MENELAUS

comme il a été dit ci -dessus. Mais s'il n'en est pas ainsi , et qu'il y ait une fraction de jour, si cette fraction est au moins une aliquole exacte, ou ne verra pas les mêmes phénomènes revenir exactement chaque année, mais seulement en un certain nombre d'années (tous les quatre ans, par exemple, si la fraction est un quart).

Proposition XVIII. Suivant Méton et Euctemon , l'année serait de 365' , ainsi tout reviendra de même au bout de 19 ans.

Proposition XIX. Mais si la fraction n'est pas une aliquote de la révolution, c'est-à-dire du jour, jamais on ne verra revenir les phénomènes exactement les mêmes; jamais le Soleil ne se retrouvera exactement dans la même position à-la-fois pour tous les cercles de la sphère.

Ces trois dernières propositions sont simples et bonnes à connaître; dans le reste, on ne voit que de vaines subtilités qui n'ont pas même le mérite de l'exactitude.

Tous ces théorèmes ne supposent qu'une connaissance fort ordinaire des cercles de la sphère; ils ne peuvent servir de fondement à aucun calcul ; ils sont tous renfermés dans la formule cosP= — tangDlangH de l'arc semi-diurne, qui en fournirait des démonstrations fort simples et qui donnerait de plus les valeurs numériques absolues. On serait tenté de croire que Théodose ignorait absolument les principes de la trigonométrie sphérique, et qu'il n'avait aucune connaissance des ouvrages d'Hipparque.

On peut supposer que Théodose était un géomètre spéculatif qui peutêtre dédaignait la pratique et se bornait à chercher des démonstrations géométriques, des remarques faites par les astronomes dont il avait lu les ouvrages. Il avait pu augmenter le nombre de ces théorèmes déjà trouvés, ou leur donner plus de certitude et de généralité.

Quoi qu'il en soit, ses trois Traités ont peu fait pour l'avancement de l'Astronomie; ils sont aujourd'hui presqu'inutiles même à l'histoire de la science. Ils ne prouvent guère que le goût des Grecs pour les subtilités métaphysiques, qu'ils portaient jusque dans la Géométrie.

Menelaus.

Menelaus avait aussi composé six Livres sur le Calcul des cordes; ces Livres sont perdus; voyez Théon, page 39. Ce géomètre vivait en Fan*-f-8o; il nous reste de lui trois Livres intitulés Sphériques. Ils sont tout entiers consacrés aux triangles; mais les théorèmes eu sont

s44 ASTRONOMIE ANCIENNE.

presque tous de pure spéculation et d'un usage presque nul pour la pratique. Voici ceux qui peuvent avoir quelqu'utilité.

Le triangle sphérique est l'espace compris entre trois arcs de grand cercle sur la surface d'une sphère. Ces arcs sont toujours moindres que de i8o°. On les appelle côtés du triangle.

Les angles sont ceux que forment entr'eux les côtés. Ils sont égaux quand les côtés sont également inclinés.

Dans tout, triangle sphérique qui a deux côtés égaux, les deux angles opposés à ces côtés sont égaux.

Si deux angles sont égaux, les côtés opposés le seront aussi.

Si deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun , et l'angle compris égal , les troisièmes côtés seront égaux.

Si les trois côtés sont égaux chacun à chacun, les angles compris entre les arcs égaux sont égaux.

Deux côtés quelconques sont plus grands que le troisième.

Dans tout triangle sphérique, si un angle est plus grand qu'un autre, le côté opposé au plus grand angle sera plus grand que le côté opposé au petit angle.

Deux côtés étant conslans, le troisième côté augmentera avec l'angle compris qui lui est opposé.

Dans tout triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle.

Dans tout triangle, si deux côtés pris ensemble sont égaux à une demi-circonférence, et que l'on prolonge le troisième côté, l'angle extérieur sera égal à l'angle intérieur sur le même côté. Si (AB + BC) (hg. io)= 180°, on aura BDC = BCD=BAD.

Dans tout triangle sphérique, si vous prolongez un côté, l'angle extérieur sera moindre que la somme des angles intérieurs ; d'où il résulte que les trois angles d'un triangle valent toujours plus que i8o°.

Dans le cas où AB-f-BC = 180% on a BCD = A ; donc BCD < A-f-ABD; l'angle extérieur est moindre que la somme des intérieurs opposés. Prenons BC tel que AB+BC> i8o°; C'<A, donc C'<A -f- ABC. Le théorème est encore vrai.

Si AB-f-BC >> 180° (fig. 11), prolongez AB jusqu'en D, et menez dans l'angle extérieur BCD l'arc CE, tel que ECD=D=A; EC=ED; BE + EC = BE + ED= i8o°— AB'; donc BE -f- EC < 1 8o° ; donc CBA = EBF est plus grand que l'intérieur BCE; mais BCD=BCE + ECD = BCE 4- D = BCE -f- A ; donc BCD < CBA -f- A ; donc BCD + BCA<CBA-r-BCA-l-BAC , ou iSo°<B-r- A-f-C.

