CHAPITRE V

Lilawati.

( La feuille précédente était imprimée depuis bien long-tems , lorsque l'Institut a reçu r de la part du traducteur, l'ouvrage intitulé ) :

Lilaivati or a trealise on sirithmetic and Qeometrj bj Bhascara Acharya , translaledfrom the original sanscrit bj John Tajlor. M. D. Bombay, 1816.

Nous al,o„s ex.raire de ce lrai,c cuHeus ,out ee oui peu, faire suite à l'ouvrage dePlanude, et qui aura quelque rapport à l'Astronomie et aux questions que nous avons eu occasion de traiter.

On lit dans l'introduction que Bhascara Acharya, auteur du traite, était né à Bildur, ville du Décan , l'an io36 de Salivahna, ce qui répond à l'an 11 14 de notre ère. 11 composa ce livre, et lui donna le nom de sa fille Lilawati, pour la consoler de ce qu'il n'avait pu la marier; il devait donc être âgé d'environ 4° ans; ainsi la date du Lilawati doit remonter entre l'an n5o et 1160 de notre ère.

Bhascara est encore auteur de plusieurs ouvrages. Les plus célèbres sont le Bija Gannita et le Siromani. Le premier est un traité d'Algèbre dont M. Edward Strachey a donné une notice qui est en partie une traduction littérale, le reste un simple extrait avec des notes.

Le Siromani est un traité d'Astronomie plus complet et plus lumineux que le Sourya Siddhanta. Il est en grande réputation parmi les astronomes de Décan , et c'est le seul dont ils fassent usage. Il est divisé en deux parties : le Gola Adya, qui traite de la sphéricité de la Terre, et le Gannitta Adya, qui traite du cacul astronomique.

Le Lilawati, si l'on considère le tems où il a été écrit, présente un système d'Arithmétique profond , régulier et bien lié. 11 contient plusieurs propositions utiles de Géométrie et de Géodésie. Il est le premier livre qu'étudient les astronomes ou plutôt les astrologues de l'Inde; car, dans ce pays, les deux professions sont inséparables, et en général la première n'est considérée que comme un accessoire.

Les règles sont écrites en vers, d'un style concis et elliptique, dans

LILAWATI. 53g lequel on trouve au plus haut degré cette obscurité qui est la marque caractéristique des ouvrages sanscrits de science et de philosophie.

L'empereur Acbar fit traduire ce livre en persan en 1587 , par Fyzy. Une copie de cette version a été remise à M. Taylor, par MullaFiroz, savant parsis, qui a fait une étude particulière du système astronomique des Arabes. La traduction de Fyzy est souvent très-obscure; on y remarque des omissions considérables, particulièrement à la fin de l'Arithmétique et dans les opérations géométriques qui précèdent le chapitre des cercles.

Il a pareillement omis les chapitres des problèmes indéterminés et des permutations. Le style est diffus, et fait penser que Fyzy n'a fait qu'écrire sous la dictée les paraphrases qui lui étaient faites par les savans du pays, qu'il dit avoir consultés.

M. Taylor a vu chez M. Erslune une traduction de ce même traité, en langue murwar. Elle paraît faite pour l'usage des prêtres du Jaina qui professent l'Astrologie. La ressemblance du sanscrit et du murwari fait que la traduction est plus concise, et qu'on y trouve en plus grand nombre les termes techniques de l'original. Il y a cependant aussi des omissions importantes, telles que celles des problèmes indéterminés et des permutations.

L'objet de M. Taylor , en donnant cette traduction , a été de fournir des docurr.ens authentiques sur les connaissances mathématiques des Indiens au douzième siècle, et de montrer leurs principes et leurs manières d'opérer, qui pourront rendre un peu douteuses leurs prétentions au litre d'inventeurs en matière de science. Cette traduction a été long-tems désirée. M. Burrow ne put l'achever; M. Taylor croit qu'il n'aurait pas été plus heureux^ sans le secours de trois commentaires qu'il a su se procurer. Il avait en outre trois copies de l'original. La plus ancienne est de l'an 1673; c'est celle qui a servi à la traduction; elle a depuis été portée en Angleterre et déposée à la bibliothèque de la Compagnie des Indes. Les règles et les exemples se trouvent en entier dans deux des trois commentaires; ensorte que M. Taylor avait cinq copies de l'ouvrage; elles sont d'une conformité remarquable. Il a cru inutile de traduire les préceptes en Algèbre européenne, parce que les notes tirées des Commentaires sont assez claires, et que son objet principal était de montrer la marche et les pensées de l'auteur indien.

