Livre II

Proposition I. Quand le Soleil va du Cancer à l'équinoxe, la somme de la nuit et du jour va toujours diminuant.

Proposition II. Quand le Soleil est dans le quart qui commence aux Serres , la somme de la nuit et du jour va toujours en augmentant.

Proposition III. Quand le Soleil est dans le quart qui commence au Capricorne, le jour et la nuit, pris ensemble, font une somme variable qui va diminuant.

Proposition IV. Lorsque le Soleil est dans le quart qui commence au Bélier, le jour et la nuit, pris ensemble, forment une somme variable qui va en augmentant.

L'auteur suppose que le Soleil décrit toujours en 24* un arc égal, çe qui est en contradiction avec ce qu'il veut démontrer j car il veut prouver que les nychthéraères sont variables.

Soit AB (fig. 8) cet arc diurne, et P le pôle. Dans un jour il passera par l'horizon 36o°-f-AB. L'angle APB réglera le tems que l'arc AB mettra à traverser l'horizon. Cet angle sera donc d'autant plus ouvert qu'il sera plus près des pôles de l'équateur et moins oblique aux deux cercles de déclinaison. Or, du point v au point cet arc se rapproche du pôle et devient moins oblique; de g à ^u, il s'en éloigne ; de ^ à % t il se rapproche de l'autre pôle ; enfin de % à T , il s'en éloigne, ce qui démontre les quatre propositions de Théodose, et les démontre à sa manière. Nous en donnerions la démonstration suivante.

Le triangle nous donne, en faisant (PB — PA)=j/,J

sin* i P= sin( ■ AB— Jr>în<^AB+^)== sina* AB~ sin!y

1 cosDcos(D4- j') cos'Dcosy — sinDcoDsiny

I — tangD tangy """" \ 1 — tang D tang^' )'

J\ est évident que sin* ± P augmentera avec séc* D, et par conséquent avec la déclinaison D. L'auteur suppose AB une quantité constante; sina-j AB est plus grand que s'my tangj- , car AB est le mouvement diurne , toujours plus que double du mouvement de déclinaison y.

Proposition V. Après le tropique d'été, le jour et la nuit, pris

THÉODOSE. 24t ensemble, font une somme plus grande qu'après le solstice d'hiver, quand on les compare en des points diamétralement opposés.

Proposition VI. Après le tropique d'été, le jour et la nuit , pris ensemble, font une somme égale à celle de la nuit et du jour diamétralement opposé.

A la démonstration de Théodose , que nous ne connaissons que par la traduction latine, nous allons en substituer une qui sera plus claire et qui sera puisée dans des principes qui nous sont plus familiers.

Après le solstice d'été , le Soleil s'est levé aujourd'hui en A ( fig. g ) avec la distance polaire PA. Si PA était constant , le Soleil se lèverait encore demain en A, après que (36o0+'5c/) auraient passé au méridien. Mais le mouvement en déclinaison fait que PA devient PB; le lever est retardé de APB; entre deux levers il passera au méridien (36o° 59' -j-APB). Soit PA'=i8o° — PA. Le Soleil se lèvera aujourd'hui en A'; mais comme ici le Soleil se rapproche du pôle, il se lèvera demain en B', et le lever sera accéléré de A'PB' ; il aura passé au méridien (36o° 59' — A'PB'); ainsi le premier jour et nuit surpassera le second de (APB -f- A'PB'). Les points A et A' de l'écliptique seront diamétralement opposés , nous aurons comparé le jour-nuit au jour-nuit ; mais conservant le jour-nuit d'été, comparons-le au nuit-jour d'hiver, et pour cela portons à l'occident le PA' ; le Soleil qui s'est couché en A' se couchera demain en B', parce que le Soleil se sera rapproché du pôle; le nuit-jour sera (36o° $9'+ A'PB'), comme le jour-nuit , en supposant A'PB' = APB.

Nous démontrons ainsi les propositions V et VI, mais c'est dans des suppositions assez inexactes, celle de l'égalité des mouvemens et d'une durée de l'année qui ne renferme que des jours entiers.

Proposition VII. Les jours-nuits sont égaux aux jours-nuits , à distances égales de l'équinoxe , après le solstice d'hiver comme après celui d'été.

Cela est évident, dans les mêmes suppositions, PA' = 1800 — PA; mais le mouvement en déclinaison se fait dans le même sens avant et après Péquinoxe, et à même distance, soit que le Soleil soit dans les signes ascendans, soit qu'il se trouve dans les signes descendans. Les points ne sont plus diamétralement opposés.

Proposition VIII, Le jour-nuit sera égal au nuit-jour, à distances égales de l'un ou de l'autre tropique.

Voyez la démonstration de la proposition VI.

Hist. de l'Jst. anc, Tom. I. 3i

Proposition IX. Si le solstice arrive à midi ou à minuit, le jour-nuil sera égal au nuit-jour , pris dans les demi-cercles opposés , c'est-à-dire lés jours aux jours et les nuits aux nuits, pourvu que ce soit à même dislance du tropique et du solstice qui est arrivé à midi ou à minuit.

Proposition X. Dans aucun autre point le Soleil ne se trouvera au méridien au milieu du jour ou de la nuit (c'est-à-dire que les arcs semidiurnes seront inégaux entr'eux, aussi bien que les arcs semi-nocturnes); mais lorsqu'après le solstice d'été il traverse l'arc entre l'horizon oriental et le méridien, c'est là que le midi arrivera aussi bien que le minuit. ( L'arc semi-diurne oriental sera le plus grand , l'arc semi-nocturne oriental sera le plus grand.)

Proposition XI. Lorsque le Soleil va du solstice d'hiver au solstice d'été , le milieu du jour sera dans l'arc compris entre le méridien et l'horizoxi occidental.

Proposition XII. Si le solstice d'été arrive au lever du Soleil , le milieu du jour ne sera pas au méridien, mais en deçà, entre l'horizon oriental et le méridien.

Proposition XIII. Si le solstice d'été arrive avant le milieu du jour, le milieu du jour n'aura pas lieu au méridien , mais à l'orient du méridien : il en sera de même du milieu de la nuit.

Proposition XIV. Si le solstice d'été arrive après le milieu du jour, le milieu du jour aura lieu entre le méridien et l'horizon occidental : il en sera de même du milieu de la nuit.

Proposition XV. Si l'année était d'un nombre complet de révolutions solaires, c'est-à-dire d'un nombre entier de njchthémeres , chaque année les jours reviendraient égaux aux jours, et les nuits aux nuits, tant en nombre qu'en durée. Les solstices , les levers et les couchers reviendraient aux mêmes points de l'horizon et du cercle héliaque ; et aussi à la même heure le Soleil repasserait par les tropiques et l'équinoxial.

Proposition XVI. Si l'année n'est pas d'un nombre complet de retours au méridien, mais qu'il y ait de plus une fraction de jour, les jours et les nuits seront différens en durée, dans les années consécutives; les solstices, les levers, les couchers ne reviendront ni aux mêmes intersections de l'horizon et du cercle héliaque , et le Soleil ne repassera pas à la même heure par les tropiques et l'équaleur.

Proposition XVII. Si nous supposons les retours du Soleil isochrones ou d'égale durée, ce qui est vrai sensiblement, et que l'année soit d'un certain nombre de ces retours, tout reviendra de même chaque année