et sin A"=sinA' -f-(sin A' — sinA
sin A'
Le théorème de Viète conduit en effet à l'expression de la différence seconde des sinus. En extrayant les ouvrages de Viète pour la suite de cette Histoire de l'Astronomie , je n'avais pas aperçu ce corollaire d'un théorème trop peu développé.
46a ASTRONOMIE ANCIENNE.
M. Playfair trouve que ce théorème a beaucoup d'affinité avec la 97e proposition des data d'Euclide; mais cette analogie ne se voit pas au premier coup d'œil.
Venons aux équations du centre. Pour les calculer, les Hindous ont recours, comme les Grecs, à des cercles excentriques. Us supposent que l'excentricité est égale au sinus de la plus grande équation, et font sinus équation = sin plus grande équation sin anomalie.
Mais quoique le principe fondamental soit le même, le calcul est très-différent; à l'excentrique, les Hindous substituent un épicycle, ce qui revient au même; mais ce qui leur est particulier et en même tems fort difficile à expliquer , ils font varier à chaque degré le rayon de cet épicycle , qui va diminuant depuis o d'anomalie jusqu'à 90% et la Table calculée pour le premier quart leur sert sans aucune différence pour les trois autres quarts de l'argument. Le rayon de l'épicycle est donc le plus grand quand l'équation est la plus petite, et le plus petit quand elle est la plus grande. Ce n'est pas même le rayon qu'ils font véritablement varier , mais la circonférence de l'épicycle, ce qui ne sert qu'à compliquer inutilement le calcul. Autre singularité : quoique l'équation de la Lune soit plus que double de celle du Soleil, la variation de son épicycle est sensiblement la même que celle de l'épicycle du Soleil.
Bailly n'a donc pas été heureux dans ses conjectures, quand il a félicité les Indiens de n'avoir embarrassé leurs théories ni d'excentriques , ni d'épicycles; ils en ont comme les Grecs; mais au lieu de les calculer suivant les règles rigoureuses de la Trigonométrie , ils y introduisent un terme empirique dont on ne voit ni la raison, ni la nécessité.
L'équation du Soleil est i3o' 32f/; les Indiens disent :
Le rayon 3438' : l'excentricité = i3o' 3a" : : 36o° : 1 3° 40' = circonférence de l'épicycle.
Cette circonférence, ils l'appellent paridhi-ansa ; ils prennent sur cette circonférence un arc égal à l'anomalie moyenne. Le sinus et le cosinus de cette anomalie, dans le petit cercle, sont en raison donnée avec le sinus et le cosinus du même arc dans le grand cercle; alors ils ont un triangle rectangle dont les côtés sont esinz et i-f-ecosz; nous en conclurions l'angle par sa tangente ; mais n'ayant point de tangente , ils cherchent l'hypoténuse dont le carré est
e'sin2^ -f- 1 +2ecosi;-f-e2cos23 = 1 -f- ea -J- ie cosz ;
le sinus de l'angle est donc
— tllll — \ — e sin z( i — | e* — e cos z) = e sinz — e* sin zcos z — ^ es sinz i -fe2-f aecosz/ \ a y
= e sinz —\e% &\u2z = esinz — e% sin zcos z
ce qui reviendrait à peu près à la formule rigoureuse; mais au lieu de ce calcul, ils ont préféré d'augmenter la circonférence de l'épicycle de 20' sinz, ce qui revient à augmenter le rayon de 3' 11"; l'excentricité devient donc i33' ; ils la font diminuer de esinz, leur équation devient
(i33' 45" — S' n"sinz) sinz = i35' 43" sinz — 3' 1 i"sïn2z.
C'est sur cette formule que j'ai calculé la Table suivante, où j'ai mis à côté de la Table indienne, celle qui résulte de ma formule. La colonne suivante est calculée par la formule qui la fait proportionnelle au cosinus. Si ce précepte était moins formellement énoncé dans le Mémoire, on pourrait dire qu'elle n'est que la différence première de l'équation, tirée de la Table même et diminuée de ensorle que l'équation est celle qu'il faut appliquer au mouvement moyen 5o/, tandis que la différence de la Table répond à 1°. Si le précepte est réellement tiré du Sourya Siddhanta, les Indiens auront connu l'équivalent de noire formule différentielle dsin A ==dA cos A. Cette formule, au reste, n'est pas suffisante pour donner la correction exacte du mouvement, au moins pour la Lune.
L'équation lunaire est calculée par la même méthode et avec la même" correction empirique 3' n"sinaz, ce qui est fort bizarre. Comme les équations sont plus fortes, on ne s'est pas permis de négliger la différence de l'arc au sinus. J'ai, pour abréger, changé la formule en celle-ci;
équation = arc (sin 6° 5' sin s) — 3' n"sinaz.
Ces formules, tant pour le Soleil que pour la Lune, représentent l'équation avec plus d'exactitude qu'elle n'a pu être calculée par les Indiens. Les différences sont le plus souvent insensibles et ne passent 5" que dans des cas assez rares. Il est étonnant qu'avec leur Table de sinus de 5° ^ en 3°^ ils aient pu déterminer leurs équations avec si peu de fautes. On ne U*ouve pas la même précision dans la Table de l'équation du mouvement, qui était cependant bien plus facile et sur laquelle ils se seront négligés.
Equation du Soleil du Sourja Siddhanta.
Anomal.
Équations
Suivant ma
Équations
Anomal
équations
Suivant ma
Équations
tu oy.
indiennes.
formule.
du mouv.
moy.
indiennes.
formule.
du mouv.
/Ko 4b
1 02 Oo
0 1 fi
• /fi 4b
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