III) AB' ( A'" + B'" ) = BA'A

(IV) AA"B'" = A°B "( A -f B).

Pour comparer ces théorèmes rectilignes à ceux que Théon a démontrés par la propriété des triangles rectilignes semblables , je forme la figure i83, qui est celle de Théon, dont je conserve les lettres, en y ajoutant les lettres romaines de la figure 109 de mon Astronomie. Je traduis , selon cette nouvelle notation, les quatre théorèmes rectilignes de Théon, tome II, pag. 55g et 56o ; j'obtiens ainsi

(I) «y . <TÇ . St = d.t . . jeÇ ou ( A" + B") B" ( A' + B' ) = B* (A"-f-B" ) A', c'est ma première formule générale ;

(II) eÇ.«/3.y^=/3£.«J\y£ ou B' (A -f- B ) ( A" + B" ) = (A' + B')BA", c'est ma seconde formule générale ;

(III) «.yÇ./tf==^.*Ç.^ ou B"A"A = AT(A + B), c'est ma quatrième formule générale ;

(IV) y£ . . U — «y . Çe . ou A"A'B = (A'" -f- B" )B'A',

c'est ma troisième formule générale.

Ainsi l'identité est parfaite , ainsi que cela devait être.

Ptolémée et Théon sont partis des théorèmes rectilignes pour arriver aux théorèmes sphériques, et c'était la marche naturelle ; mais leurs démonstrations compliquées exigent des figures difficiles à tracer et à comprendre. Je suis parti de notre Trigonométrie sphérique pour démontrer , par un calcul fort simple, les quatre théorèmes sphériques des Grecs ; je transporte ces théorèmes aux triangles rectilignes , je dois retrouver les théorèmes rectilignes des Grecs , et je les retrouve en effet. Les démonstrations pénibles des Grecs sont directes ; ce sont de véritables démonstrations ; les miennes ne sont que des vérifications. Je prouve plus simplement, que les théorèmes des Grecs, tant sphériques que rectilignes, ne sont que des corollaires de nos méthodes modernes.

En général, ces formules renferment six quantités; cinq quelconques étant données , on en conclut toujours la sixième. Je n'ai pas cherché si dans cette forme elles pouvaient avoir quelque utilité. Les Grecs eux-mêmes les ont toujours Amplifiées , en supposant des angles droits et des côtés de qo°. L'identité de leurs formules avec les nôtres prouve à la fois et l'exactitude et les longueurs de leurs méthodes.

Page 217, ::DN:DG, lisez ::BDN;BDG

Page 633, ligne 8 en remontant, lisez l'arg. de latitude 23o°i9'o".

TABLE DES MATIÈRES