Les deux livres du Kutacha ou des problèmes indéterminés et des permutations, sont plus obscurs encore que les précédens.

Les Indiens opèrent sur un tableau de 12 pouces de long sur 8 de large? Un fond Liane est forme' avec une poussière de pipe ; on le recouvre d'un sable rouge ; les chiffres sont tracés avec un style de bois qui? déplaçant le sable rouge, laisse voir le fond blanc. En passant le doigt sur le sable rouge, on efface ce qui est écrit, et l'on peut recommencer une autre opération. D'ailleurs, comme l'espace est borné et les caractères nécessairement grands , on est obligé d'effacer à mesure qu'on avance, pour gagner de la place. »

Les Indiens font l'addition en commençant par la droite, comme nous ; inais ils ont, pour commencer par la gauche, une manière qui n'est pas trop incommode. M. Taylor dit qu'ils ignorent la preuve de 9, bien connue des Arabes, qui l'appelaient tarazu ou balance; cependant Planude emploie cette preuve dans les quatre opérations de l'Arithmétique ; il la donne comme venant de l'Inde, ainsi que tout le reste. Les Arabes ne sont pas une seule fois mentionnés dans son ouvrage.

La soustraction se fait de deux manières exposées aussi dans Planude. A l'article de la multiplication, il remarque qu'on n'y trouve point la Table de multiplication qu'on dit cependant avoir été apportée de L'Inde par Pythagore. 11 explique cette apparente contradiction, en disant que le livre n'étant pas destiné aux enfans,on a cru la Table inutile; il ajoute qu'on s'en sert aujourd'hui dans les écoles, où. même on en a de plus étendues.

Le texte donne cinq méthodes de multiplication, les Commentaires en ajoutent deux autres; il y en a aussi plusieurs dans Planude, qui les expose avec plus de détails.

On ne voit dans le Lilawati aucun symbole pour indiquer l'addition, ni la multiplication. Nous avons fait une remarque pareille, mais plus étendue, en extrayant Planude. Suivant M-. Taylor, un zéro placé audessus d'un nombre signifie qu'il faut le retrancher. Planude ne dit rien de semblable.

Un zéro placé auprès d'une somme, signifie qu'elle a été payée, et que la ligne est annulée. C'est la manière des marchands marattes.

Les Indiens ignorent la méthode des barres pour séparer la somme d'avec les parties ajoutées, ou le reste d'avec la somme soustraite; dans les fractions mêmes, on se contente de placer le numérateur au-dessus du dénominateur, sans aucun trait qui les sépare.

Après cet exposé sommaire des méthodes indiennes, le traducteur passe à celles des Arabes. Il les prend dans deux livres persans : le

tTLAWATL 541 Risala-Hisab et le Khalasat-ul-Hisab ; ce sont les deux plus anciens et les plus renommes.

Le Risala-Hisab est un court traité d'Arithmétique et de Géométrie, composé par Kâzizadel-el-Rumi, surnommé Ali Kuslichi, l'un des astronomes d'Ulug-Beg.

Le Khalasat-ul-Hisab fut composé en arabe par Baha-ud-din , né à Balbec en i5j5, et mort à Hispahan en i633. M. Slrachey en a donné un extrait dans le second volume des traités de Mathématiques de Hutlon.

M. Strachey dit que les Arabes ont quelque chose qui ressemble aux logarithmes; mais ce n'est rien autre chose que la méthode des fond* substitués aux analogues, que j'ai expliquée dans mon Arithmétique des Grecs.