MENELAUS. r>45 Si deux triangles rectangles ont même hypoténuse et même angle à la base , ces triangles sont parfaitement égaux. Menelaus le démontre synlhétiquement, comme tout le reste. On peut le démontrer par la superposition, si les deux triangles vont dans le même sens; dans tous les cas, c'est un corollaire nécessaire de nos formules modernes.

Si deux triangles ont les trois angles égaux chacun à chacun , le3 côtés le seront aussi. Ce théorème était plus difficile à trouver, parce qu'il n'a pas son analogue dans les triangles reclilignes qu'on ne suppose pas inscrits au même cercle ; mais en les supposant inscrits au même cercle , les triangles rectilignes seront égaux puisqu'ils seront composés de trois cordes égales. C'est ce qui a lieu pour les triangles sphériques qui sont toujours supposés à la surface d'une même sphère , et dont les cotés sont exprimés en parties de la circonférence. Ce théorème est encore une suite nécessaire de nos formules pour trouver les côtés par les angles.

Si deux triangles ont des angles égaux chacun à chacun , et le troisième angle plus grand dans le premier que dans le second , le premier triangle aura le troisième côté plus grand que le second triangle.

T e -, cos A"-f- cos A cos A' j . ., , - ,

La formule cosC = — r—. — r? conduirait a ce théorème,

sinAsinA '

mais elle le rend inutile.

Ce théorème a dans Menelaus deux autres parties moins utiles encore.

Dans tout triangle, si un angle droit ou obtus est compris entre deux arcs moindres chacun que de go°, les deux autres seront aigus.

Notre formule cosCcosA' = cotC'sinC — sinÀ"cotA" donne sinA'cotA" = cotC" sinC — cosC cos A'.

Si A' == 90% nous aurons cotA" = col C" sin C; tout sera positif si C et C" sont <90°.

Si A' > 90% le terme cosCcosA' deviendra positif. SinA'cotA7 sera positif, et par conséquent A" aigu.

Ce théorème est donc un corollaire que la formule nous dispense de connaître.

Dans tout triangle sphérîque ABC (fig. 1 2), si vous partagez en deux également les côtés AB et BC par l'arc ED, ED sera plus grand que -jAC.

J'omettrai la première proposition du troisième Livre, que nous retrouverons dans Ptolémée. Elle était le fondement de la résolution des triangles sphériques chez les Anciens. 11 est très-probable que Menelaus et Ptolcmée l'auront prise dans les livres d'Hipparque. Il est certaiu

d'abord quelle n'appartient pas àPtolémée, puisque Menelaus est plus ancien; elle est la seule du livre de Menelaus qui ait une utilité pratique, et l'on voit assez, par tout le reste, que le but de Menelaus n'était pas d'enseigner à résoudre des triangles ; et même en rapportant . cette proposition, comme tant d'autres, il ne dit pas un mot de l'usage, qu'on en peut faire. On trouve ensuite deux théorèmes dont on fait encore un usage fréquent , et qui paraissent ici pour la première fois.

Si l'on partage en deux également l'angle au sommet d'un triangle, par un arc qui forme sur le côté opposé deux segmens , les cordes de ces deux segmens seront entr'elles comme les cordes des côtés adjacens qui renferment l'angle.

Si l'on divise deux angles d'un triangle en deux également par des arcs, ces arcs se rencontreront; et si, des points de rencontre, on mène un arc au sommet du troisième angle , ce troisième angle se trouvera divisé en deux également, comme les deux premiers,

HjpsicVes. eT-\>ix\iovç àvct<pofix,oç.

Hypsiclis anaphoricus sive de ascensionibus quà grœcè quà latine , vulgaliis per Jacobum Menteliwn. Parisiis , Cramoisy, i65y, in~49.

Hypsiclès d'Alexandrie vivait sous Ptolémée Physcon , vers l'an 146 avant J. C. Il fut élève d'Isidore-le-Grand; on a de lui les 14e et i5e Livres qu'il a ajoutés aux Elémens d'Euclide , et qui ont pour objet le dodécaèdre et l icosaèdre, et ensuite l'opuscule des ascensions, qui, dans quelques exemplaires , porte le titre assez peu juste & Astronomie ,

7T fl a.TTfOVQf/.tXÇ.

Ce Livre ne l'en ferme que 6 propositions, et même les trois premières ne sont que des lemmes qui démontrent trois propriétés des progressions arithmétiques; ainsi l'ouvrage ne consiste véritablement qu'en trois propositions, dans lesquelles il donne une méthode pour calculer en combien de tems se lève chaque degré de l'écliptique j cette méthode n'est qu'approximative; elle aurait pu avoir quelque mérite avant la découverte de la Trigonométrie. Mais l'auteur étant contemporain d'Hipparque à fort peu près, a pu ignorer la méthode qui donnait une solution rigoureuse du problème.

