CHAPITRE V
Aristarque.
L'ordre des tems amène Aristarque dont il nous reste un ouvrage intitulé des Grandeurs et des Distances. 11 est fâcheux pour sa mémoire que ce livre nous ait été conservé en entier, et qu'il n'ait pas été réduit à un fragment assez court. D'après le témoignage d'Archimède , nous aurions de cet auteur une idée plus avantageuse. Wallis a publié les Grandeurs et les Distances dans le troisième volume de ses OEuvres , avec une traduction latine et des notes.
Aristarque pose d'abord en fait que la Lune reçoit sa lumière du Soleil , et que la Terre n'est qu'un point à l'égard de la sphère de la Lune.
La première partie était une chose reçue long-lems avant lui et qui n'est plus contestée. Quant à la seconde , si elle était vraie, il s'ensuivrait que la Lune n'aurait point de parallaxe. Hipparque a démontré que cette parallaxe est environ d'un degré. Il ajoute qu'à l'instant où la Lune est dichotome ou en quartier , nous sommes dans le plan du cercle qui sépare la partie éclairée de la partie obscure. Cette remarque curieuse fait honneur à Aristarque. Il ajoute qu'à l'instant de la dichotomie , l'angle à la Terre entre le Soleil et la Lune ne diffère d'un angle droit que de la trentième partie de l'angle droit, c'est-à-dire de 5J; ou , ce qui revient au même , que l'angle est de 87e. Il n'en donne aucune preuve , ce pourrait être le résultat d'une observation; mais elle eût été bien grossière , car cet angle surpasse 890 5o'. Il se serait donc trompé de près de 3e.
La cinquième proposition est que la largeur de l'ombre de la Terre est de deux demi-diamètres de la Lune. La demi-largeur est la somme des deux parallaxes moins le demi-diamètre du Soleil ; c'est-à-dire de 4»' environ; le diamètre est donc de 82'. Deux lunes ne feraient que 63 ou 64'.
La sixième est bien plus errone'e et surtout plus étonnante. La Lune v soutend la quinzième partie d'un signe, c'est-à-dire un angle de 2°. Il aurait été plus juste de dire la soixantième partie, c'est-à-dire un demidegré. On voit ce qu'était alors l'Astronomie même entre les mains d'un géomètre qui avait des idées et des connaissances assez étendues pour soumettre ses idées à une sorte de calcul.
De la proposition IV il suit qu'en prenant pour unité la distance de la Terre à la Lune , la distance de la Lune au Soleil serait la tangente de l'angle de 87°, et la distance de la Terre au Soleil en serait la sécante. Ainsi ces deux distances seraient 19,081 et 17,107 , et la distance de la Terre au Soleil serait dix-neuf fois la distance de la Lune à la Terre.
Les Grecs ne connaissaient ni les tangentes ni les sécantes des angles ; ils n'avaient pas même encore de Tables des cordes , et le calcul d'Arislarque le prouve. Ils ne savaient pas encore résoudre un triangle rectangle dont ils connaissaient les trois angles et un côté. Ils auraient pu le résoudre graphiquement avec la règle et le compas ; il parait même qu'Aristarque ne s'avisa pas de ce moyen ou qu'il ne voulut pas s'en contenter. Il nous dit plus loin de quelle manière il procéda pour trouver que la distance surpassait 18 et n'était pas de 20-, d'où il suit qu'elle ne devait pas différer considérablement de 19. Il pouvait arriver à ce même résultat par un moyeu bien plus simple , et que voici :
Soit ST ( fïg. 3) le diamètre du cercle circonscrit au triangle STL, l'angle en L appuyé sur ce diamètre sera droit; STL = 87°, TSL = 3';
l'angle au centre TCL sera de 6°; l'arc TL = 6° = — ; TC est la
corde de 6o° : en supposant les cordes proportionnelles aux arcs , on aurait TL — -~ du rayon, ou ~ du diamètre.
Mais il est évident que si l'on divise l'arc de 6o° en 10 parties égales, et qu'on en mène les cordes , les dix cordes seront plus grandes que le rayon ; donc TL > ^ TC et TL > ^ TS ; donc TS < 20 TL , et la distance du Soleil à la Terre est moindre que 20 fois la distance à la Lune.
En s'arrêtant à ce nombre , il aurait été un peu moins éloigné de la vérité.
Euclide avait donné un moyen de calculer ou du moins, de déterminer le côté du décagone ou la corde de 36°; mais TL > § corde 56%
ARISTARQUE. 77 Soit corde 36* = m . diamètre = m . TS , m sera connu, on aura TL > ' ni . MS et TS < — .
On aurait trouvé TS < 19,4 qui approche un peu plus de la vérité', en supposant l'angle de 870.
Remarquons pourtant que le moyen donné par Euclide pour trouver la corde de 36° , suppose la résolution d'une équation du second degré , et les Grecs ne savaient pas encore résoudre numériquement ce problème , nous n'en voyons du moins aucune preuve.
Dans la proposition XVI du Livre IV, Euclide enseigne à inscrire au cercle un polygone régulier de i5 côtés; l'angle au centre sera donc 36 o°
de -jg- = 24° ; le côté de ce polygone sera donc 2 sin 12° , TL = 6°;
donc la corde TL se placera quatre fois sur l'arc de ce polygone , et 4TL > corde du polygone.
4TL >» 2 sin 12° , 2TL > sin 120 rayon , 4TL > sin i2° diamètre, diam < -? — - < . - < iq,23q.
Ainsi plus nous diminuons la corde du polygone, plus nous diminuons le diamètre , plus nous approchons de la vérité. TL comparé à la corde de 1800 nous aurait donné TS < 3o ; comparé à la corde de go°, il aurait donné TS < 21 ; comparé à la corde de 6o°, il donne TS <2o; à la corde de 36% il donne TS < ig,4 ; à la corde de 24°, il nous donne TS < 19,24- Ou voit que plus nous avançons , moins les résultats diffèrent entr'eux : on est donc autorisé à estimer que TS diffère peu de 19. Nous savons aujourd'hui que 19 est trop faible; mais le difficile était alors de le prouver : Aristarque n'a pu le faire.