Pour éviter de se servir de la Table de multiplication, les Arabes ont quelques règles qu'on peut renfermer dans les formules suivantes : Soient m et n deux nombres moindres chacun que 10, faites

mn ■==. 1 om — m ( 1 o — n) =. 1 om — 1 om -f- mn ;

pour les nombres entre 10 et 20 à multiplier par un nombre au-dessous de 10, soit m > 10 et n < 10,

mn — {m -f- n — 10) 10 — (m — 10) (10 — /z) ;

si les deux nombres sont entre 10 et 20,

(n-\-m — 10) 1 o -f- (n — 10) (ni — 1 o) ±= 1 on -f- 1 om — 1 00 -f- mn — 1 on — 1 om 4- 1 00 = mn.

Pour multiplier m par 5, 5o, 5oo, 5ooo, etc., vous multiplierez \m par 10, 100, 1000, 10000, etc.; si !es deux nombres sont, l'un entre 20 et 100, et l'autre entre 10 et 20, soit l'un io<y-f-//«, et l'autre io-j-«,

( 1 07 -f- m) ( 1 o -f- n) — 1 007 -f- 1 oqn -f- 1 om-fmn=1 o( 1 oq -\-qn -f- m ) -\-mn. ( 1 07+ m){ 1 oq-\- n)=\ ooq*-^ 1 oqm-{- 1 oqn-\-mn= 1 o( 1 oq*-\-qm-\-qn)-\-mn.

En général,

mn = ÇLpy - (2irrî)*=-i [(„,+„)•-(»,-«)•];

les Arabes eux-mêmes trouvent ces moyens plus curieux qu'utiles.

Pour la multiplication, les Arabes forment une figure qu'ils appellent shaback, et dont l'usage ressemble à celui des bâtons de Néper.

,).ltt 7 9 9 8 4 4

Ils forment un rectangle qu'ils divisent verticalement en autant de colonnes qu'il y a de chiffres dans le multiplicande; et horizontalement en autant de tranches qu'il y a de chiffres au- multiplicateur. Ils tirent ensuite des diagonales qui partagent chacun des carrés en deux triangles égaux. Us placent les chiffres du multiplicande en tête de leurs colonnes; ceux du multiplicateur à gauche de leurs tranches. Ils font toutes les multiplications partielles en mettant les unités dans le triangle inférieur , les dixaines dans le triangle supérieur, ensorte que chaque produit partiel réponde aux deux facteurs qui l'ont produit, comme dans la Table de Pythagore ; ils additionnent ensuite les tranches obliques entre chaque diagonale, reportant d'une tranche à l'autre les dixaines que la première produit. Cette méthode a passé dans l'Inde , et on l'enseigne dans les écoles; mais elle ne se trouve dans aucun livre sanscrit; les astronomes n'en font aucun usage.

L'article de la division n'offre rien de remarquable, qu'une longue figure rectangulaire, divisée en colonnes verticales, dans lesquelles ils encadrent l'opération, qui n'en est guère plus facile.

L'article qui concerne la racine carrée est fort obscur; il est clair, mais bien prolixe dans Planude. Le traducteur cherchant à deviner, n'en tire que leN procédé détaillé par Théon, procédé qui avait dû passer aux Arabes avec les écrits des Grecs.

L'article de la racine cubique est encore plus long et plus obscur.

Les Arabes avaient une Arithmétique littérale, ainsi que les Grecs et les Hébreux.

Les nombres arabes, quand ils sont écrits en lettres alphabétiques, sont écrits de droite à gauche ; mais quand ils sont exprimés en chiffres, ils vont, comme chez nous, de gauche à droite; ce qui est une assez forte présomption que la notation décimale , où les chiffres ont une valeur de position, est étrangère chez les Arabes, et qu'elle a dû leur être communiquée par un autre peuple. Cette remarque a été faite plus d'une fois;

LÏLAWÀT*. 54S au reste, les Arabes en conviennent eux-mêmes; il ne reste donc aucun doute sur ce point.