11 suppose que, si les arcs sont en progression arithmétique, les tjms qu'ils emploient à se lever doivent former une progression arithmétique, ce qui revient à supposer que les différences secondes sont

HYPSICLÈS. \/{J nulles, au lieu qu'elles sont très-sensibles. Sa méthode ne pourrait donc servir tout au plus que pour interpoler et étendre à chaque degré, par exemple, une Table calculée rigoureusement pour les degrés, de dix en dix. Voici cette méthode.

Proposition I. Si vous avez une suite de termes dont les différences soient égales et en nombre pair, l'excès de la somme de la première moitié sur la seconde , en commençant par les plus forts , sera proportionnel au carré de la moitié du nombre des termes. Soit la progression arithmétique,

a, a-\-d, a-\-id , a-\-5d a~\-{in —

%n étant le nombre des termes , et d la différence commune.

Le dernier terme de la première moitié sera a — la

somme des termes de cette moitié [2a -f- (n — i)d] - = na -\- —

La somme totale sera [a-\-a-\-(p.n — — = zna -f- und1 —

Otez-en la première moitié na -f- — d — — .

La seconde moitié sera Jia -4-^n*d — — .

L'excès de la grande moitié sur la petite f d.n*t

ou | fois la différence multipliée par le carré de la moitié du nombre des termes.

L'auteur démontre cette proposition d'une manière plus longue et moins instructive; car elle ne donne pas le facteur de n*.

Proposition II. Si le nombre total est impair, la somme de tous les termes contiendra celui du milieu autant de fois qu'il y aura de termes; théorème connu.

Soit ( 2/2 : -f- 1 ) le nombre des termes , a -f- a-f- 2iul la somme des extrêmes, la somme des termes sera

( 2a -{- 2nd) (— ) = (** + nd) ( m -f- 1 ) ,

(k -I- nd) sera le terme du milieu, (2/2 -f- 1 ) est le nombre des termes , c'est la proposition d'Hypsiclès.

Proposition III. Si le nombre des termes est pair, la somme totale est

égale à celle des deux termes du milieu, multipliée par la moitié du nombre

des termes. C'est encore une propriété connue.

Soit 211 le nombre des termes, la somme sera, par la propos. I ,

2na -f- 2n*d — nd = ( la -\- ind — d) n \

tes termes du milieu seront

a-\-(n — i ) d-$- a + nd = 2a -\- (a« — i ) d— (2rt-f- 2nd — d).

Voilà les trois lemmes ; le premier est le seul qui ne soit pas dans tous les livres d'Arithmétique.

Proposition IV. Le zodiaque étant divisé en 36o* parties égales, que nous nommerons degrés locaux, partageons de même cette circonférence ou le tems qu'elle emploie à faire une révolution , en 36o parties de tems que nous nommerons degrés chroniques. Nous démontrerons , à l'aide des lemmes précédens, que si l'on connaît pour mi lieu donné de la Terre la proportion du jour le plus long au jour le plus court de l'année, nous en déduirons le nombre des degrés chroniques de chaque nombre de degrés locaux. Ptolémée appelle tems les degrés chroniques.

Supposons le climat d'Egypte, dans lequel le plus long jour est au plus court comme 7 : 5 ; la demi-durée du plus long jour sera de 7 heures ; celle du plus court de 5 heures. Les 1800 de l'écliptique qui passent dans Je plus long jour répondront à ~ de 36o° ou 7.30 =210 degrés chroniques; les autres 180° passent en 36o° = 5.3o = i5o degrés chroniques. Les moitiés de ces nombres seront io5* et 75°; l'excès de la première moitié sur la seconde sera de 3o°. Il y a six termes de 3o° chacun dans chaque moitié de l'écliptique ; la moitié de ce nombre est 3,

dont le carré est g ; — 5° 20' : ce sera la différence constante, à ce

que dit Hypsiclès. Dans le fait , elle diffère peu de la première des différences premières de la Table de Ptolémée ; mais au lieu d'être constante, elle varie depuis 5° 43' jusqu'à o° 5o'.

Déplus, au lieu de prendre six termes, n'en prenons que trois; la somme ou la moitié du jour sera donc de io5° dont le tiers est 35°; l'arc du milieu, celui du Lion , sera de 55° ; le suivant, ou celui de la Vierge , 35+3°. 20 = 58°.2o;le précédent sera de 35 — 3.20 = 3i°.4o'; le suivant 3i°4o' — 5° 20' = 280 3o', le suivant 28°2o' — 3° 20'= 25°o ; le dernier 25° — 3° 20'= 2[°4o'. Nous aurons la Table suivante.

HYPSICLKS.

Table I.

Diff.

Quantités vraies.

DifF.

Table II.

Difler.

ni a