut regarder comme le principal établissement des Bramines, il y a tout au plus dix ou douze personnes qui entendent le Lilawati ou le Bija Gannita; et quoiqu^il y ait plusieurs astronomes de profession à Bombay , M. Taylor n'en- a pas trouvé un seul qui en» tendit une page du Lila^rati.

Chez les Brames, la dénomination de savant n*est guère donnée qu'aux grammairiens, aux métaphysiciens et aux théologiens ; et tous ces pré<^ tendus savans s'occupent exclusivement de subtilités qui prouvent leur ignorance entière de toute autre chose. L'Astronomie en particulier, pai: la riùson qu'elle s'occupe d'objets trop grossiers et trop matériels, leur parait indigne de leur attention, sinon en ce qui peut leur servir à pénétrer les desseins du ciel, c'est-à-dire à prévoir l'avenir. Parmi ceux mêmes qui se livrent à l'étude de l'Astronomie et des Mathématiques, il n'y en a aucun qui soit informé de ce qu'en ont écrit les véritables savans ; peu même ont lu le Lilavrati; ils sont dans la persuasion que quiconque lirait ce livre jusqu'à la fin , serait condamné à la perte de sçs ùcultés mentales , ou tout au moins à une perpétuelle pauvreté.

Nous allons transcrire quelques passages du Siddhanta Siromani , qui sont curieux p^reux^mêmes, et qui nous montreront combien l'opinion des savans diffère de l'absurde doqtrine des Pouranas.

Hi^tn de ÏAsU anç. Tom. /. 69

546 ASTRONOMIE ANCaEPÎNE.

Ce globe cMiposé de terre , d*«ir^ d'eau , d'espace et de fen, elqui est entouré de planètes , est ferme au milieu de l'espace , par sa propre puissance et sans aucun support. Si le monde avait besoin d'un support matériel , ce support en exigerait un autre y et ainsi de suite. H fsiudraît toujours finir par supposer une chose qui se soutint d'elle-même; et pourquoi cette cbose ne serait-elle pas la Terre, qui est une des boit formes visibles de la Divinité ?

La Terre a un pouvoir attractif qui dirige vers elle tout corps pesant qui se trouve dans l'air, et qui fait que ce corps parait tomber. Mais où pourrait tomber la Terre, qui n'est environnée que deTespace?

Les Boudhistes supposent que la Terre tombe contimieUemeYA» sans que nous puissions nous en apercevoir; ils imaginent qu'il y adeaxScH Icils , deux Lunes , deux zodiaques qui se lèvent alternativement

Si la Terre parait plane , c'est que la centième partie d'un cercle n'a pas une courbure bien sensible, et que la vue de l'homme ne s*étend qu'à un espace médiocre.

La circonférence de la Terre est de 49^7 yojanas; le diamètre est de i58i i^.

Tel est en abrégé le discours préliminaire de M. Taylor; passons à la traduction du Traité d'Arithmétique et de Géométrie.

Le Lilawati commence par des Tables des monnaies, des poids, des mesures de terre, des mesures de grains, de celles du tems, et des divisions du zodiaque.

On trouve ensuite ce principe fondamental : les nombres ont des valeurs croissant en proportion décuple , suivant la place qu'ils occupent*

Après quoi l'auteur donne les noms indiens des 17 premières puif^ sauces de 10.

Aux articles de l'addition et de la soustraction, on ne voit /nra qui Vke soit beaucoup plus déuillé dans le Traité de Planude.

A celui de la multiplication , on trouve quelques pratiques ^TÛculières ; on y décompose le multiplicateur en plusieurs parties. Ainsi, au lieu de multiplier par 1:2, on multipliera par 4» et le produit par trois; ou bien par 8 et puis par 4> et l'on fait la somme des deux produits; ou enfin par 20 et par 8, et l'on prend la différence des deux produits.

Pour les méthodes réelles, ce sont celles de Planude, et conséqueuH ment les nôtres.

Pour la division, on réduit le dividende et le diviseur, eu les divisaol par le £atcteur commun , quand ils en ont un.

LILAWATI. 547

Pour la formation da carré , les lùdiens ont quelques pratiques qui dé-rÎTent toutes de la formule {a + by = a' + aab + **.

L'extraction de la racine carrée se fait par le procédé de Tbéon^ qui est aussi le nôtre.

Pour la racine cubique , les Indiens ont une règle analogue tirée de la formule (a-^-'by. Tous les préceptes sont tellement concis ^ que Fou conçoit très-bien que peu de commençans puissent les entendre.

Au chapitre des fractions , rien qui ne soit dans Planude et partout.