Excepté pour le 1, le 5 et peut-être le 4, les Arabes ont adopté les figures indiennes avec très-peu de changement dans la forme. Le traducteur nu donne pas les chiffres indiens, ; on les "voit dans Planude.

Les deux auteurs arabes commencent leur Géométrie par les définitions du point, de la ligne, de la surface, du solide, des angles droit, aigu et obtus, de la circonférence, du rayon et du secteur. Tous deux font usage des lettres de l'alphabet dans leurs démonstrations , pour désigner les lignes, ce qui montre une grande affinité entre la Géométrie des Arabes et celle de Grecs, et ne ressemble en rien à celle du Lilawali, dans lequel on ne fait aucune attention aux angles. Toutes les opérations y sont faites d'après les relations entre les trois côtés du triangle rectangle. Il est à remarquer que les Arabes nomment Hindasi ou Arithmétique indienne , l'Arithmétique où les chiffres ont une valeur de position. Cette idée heureuse, qui parait due aux Indiens, peut devenir le sujet d'une recherche intéressante. Les Indiens sont- ils en effet les auteurs de cette notation, ou l'ont-ils reçue d'un peuple plus avancé dans la science du calcul ? Nous penserions que l'idée est tellement simple, qu'elle a pu venir à des ignorans plus aisément encore qu'à des savans. Dans toutes les langues, quand on dit q5j , ou 9 cent, cinq dixaines et 7 unités , et qu'on veut écrire ce nombre, l'idée la plus naturelle est d'employer 9, 5, 7, que les mots g cent, cinquante et 7 semblent appeler. Plus un peuple sera ignorant, moins il aura de signes pour exprimer ses idées, plus il sera porté à la notation indienne. Ce moyen ne paraît-il pas plus aisé à trouver que celui d'employer quatre caractères différens,pour exprimer 5555, comme faisaient les Grecs. Dans la manière indienne, on n'écrit que les racines cinq de cinq mille, de 5 cents, de 5 dixaines et de 5 unités; la position rend inutile la différence de terminaison et tout mot additionnel. Il nous paraîtrait donc superflu de chercher un peuple plus savant qui ait pu instruire les Indiens. M. Taylor pense qu'il faudrait considérer l'état de la science mathématique chez les peuples voisins, qui, par leur religion et leur philosophie , paraîtraient avoir eu de grandes communications avec l'Inde. Mais il faut observer que si l'Arithmétique de position n'est pas originaire de l'Inde , elle doit au moins y avoir existé de tems immémorial ; car on ne trouve , chez ce peuple , aucune trace d'une notation alphabétique, telle que celle des Hébreux , des Grecs et des Arabes. Plusieurs siècles se sont écoulés avant que la notation indienne ait péné-

5/t4 ASTRONOMIE ANCIENNE,

tré chez les Arabes, et ait été par eux introduite en Europe. Mais, ni en Europe, ni en Arabie , elle n'a fait disparaître les traces de la notation littérale. Les Européens et les Arabes emploient encore occasionnellement les lettres; et chez ces derniers, aussi bien que chez les Orientaux, qui ont adopté leurs sciences, on considère comme une manière élégante de marquer la date d'un événement, celle d'employer un mot dont les lettres, considérées comme chiffres, soient propres à composer la date demandée. On ne voit aucun indien qui connaisse cet usage des lettres, à moins qu'il ne l'ait appris d'un musulman. On ne trouve rien de ce genre dans aucun livre sanscrit, ni dans aucun livre écrit dans aucune des langues du pays. On y emploie les figures de différens objets , pour représenter des nombres , mais les lettres jamais.

Les extraits que M. Strachey a faits du Bija Ganuita, et cette traduction du Lilawali, offrent sans contredit des renseignemens précieux sur l'état des Mathématiques chez les Indiens. Ils ne donnent cependant qu'une idée imparfaite du sujet. Au reste, on ne trouve rien de mieux dans aucun autre livre du pays.

On dit que les Chinois ont des traités d'Arithmétique et de Géométrie; mais comme on n'en a publié ni extrait, ni traduction , nous ignorons jusqu'où s'étendait leur science. Toutes leurs opérations arithmétiques se font par le moyen mécanique du Swanpan. On ne trouve chez eux aucun vestige d'Algèbre; et quoiqu'ils prétendent être très-habiles en Astronomie, il est reconnu, par les meilleurs écrivains chinois, qu'ils sont incapables de calculer une éclipse avec quelque précision. lien résulte que les Chinois, en Mathématiques , sont encore bien moins avancés que les Indiens.

Quant à l'opinion mise en avant par des hommes d'un mérite éminent, que les premières découvertes en Mathématiques sont sorties de la haute Asie, nous dirons seulement que dans tout ce qu'on a pu nous apprendre des vastes régions du Thibet, rien n'appuie le moins du monde cette conjecture; d'où il faut conclure que jusqu'au moment où l'on aura découvert dans l'Orient des livres d'une antiquité plus grande que celle du Lilawati et du BijaGannita, et qui contiennent un système d'Arithmétique ou d'Algèbre aussi étendu et aussi complet, il faudra laisser aux Indiens l'honneur d'avoir découvert la notation arithmétique la plus simple et la plus commode qu'on pût imaginer , et confesser qu'à l'aide de celte invention merveilleuse, ils ont fait dans la science du calcul, au moins depuis 700 ans, des progrès bien supérieurs à ceux d'aucun autre peuple de l'Asie.

Les savans d'Europe sont persuadés que les Indiens n'entendent plu?

LILAWATI. 545 rien aux démonstrations des règles qu'ils suivent dans leurs calculs ; on en conclut qu'ils n'en sont pas les inventeurs, ou que les Mathématiques ont dégénéré chez eux au point qu'ils n'ont plus aucune idée des principes fondamentaux de ces pratiques qu'ils ont reçues de leurs ancêtres.

Sans entrer dans la discussion de cette opinion (ou de cette erreur), M. Taylor nous apprend qu'il a en sa possession un livre intitulé Udahama, qui contient les démonstrations des règles du Lilawati. Ces démonstrations sont une assez bonne preuve de ce qui lui a été certifié d'ailleurs, que toute cette Géométrie est fondée sur l'Algèbre, et que les Indiens n'ont jamais rien connu des méthodes des Grecs.

Au reste, il parait que depuis 200 ans la science mathématique et astronomique a toujours été en déclinant chez les Indiens. Les astronomes de l'âge présent sont profondément ignorans en Mathématiques; ils ne considèrent pas l'Astronomie comme science, ils se consacrent entièrement à l'étude de l'Astrologie, et n'ont d'autre ambition que celle de devenir capables de dresser un thème de naissance, de déterminer l'heure favorable pour un mariage , et de pouvoir pratiquer les cérémonies en usage dans le pays.

A Poona, que l'on peut regarder comme le principal établissement des Bramines, il y a tout au plus dix ou douze personnes qui entendent le Lilawati ou le Bifa Gannita; et quoiqu'il y ait plusieurs astronomes de profession à Bombay , M. Taylor n'en a pas trouvé un seul qui entendit une page du Lilawati.

Chez les Brames, la dénomination de savant n'est guère donnée qu'aux grammairiens, aux métaphysiciens et aux théologiens ; et tous ces prétendus savans s'occupent exclusivement de subtilités qui prouvent leur ignorance entière de toute autre chose. L'Astronomie en particulier, par la raison qu'elle s'occupe d'objets trop grossiers et trop matériels, leur paraît indigne de leur attention, sinon en ce qui peut leur servir à pénétrer les desseins du ciel, c'est-à-dire à prévoir l'avenir. Parmi ceux mêmes qui se livrent à l'élude de l'Astronomie et des Mathématiques, il n'y en a aucun qui soit informé de ce qu'en ont écrit les véritables savans; peu même ont lu le Lilawati ; ils sont dans la persuasion que quiconque lirait ce livre jusqu'à la fin, serait condamné à la perte de ses faculté? mentales , ou tout au moins à une perpétuelle pauvreté.