Effets du zéro. On voit dans Fintroductîon que le mot shunjra signifie cercle^ zéro, vide; les Arabes ont traduit ce mot par celui des^Jr, qui signifie vide ou rien.

Nous avons vu dans Planude que le zéro s^appelle plus ordinairement

le rien. On trouve aussi ce mot dans Théon.

Il • • •

o+/ï=n} o*=o; -n'a pas d'autre nom que n divisé par zéro. Le

commentateur ajoate que, par celte phrase^ il ùaatl entendre que le quotient est infini.

On voit ensuite une règle qui s'écrirait algébriquement y

on ^a?.5 = |jp=65, ou ;r=-^ — ssa.j; les Indiens résolvent cette

équation p»r une fausse position; d'où l'on pourrait conclure que les Indiens ont bien des pratiques qui ressemblent à l'Algèbre, mais qu'ils n'ont point de notation algébrique.

Le chapitre de V inversion est une indication fort obscure des procédés qui servent à dégager l'inconnue.

Nombre posé ; c'est la règle de fausse position.

Cette section se divise en plusieurs cas: on connaît une quantité, ou bien on connaît des restes ou des différences, ou une somme et une différence, on la différence des carrés; ce sont autant de petits problèmes algébriques, tels quW en propose aux commençans. L'auteur donne la règle qui fera trouver l'inconnue, mais il n'en donne pas l'expression algébrique.

MuUiplicaUur de la racine. C'eçt une règle qui j^prend à résoudre Féquatîon ar-f-ax^= J.

Règle de trois directe et inverse; règles de 5, 7, 9, 11 et règle d'ecbange. Ce ne sont que des règles de proportion plus ou moins complexes.

Quantités mêlées. Des quantités ont un rapport donne ^ on ne coulait que leur somme ; on montre à déterminer les quantités^

Du tems nécessaire pour remplir un étang. Ccst un des problèmes ée

Diophante.

jicheter et vendre. Questions d'échange plus ou moins composées. Calcul de l^on Les indiens jugent du degré de fia à la couleur. Règles

d'alliages.

Permutations. Rien que d'élémentaire et de bien connu.

Progressions. Sommation des nombres naturels et triangulaires.

Le D. Hulton^ qui a donné toutes ces règles dans ses Traites nij£&émalîqucs , nous dît qu'il est douteux que les règles de ces derniers chapitres fussent connues en Europe a la fin du i6* siècle.

Peletarius, dans son Algèbre, en i558, a donné une Table des catmet des cubes, et il a remarqué que la somme des cubes, en commençauX par I , est toujours un nombre carré dont la racine est la somme des ra*

cines des cubes ; c'est précisément la règle du Lilawati.

Seconde partie. Opérations géométriques^

Théorème de l'hypoténuse. Pour approcher de la racine d*an carré ion par&it, on le multiplie par. lo*", et quand la racine est ainsi trouvée, ou la divise par lo".

Soient A, hyC l'hypoténuse, là base et le côté d'un triangle rectangle^

Données. laconnuet.

b h et c problème indéterminée

(h+b)elc b

{h-^c) et A c

h — c tic h-^-eeih Toutes ces questié» Croror

k^b et 6 A . c et A vent leur solutha dans \r

^dr\<Ky==^Cjh^a=ut et i h tic théorème da cart4 de Yby^

6*{-c=a et A c et 6 poténuse^

£— -c=i/etA b

Dans tout triangle, la somme de deux côtés surpasse fou jours le 3« cite. Théorème des segmens de la base ; il est dans Ptolémée. Relations entre l'aire, la diagonale el la perpendiculaire d^nnilionihe ou d'un carré.r

-, , Sqâ7 cîrconf. ZiAiS

Des cercles^ -^V" ^= ii- .> == "7 *

»a5o diamètre loooo

Aire du cercle. Solidité de la sphère.

LtLÀWAll. 54^

liegle pour trouver le sious verse par la corde ou la tardé p9± le sinus Verse.

Règles pour trouver les c6tes du triangle ^ du carré , du pefntagone > elc^ ^ inscrits et réguliers.

Méthode approximative pour Calculer les cor^es^ Soit G la circonfé-s rence , A un arc (Quelconque , D le diamètre.

Prathama = (G— A) A=CA— A\

Soit D le £amétre = 2^0 > G =: 7 jl4> 7^ == 4^^9 presque ; les 18 arcs qui partagent également la circonférence seront des arcs de aô""^ ùiais eh parties de 754; ils seront en nombres entiers ^2^84^ 126, i68> aïo^ a5i , 2q5, 355, 877 , 4^9» 46^> 5o5, 545, 587, 628, 670 j 712 et 754.