Nous allons transcrire quelques passages du Siddhanla Sironiani, qui sont cui'ieux par eux-mêmes, et qui nous montreront combien l'opinion des savans diffère de l'absurde doctrine des Pouranas.

Hist. de VAst. anc. Tom. I. 69

Ce globe composé de terre, d'air, d'eau, d'espace et de feu, et qui est entouré de planètes, est ferme au milieu de l'espace, par sa propre puissance et sans aucun support. Si le monde avait besoin d'un support matériel, ce support en exigerait un autre, et ainsi de suite. 11 faudrait toujours finir par supposer une chose qui se soutînt d'elle-même; et pourquoi cette chose ne serait-elle pas la Terre, qui est une des huit formes visibles de la Divinité ?

La Terre a un pouvoir attractif qui dirige vers elle tout corps pesant qui se trouve dans l'air, et qui fait que ce corps paraît tomber. Mais où pourrait tomber la Terre, qui n'est environnée que de l'espace?

Les Boudhistes supposent que la Terre tombe continuellement, sans que nous puissions nous en apercevoir; ils imaginent qu'il y a deux Soleils, deux Lunes, deux zodiaques qui se lèvent alternativement.

Si la Terre paraît plane, c'est que la centième partie d'un cercle n'a pas une courbure bien sensible, et que la vue de l'homme ne s'étend qu'à un espace médiocre.

La circonférence de la Terre est de 49^7 yojanas; le diamètre est de i58i^:

Tel est en abrégé le discours préliminaire de M. Taylor; passons à la traduction du Traité d'Arithmétique et de Géométrie.

Le Lilawati commence par des Tables des monnaies, des poids, des mesures de terre, des mesures de grains, de celles du tems, et des divisions du zodiaque.

On trouve ensuite ce principe fondamental : les nombres ont des valeurs croissant en proportion décuple, suivant la place qu'ils occupent.

Après quoi l'auteur donne les noms indiens des 17 premières puissances de 10.

Aux articles de l'addition et de la soustraction, on ne voit rien qui ne soit beaucoup plus détaillé dans le Traité de Planude.

A celui de la multiplication, on trouve quelques pratiques particulières; on y décompose le multiplicateur en plusieurs parties. Ainsi, au lieu de multiplier par 12, on multipliera par 4 > et le produit par trois; ou bien par 8 et puis par 4> et l'on fait la somme des deux produits; ou enfin par 20 et par 8, et l'on prend la différence des deux produits.

Pour les méthodes réelles, ce sont celles de Planude, et conséquemment les nôtres.

Pour la division, on réduit le dividende elle diviseur, en les divisant par le facteur commun , quand ils en ont un.

LILAWATI. 547 Pour la formation du carré, les Indiens ont quelques pratiques qui dérivent toutes de la formule {a -f- b)* = a* -f- iab -f- b*.

L'extraction de la racine carrée se fait par le procédé de Théon, qui est aussi le nôtre.

Pour la racine cubique , les Indiens ont une règle analogue tirée de la formule (<z-f-£)3. Tous les préceptes sont tellement concis, que l'on conçoit très-bien que peu de commençans puissent les entendre.

Au chapitre des fractions, rien qui ne soit dans Planude et partout.

Effets du zéro. On voit dans l'introduction que le mot shunja signifie cercle, zéro, vide; les Arabes ont traduit ce mot par celui de syfr, qui signifie vide ou rien.

Nous avons vu dans Planude que le zéro s'appelle plus ordinairement le rien. On trouve aussi ce mot dans Théon.

o-\-n=.n; oa = o; ^ n'a pas d'autre nom que n divisé par zéro. Le

commentateur ajoute que, par celle phrase, il faut entendre que le quotient est infini.

( .r.o-f-^oA

On voit ensuite une règle qui s'écrirait algébriquement l J 3=63,

ou |x.3 = lx = 63, ou x = 2 .7 : les Indiens résolvent cette

équation par une fausse position; d'où l'on pourrait conclure que les Indiens ont bien des pratiques qui ressemblent à l'Algèbre, mais qu'ils n'ont point de notation algébrique.

Le chapitre de V inversion est une indication fort obscure des procédés qui servent à dégager l'inconnue.

Nombre posé ; c'est la règle de fausse position.

Cette section se divise en plusieurs cas: on connaît une quantité, ou bien on connaît des restes ou des différences, ou une somme et une différence, ou la différence des carrés; ce sont autant de petits problèmes algébriques, tels qu'on en propose aux commençans. L'auteur donne la règle qui fera trouver l'inconnue, mais il n'en donne pas l'expression algébrique.

Multiplicateur de la racine. C'est une règle qui apprend à résoudre l'équa-

tion x-}-ax* =b.

Règle de trois directe et inverse; règles de 5, 7, 9, 11 et règle d'échange. Ce ne sont que des règles de proportion plus ou moins complexes.

Quantités mêlées. Des quantités ont un rapport donné, on ne connaît que leur somme ; on montre à déterminer les quantités.

Du tems nécessaire pour remplir un étang. C'est un des problèmes de Diophante.

Acheter et vendre. Questions d'échange plus ou moins composées. Calcul de l'or. Les indiens jugent du degré de fin à la couleur. Règles d'alliages.

Permutations. Rien que d'élémentaire et de bien connu.

Progressions. Sommation des nombres naturels et triangulaires.

Le D. Hutton, qui a donné toutes ces règles dans ses Traités mathématiques, nous dit qu'il est douteux que les règles de ces derniers chapitres fussent connues en Europe à la fin du 16e siècle.

Peletarius, dans son Algèbre, en i558, a donné une Table des carrés et des cubes, et il a remarqué que la somme des cubes, en commençant par 1 , est toujours un nombre carré dont la racine est la somme des racines des Cubes ; c'est précisément la règle du Lilawati.

Seconde partie. Opérations géométriques.

Théorème de l'hypoténuse. Pour approcher de la racine d'un carré imparfait, on le multiplie par io2n, et quand la racine est ainsi trouvée, on la divise par io".

Soient hy b , c l'hypoténuse, la base et le côté d'un triangle rectangle*

Données. Inconnues.

b h et c problème indéterminé.

(h + b)elc b

(/i-f-c) et b c

h — c et c h-\-c et h Toutes ces questions trou-

h-\-b et c h . c et h vent leur solution dans le

(d-\-x)-=^cf h-\+a=x et b h et c théorème du carré de l'hy-

b-\-c=a et h c et b poténuse.

b — c^=d et h b

Dans tout triangle, la somme de deux côtés surpasse toujours Je 3e côté.

Théorème des segmens de la base il est dans Ptolémée.

Relations entre l'aire, la diagonale et la perpendiculaire d'un rhombe

ou d'un carré.

7 3q27 circonf. 3i/iS

Des cercles. -f-r- = — r— = .

I2DO diamètre icooo

Aire du cercle. Solidité de la sphère.

lilawati. 549

Règle pour trouver le sinus verse par la corde ou la corde par le sinus verse.

Règles pour trouver les côte's du triangle, du carre', du pentagone, etc. , inscrits et réguliers.

Méthode approximative pour calculer les cordes. Soit C la circonférence, A un arc quelconque , D le diamètre.

Prathama = (C — A) A=CA — A4,

Corde =

■ (C — A) a -f- o a — ' , ; Ca

Soit D le diamètre = 240, C == 754, -jg == 4r>9 presque ; les 18 arcs qui partagent également la circonférence seront des arcs de 20°, mais en parties de 754; ils seront en nombres entiers 42> 84, 126, 168, 210, 25i , 293, 535, 377 , 4j9î 4^1 , 5o3, 545, 587, 628, 670, 712 et 754.

Cette expression , suivant le D. Hutton , donne les cordes un peu trop grandes. Si l'arc est de 20, l'excès sera ; il sera pour un arc de 3o°. On ne voit pas trop où ils ont pris cette règle, de laquelle ils ont tiré une pratique pour résoudre une équation du second degré. Voyez Hutton, 2e vol., pag. i58.