Gette expression , suivant le ï). Hutton , doqne les cordes un peu trop grandes* Si l'arc est de 2"", Texcès sera 37 ; il sera -^ pour un arc de So"*. On ne voit pas trop où ils ont pris cette règle , de laquelle ils ont tiré unef pratique pour résoudre une équation du second degré. Voyez Hutton y ^•vol., pag. i58.

On trouve ensuite quelques règles approximatives de cubàttire^ sou9 les titres étangs , briques et pierres £un mur , coupes des bois et tas^ Ils supposent que , suivant la quantité du gf aiu , k hauteur du tas serk 5 "îT et TT de la circonférence.

Ombres d^un gnomon. On y trouve ce problème pins singulier que Vraiment utile : Etant donnée la différence de deux' ombres et celle de leuris hypoténuses , trouver les deux ombres.

On a les différences , il suffit de chercher les sommes ; on y parvient aisément. Soit à le gnomon , 2b la différence des^ ombres, 2c celle des hypoténuses , 2x la somme des deux ombres , 2jr somme des hypoténuses, x-f^fr et A7— ^6 seront les deux ombres , ^ -f- ^ et ^ — €? lesdeuxf hypoténuses.

Gette solution est identique k la règle indienne : àû lieu d^y einproyér l'analyse, on peut recourir à la Trigonométrie ; alors les deux ombrer seront les tangentes des distances zçni taies A et B ; les deux hypoténuses seront les sécantes des mâmes angles ; nous auraaa '

55o ASTRONOMIE ANCIENNE.

tangA-tangB=J='A^).

sécA— secB=c,.

tang*A+tang*B — afangAtangB=£*, séC A+ sec» B — a sec A sec B=sc', a + 3 taog A tang B — asëcAsécB=c*— &*,

I — sec A séc B + lang A tang B = ^^^— ,

cosAcosB— i + 8inAsinB=r— ^— j cosAcosB, I — cos(A--B)==asia«i(A— B) = (5l^l^ C05 AcosB,

cos A cos B = (^1=^ . £iîiMfbz:5>22îiS*d^ .

d'oà UDgi(A-B)«^i±4|^=^ (i)

i-.i I __eo8B— cosA. a«B { (A— g) «a | (A-fg)

ccwA cosB cosAcmB '" oaaAcwB '

cos A C08 B = g 2sini(A— B)co8i{ A— B)=isiDi(A— B)fflni(A+B)î sinHA4-B)=Q)cosKA-B) ....(,).

coonaicsant i (A + B) par la formale (a) , el ^ ( A— B) par la foramle (i) oa aura les deux distances , les deux ombres ou les deux tangentes et le» deux sécantes ou les deux hypoténuses ; on n'en aurait aucun besoinpoor connaître l'heure ; ouais < le» Indiens ne savaient pas calculer le triaiufe sphérique : d'ailleurs, on peut bien avoir la différence des deuxomin» , mais comment avoir celle des hypoténuses ? Ce problème n'ett donc qu'un amusement; les Indiens ne pouvaient chercher les ai^ an. sontxtt»t du gnomon, ni les at^les aux deux ombres.

A ce problème inuUle ils en ont attaché plusieurs autres qui ne sont pas plus intéressaps et qui sont plus faciles. Us supposent que l'ombre du gnomon est produite par unelampe placée derrière ii une certaine disUnce; ce sont des problèmes de triangles rectangles semblables dont les côlcs Inconnus se calculent par des règles de trois.

LILAWATI. 5$i

Troisième partie. Du Kuiuka, c'est-à-dire eh général des proilemes indé^

terminés du premier degréi,

Voîcî le premier* Trouver x tel que = e, c'esl-JhdTre un nombre

entier.

On trouve aisément x = — ^^ ; il s'agit donc de trouver un nombre

entier e qui, multiplié par c^ deviendra divisible exactement par a quand on aura retranché b du produit ec.

Il y a des kutuLas de plusieurs espèces : celui qu^on appelle ^y£re sert aux astronomes pour trouver le nombre de jours écoulés depuis le commencement du calpa.

On ne connaît que la fraction de seconde qui terminç le mouvement de la planète dans l'intervalle écoulé.

De cette fraction on remonte aux secondes, aux minutes , aux degrés, au nombre de révolutions et par conséquent au nombre de jours; on n^a pas même besoin de savoir la planète dont il s'agit ) le calcul la fera découvrir. On trouve en note un exemple du calcul ; je n'ai pas eu le cou-' rage de le vérifier. On voit que ce problème n'est pas d'une grande utilité, et^ dans tous les cas, il ne convient qu'à l'Astronomie indienne.