On trouve ensuite quelques règles approximatives de cubatures sous les titres étangs briques et pierres d'un mur, coupes des bois et tas. Us supposent que, suivant la quantité du grain, la hauteur du tas sera i -i- et -V de la circonférence.

Ombres d'un gnomon. On y trouve ce problème plus singulier que vraiment utile : Etant donnée la différence de deux ombres et celle de leurs hypoténuses , trouver les deux ombres.

On aies différences , il suffit de chercher les sommes ; on y parvient aisément. Soit a le gnomon, 2b la différence des ombres, 2c celle des hypoténuses , 23c la somme des deux ombres , 2j somme des hypoténuses , x-f- b et x — b seront les deux ombres , y c et y — c les deux hypoténuses.

Cette solution est identique à la règle indienne : au lieu d'y employer l'analyse , on peut recourir à la Trigonométrie ; alors les deux ombres seront les tangentes des distances zénitales A et B ; les deux hypoténuses seront les sécantes des mêmes angles ; nous aurons

55o ASTRONOMIE ANCIENNE.

„ 7 ■ sin (A — B) tan» A — tang B = £ = — -7— — r ■

s o cos A cos r>

sin(A— B) asin^CA — B)cos|(A — B) cos A cos B = g = — ^ >

séc A — sec B = c , iang* A 4- langa B — 2 tang A tang B = £*, séc1 A-f- séc2 B — 2 séc A séc B = ca, 2 + 2 tang A tang B — 2 séc A séc B = c2 —

1 — séc A séc B + tang A tang B =

(c2 — b*\ — — ) cos A cos B,

1 — cos (A — B) = 2sina|(A — B) = f — - — J cos A cos B,

d'où ungKA-B) = (* + 1»*-f) (0

, i 1 cosB — cos A ssin | ( A— B) sin } (A-f-B)

cos A cos B cosAcosC cosAcosB

cos A cos B = 1 2sini(A— B)cosKA— B)=2sini(A— B)sinKA+B); sin HA + B) = Q cos | ( A - B) (2) ;

connaissant^ (A-f-B) par la formule (2), et £ (A — B) parla formule (1), on aura les deux distances , les deux ombres ou les deux tangentes , et les deux sécantes ou les deux hypoténuses ; on n'en aurait aucun besoin pour connaître l'heure ; mais les Indiens ne savaient pas calculer le triangle sphérique : d'ailleurs, on peut bien avoir la différence des deux ombres, mais comment avoir celle des hypoténuses ? Ce problème n'est donc qu'un amusement; les Indiens ne pouvaient chercher les angles au sommet du gnomon , ni les angles aux deux ombres.

A ce problème inutile ils en ont attaché plusieurs autres qui ne sont pas plus intéressans et qui sont plus faciles. Ils supposent que l'ombre du gnomon est produite par une lampe placée derrière à une certaine distance; ce sont des problèmes de triangles rectangles semblables dont les côtés inconnus se calculent par des règles de trois.

LILAWÀTI. 55i

Troisième partie. Du Kutuka, c' est-a-dire en général des problèmes indéterminés dit premier degré.

Voici le premier. Trouver x tel que ax~^b — e} c'esl-à-dire un nombre entier.

On trouve aise'ment x = — — -: il s'agit donc de trouver un nombre

entier e qui, multiplié par ct deviendra divisible exactement par a quand on aura retranché b du produit ec.

11 y a des kutukas de plusieurs espèces : celui qu'on appelle fixé sert aux astronomes pour trouver le nombre de jours écoulés depuis le commencement du calpa.

On ne connaît que la fraction de seconde qui termine le mouvement de la planète dans l'intervalle écoulé.

De cette fraction on remonte aux secondes, aux minutes , aux degrés, au nombre de révolutions et par conséquent au nombre de jours; on n'a pas même besoin de savoir la planète dont il s'agit ; le calcul la fera découvrir. On trouve en note un exemple du calcul ; je n'ai pas eu le courage de le vérifier. On voit que ce problème n'est pas d'une grande utilité, et, dans tous les cas, il ne convient qu'à l'Astronomie indienne.